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保守力 非保守力 机械能守恒 弹性碰撞


2.3.5 保守力 势能 一

2.3 能量守恒定律

万有引力、重力、弹性力作功的特点

? m 的位置矢量为 r . 以M 为参考系, A M 对 m 的万有引力为 m ? ? dr r ( t ) ? Mm ? F ? ?G 3 r M ? r r (t ? dt ) ? O m由 A点移动到 B点时 F 作功为<

br />? ? B Mm ? ? W ? ? F ? dr ? ? ? G 3 r ? dr A r

1) 万有引力作功

B

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

? ? B Mm ? ? W ? ? F ? dr ? ? ? G 3 r ? dr A r

m
m'
O

A

? ? r ? dr ? r dr cos ? ? rdr
Mm W ? ? ? G 2 dr rA r
rB

? ? r (t ) d r
dr ? r (t ? dt )

B
? r (t )

? Mm Mm ? W ? ? ?( ?G ) ? ( ?G )? rB rA ? ?

? dr

? r (t ? dt ) ?

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

? ? P ? ?mgk ? ? ? ? dr ? dxi ? dyj ? dzk
W ??
B A

2 ) 重力作功

? ? zB P ? dr ? ? ? mgdz
zA

zA

z

A

zB

mg

B

? ?(mgzB ? mgz A )
W ? ? ? mgdz ? 0

x

o

y

2.3.5 保守力 势能 3 ) 弹性力作功

2.3 能量守恒定律

? F
o
xA
xB xA

xB

x
xB

? ? F ? ?kxi

W ? ? Fdx ? ? ? kxdx
xA

1 2 1 2 W ? ?( kxB ? kx A ) 2 2

W ? ? ? kxdx ? 0

2.3.5 保守力 势能 二 保守力和非保守力

2.3 能量守恒定律

保守力: 力所作的功与路径无关,仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功 重力功

W ? ?(mgzB ? mgz A ) 1 2 1 2 弹力功 W ? ?( kxB ? kx A ) 2 2

? m' m m' m ? W ? ? ?(?G ) ? (?G )? rB rA ? ?

A
D

C

?

ACB

? ? F ? dr ? ?

ADB

? ? F ? dr

B

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

?
l

ACB

? ? F ? dr ? ?
ACB

ADB

? ? F ? dr
? ? F ? dr

A
D

C

? ? ? F ? dr ? ?

? ? F ? dr ? ?

BDA

B
A
C
D

? ? ? F ? dr ? 0
l

物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .

B

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律
ds s1 Q s2

非保守力: 力所作的功与路径有关 . 取自然坐标系

f ? ? ? mg?? dr ? ds??
A ? ? ? ? mgds
s1

f ? ? mg
P

元功 dA ? f ? dr ? ? ? mgds

A2 ? ? ? mgs2

? ? ? mgs1
摩擦力所做的功与路径有关!

2.3.5 保守力 势能 三 势能 势能 重力功

2.3 能量守恒定律

与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能

W ? ?(mgzB ? mgz A )
引力功 ? m' m m' m ? W ? ? ?(?G ) ? (?G )? rB rA ? ? 弹力功 引力势能

Ep ? mgz
m' m Ep ? ?G r 弹性势能 1 2 Ep ? kx 2

1 2 1 2 W ? ?( kxB ? kx A ) 2 2
保守力的功

W ? ? ( E pb ? E pa ) ? ? ? E P

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

讨论
势能是状态函数

Ep ? Ep ( x , y , z )

势能具有相对性,势能大小与势能零点的选取有关 .

势能是属于系统的 .
势能计算

W ? ?( Ep ? Ep0 ) ? ??Ep

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

若要求a点的势能,则可选择b点为参考点 令

E pb ? 0

Epa ?

?

势能零点

a

? ? F ? dr

重力场中,以地面为势能零点,离地面高为h的 物体的重力势能为

Ep ? ? ?mgdz ? mgza ? mgh
za

0

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

万有引力场中,以两物体相距无穷远时的引力势能 为零,则相距为r时的引力势能为

Ep ? ?

?

r

Mm Mm ? G 2 ? ?G r r

以弹簧原长处的势能为零,则弹簧伸长为x时的势能 为

1 2 Ep ? ? ? kxdx ? kx x 2
0

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律 三 质点系的功能原理 质点系动能定理

2.3能量守恒定律

A ? E k ? E k 0 ? ?E k

A ? A外 ? A内 ? A外 ? A非保内 ? A保内
保守内力的功和势能的关系

A保内 ? ? ?E p
则有

A外 ? A非保内 ? ( ? ?E p) ? ?E k

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

A外 ? A非保内 ? ? ( E p ? E k )
机械能 则有

E ? Ek ? Ep

A外 ? A非保内 ? ?E

质点系的功能原理:质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律 四 机械能守恒定律 功能原理

2.3能量守恒定律

A外 ? A非保内 ? ?E

当 A外 ? A非保内 ? 0 时,有 E1 ? E 2 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况 下,质点系的机械能保持不变 .

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

注意:
1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一 个微元过程中,外力和非保守内力所做的元功的 代数和均为零,则机械能守恒。 2、机械能守恒定律是指系统总的机械能不变,但 其动能和势能仍然可以相互转化。

2.3.5 保守力 势能 判断下列说法的正误:

2.3 能量守恒定律

(1)不受外力作用的系统,它的动量和机械能 必然同时都守恒。 (2)内力都是保守力的系统,当它所受的合外 力为零时,它的机械能必然守恒。 (3)只有保守力作用的系统,它的动量和机械 能必然都守恒。 ? ? ? (1) F外 ? 0 ? P ? C , We ? 0, 但Wi ? 0, ? E不守恒
? ? (2) F外 ? 0, 但We ? ? Fi ? dri不一定为零, 故E不一定守恒
i

(3)两物体自由落体运动,动量不守恒

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例1:一物体以初速v0 = 6.0 m×s-1沿倾角为a=30°的斜面(见图)向 上运动,物体沿斜面运行了S = 2.0 m后停止。若忽略空气阻力, 试求: (1)斜面与物体之间的摩擦系数μ ; (2)物体下滑到出发点的速率v。 解:将物体、斜面和地球看作一个系统。 (1) 上升过程受力,如图。 N不做功,mg为保守力,f为 非保守力,故机械能不守恒。 1 2 mv0 出发点(P) 动能 2 最高点(Q) 动能 0 N

v0
mg

f

a
重力势能

0 重力势能 mgS sin a Q 1 2 f ? dl ? mgS sin a ? mv0 由功能原理 ?P 2 2 v ? 2 gS sin a ? ? ? mgS cos a ?? 0 ? 0.48 2 gS cos a

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律
(1) 下降过程受力,如图。 N不做功,mg为保守力,f为 非保守力,故机械能不守恒。

2.3能量守恒定律

N f

v
a
mg

最高点(Q)

动能

0

重力势能 mgS sin a

1 2 mv 出发点(P) 动能 重力势能 0 2 P 1 2 f ? dl ? mv ? mgS sin a ? ? ? mgS cos a 由功能原理 ?Q 2

v ? 2 gS ( sin a ? ? cos a )

? 1.8 ( m ? s ?1 )

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例 2:一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止 下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下点B 后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

h

? s ' ? FN Ff
P cos?

P sin ?

已知

h ? 50m , ? ? 0.050 , s' ? 500m , 求

? P

?

s.

解 以雪橇、冰道和地球为一系统,由功能原理得

Wf ? E2 ? E1 ? Wf ? ? ?mg cos? s '? ?mgs ? ? ?mg ( s '? s )


E2 ? E1 ? ?mgh

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

h

? ? s' FN Ff
P cos?

P sin ?

h ? 50m , ? ? 0.050 , s' ? 500m , Wf ? ? ?mg ( s'? s)
由功能原理 可得 代入已知数据有

? P

?

Wf ? E2 ? E1

? ?mg(s'? s) ? ?mgh
s ? h ? s' ? 500m ?

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例3:一质量为M具有半球凹陷面的物体静止在光滑的水平上,
凹陷球面半径为R,表面也光滑。今在凹陷面缘B处放置一质量为 m 的小球,释放后小球下滑。有人为了求出小球下滑至最低处 A 时,M物体对小球的作用力N,列出了以下方程:

?设v1和v2为小球到达A点时,m和M的速度,则有: 水平方向动量守恒 机械能守恒:

mv 1 ? Mv 2 ? 0
B
m
A
M

1 1 2 2 mv 1 ? Mv 2 ? mgR 2 2

2 v 再根据牛顿第二定律有 N ? mg ? m 1 R

试指出上述哪个方程是错的?错在何处?并改正之。

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

前两式正确,第三式错误。 原因:小球相对桌面运动是小球相对M运动和M相对 桌面运动的合运动,故其运动规律不再是半径为R的 圆周了。 ? 正确解法:选择M为参照系,在小球落到A处这一 时刻,M所受合外力为零,M无加速度,故这一 刻M可视为惯性系:

v' N ? mg ? m R v? ? v1 ? v2

2 1

2.3.5 保守力 势能

2.3 能量守恒定律

讨论 如图的系统,物体 A,B 置于光滑的桌面上,
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零,首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B, 使弹簧压 缩,后拆除外力, 则 A 和 B 弹开过程中, 对 A、 B、C、D 组成的系统 (A)动量守恒,机械能守恒 . (B)动量不守恒,机械能守恒 . (C)动量不守恒,机械能不守恒 . (D)动量守恒,机械能不一定守恒 . C A D B C A D B

例4: 例:用一个轻弹簧把一 个金属盘悬挂起来。这时弹簧

伸长了l 1 ? 10 cm。一个质量和盘相同的泥球,从高于 盘h ? 30 cm处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的 最大距离l 2。

解:A、泥球自由下落过程 泥球落到盘上时的速度为 v ? 2 gh
B、泥球和盘的碰撞过程 由动量守恒 mv ? ( m ? m )V v V ? ? gh / 2 2

C、泥球和盘共同下降过程 1 1 2 1 2 机械能守恒: ( 2 m )V ? ( 2 m ) gl 2 ? kl 1 ? k ( l 1 ? l 2 )2 2 2 2 k ? mg / l1 , V ? gh / 2 l1 ? 10 cm

l 2 ? 20 l 2 ? 300 ? 0 ? l 2 ? 30 , 故盘向下运动的最大距 离为30厘米

2

例5: 一轻弹簧与质量为m1和m2的两 个物体相联结,至少用多大的 力向下压才能在此力撤除后弹 簧把地面的物体带离地面? 解: 设y1、y2、y3分别为弹簧形变量 的绝对值,刚能提起m2的条件:

ky3 ? m2 g
? 对m1受力分析

ky2 ? F ? m1 g
?取坐标原点为零势点,则有

1 2 1 2 ky3 ? m1 gy3 ? ky2 ? m1 gy2 2 2

F ? (m1 ? m2 ) g

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例 6: 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上 运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然 状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底端点 B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数. 解 以弹簧、小球和地球为一系统,

P
R

? A ? B 只有保守内力做功
?系统机械能守恒 E B ? E A
取图中点 B为重力势能零点

o
B

30?

A

Ep ? 0

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律 系统机械能守恒 E B 即

2.3能量守恒定律

? E A , 图中B点为重力势能零点

1 1 2 2 mv B ? kR ? mgR (2 ? sin 30?) 2 2 P



v kR ? mg ? m R
2mg k? R

2 B

R

o
B

30?

A

所以

Ep ? 0

例7:用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻 力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击,能把 钉子钉入木板1cm。第二次敲击时,保持第一次敲击钉 子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深? 分析:阻力作功= 钉子动能的增量,两次动能增量相同, ∴两次阻力作功相同。 解:以钉入方向为X轴,板面为原点。则有 f = -kx(k 为阻力系数); 第一次钉入为x1=1cm ,第二次钉入为x2 。得

?

x1

0

? kxdx ? ? ? kxdx
x1

x2

x ? 2x
2 2

2 1

取 x 2 ? 2 x1

? 第二次钉入 ? x ? x 2 ? x1 ? 0 ? 41cm
2-3动能定理、功能原理和机械能守恒

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例 8( 类似 P88 例 7): 一均匀链条的质量为 m ,总长为 l ,放在光滑的桌 面上,其中一端下垂,长度为h,假定开始时链条静止。求链条离开桌 面时的速度。

l-y

解法一 (牛顿定律) 考虑链条下垂长度为y时的情况 如图建立坐标系 N 下垂部分受力

x y

T T’ m1g

桌上部分受力
由牛顿定律

m2g

m1 g ? T ? m1a1
y m1 ? m l

T ? ? m2 a 2 m2 g ? N ? 0

l?y m2 ? m l

dv d 2 y ? ? 2 dt dt

T ? T? a1 ? a2

y

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

mgy d2y d 2 y dv dv dy dv ? ? ?v ?m 2 2 dt dt dy dt dy l dt g dv y?v l dy
分离变量 两边积分

gydy ? lvdv

?

l

h

gydy ? ? lvdv
0

v

1 1 2 2 2 g (l ? h ) ? lv 2 2
v? g (l 2 ? h 2 ) l

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律
解法二 将链条和地球看作一个系统。 链条受力 N不做功,重力为保守力,故机械能守恒。 以桌面位置为重力势能的零点。 初始位置 动能 0

2.3能量守恒定律

N m2g h m1g

完全离开桌面时

1 mgh 2 势能 ? m1 gh ? ? 2l 2
l

1 2 势能 ? 1 mgl 动能 mv 2 2 1 2 1 mgh 2 mv ? mgl ? ? 2 2 2l

v?

g (l 2 ? h 2 ) l

例9(类似P88例7): 一链条总长为l ,质量为m 。放在桌面上并 使其一部分下垂,下垂的长度为a ,设链条与桌面的滑动摩擦 系数为? ,令链条从静止开始运动,则:(1)到链条离开桌面 的过程中,摩擦力对链条做了多少功?(2)链条离开桌面时的 速率是多少?

解:(1) 摩擦力
l

l-a
O

? ? l ? mg W f ? ? f ? dr ? ? ? (l ? x ) dx a a l ? mg 1 2 l ? mg
?[ l (lx ? 2 x )] a ? ? 2l
2-3动能定理、功能原理和机械能守恒

m f ? ? (l ? x ) g l

a

x
2

(l ? a )

注意:摩擦 力作负功!

(2) 对链条应用动能定理:

mg (l ? a ) ?mg (l ? a ) 1 2 ? ? ? mv 2l 2l 2
得v ? g 2 [(l ? a 2 ) ? ? (l ? a ) 2 ] l

1 2 1 2 ? W外i ? W p ? W f ? 2 mv ? 2 mv0 1 2 ? v0 ? 0 ?W p ? W f ? mv 2 2 2 l ? l mg mg (l ? a ) ? 重力作功 W p ? ? P ? dr ? ? xdx ? a a l 2l ?mg (l ? a ) 2 前已得出: W f ? ? 2 l 2 2 2

2-3动能定理、功能原理和机械能守恒

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

例 10: 在一截面积变化的弯曲管中, 稳定流动着不可 压缩的密度为 ? 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积为 A1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为A2 .由于点 a 和点 b 之 间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的速 率分别为 v1和 v 2.求流体的压强和速率之间的关系 .

y y2
y1
o

A1 a p
1

p2

b A2

v2

v1
x
x 2 x 2 ? dx 2

x1 x1 ? dx1

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

y2

y
A1 a p1
x1x1 ? dx1

y1

? v1

bA2 ? p2 v2
x2 x2 ? dx2

o


x

解 取如图所示坐标,在 dt 时间内a、 b处流体分别 移动 dx1、 dx 2 .

dW p ? p1 A1dx1 ? p2 A2dx2

A1dx1 ? A2 dx2 ? dV


? dW p ? ( p1 ? p2 )dV

dWg ? ?dm ? g ( y1 ? y2 ) ? ? ? ? g ( y1 ? y2 )dV

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

y2

y
A1 a p1
x1x1 ? dx1

y1

? v1

p2

? bA2 v

2

dW p ? ( p1 ? p2 )dV dWg ? ? ? ? g ( y1 ? y2 )dV
x2 x2 ? dx2

o

x

1 2 1 2 ( p1 ? p2 )dV ? ? ? g ( y2 ? y1 )dV ? ?dVv2 ? ?dVv1 2 2
得 即

由动能定理得

1 2 1 2 p1 ? ?gy1 ? ?v1 ? p2 ? ?gy2 ? ?v2 2 2 1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

y2

y
A1 a p1
x1x1 ? dx1

y1

? v1

bA2 ? p2 v2
x2 x2 ? dx2

o

x

伯努利方程

1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2

若将流管放在水平面上,即 则有

y1 ? y2

1 2 p ? ?v ? 常量 2

2.3.3 功能原理 机械能守恒定律

2.3能量守恒定律

v1

v2
p2 y1 ? y2

p1
若将流管放在水平面上,即 则有

1 2 p ? ?v ? 常量 2 若 p1 ? p2

1 2 1 2 即 p1 ? ?v1 ? p2 ? ?v 2 2 2


v1 ? v 2

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .

? ? ex ? in ? ? F ?? F ? ? pi ? C
i

完全弹性碰撞 两物体碰撞之能够完全恢复原状。 碰 撞前后机械能守恒 。 完全非弹性碰撞 碰撞后两物体以同一速度运动,并不 分开,这种碰撞使机械能转换其他形式的能量最多。 非弹性碰撞 介于上述两者之间,只有部分恢复,机械 能损失比第二种少。

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

对心碰撞 ? ? ? ? 设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度,v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度, m1和 m2 分别为两球
的质量。
v10 v20
f1 v1

v2
m2

f2

m1

碰撞前

m2

m1

碰撞时

m2

m1

碰撞后

应用动量守恒定律得

m1v10 ? m 2 v 20 ? m1v1 ? m 2 v 2

? ? 例 11: 设有两个质量分别为 m1和 m 2 ,速度分别为 v10 和v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方向相同 . 若碰撞是 ? ? 完全弹性的,求碰撞后的速度 v1和v 2 .
解 取速度方向为正向,由 动量守恒定律得 碰前

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2
由机械能守恒定律得

? ? m1 v10 m 2 v 20

A
碰后

B

1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2 2 2 2 2

? v1

? v2

A

B

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律 碰前

? m m 2 1 v10 m1 ( v10 ? v1 ) ? m2 ( v2 ? v20 ) B 1 2 1 2 1 2 1 2 A m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2 碰后 ? 2 2 2 2 v1 2 2 2 2 m1 ( v10 - v1 ) ? m2 ( v2 ? v20 )
解得

m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2

? v20

? v2

A

B

(m1 ? m2 ) v10 ? 2m2 v20 (m2 ? m1 ) v20 ? 2m1v10 v1 ? , v2 ? m1 ? m2 m1 ? m2

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律 碰前

(m1 ? m2 ) v10 ? 2m2 v20 v1 ? m1 ? m2

? ? m1 v10 m 2 v 20

(m2 ? m1 ) v20 ? 2m1v10 v2 ? m1 ? m2
讨 论
(1)若

A
碰后

B

? v1

? v2

A

B

m1 ? m2 则 v1 ? v20 , v2 ? v10 (2)若 m2 ?? m1 且 v 20 ? 0 则 v1 ? ? v10 , v2 ? 0 (3)若 m2 ?? m1 且 v ? 0 则 v1 ? v10 , v2 ? 2 v10 20

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

例12: 如图所示的装置称为冲击摆,可用它来测定子弹的速度。 质量为M的木块被悬挂在长度为l的细绳下端,一质量为m的子弹 沿水平方向以速度v射中木块,并停留在其中。木块受到冲击而 向斜上方摆动,当到达最高位置时,木块的水平位移为s。试确 定子弹的速度。 解:子弹射中木块过程, 完全非弹性碰撞,动量守恒 l

mv ? ( m ? M )u

h

子弹随木块一起摆动过程 绳中的拉力始终与摆动方向垂直, 并不做功,故机械能守恒。

s

1 ( m ? M )u 2 ? ( m ? M ) gh 2

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

2 ( m ? M ) gh v? m2
2

h ? l ? l 2 ? s2
m?M v? m 2g l ? l 2 ? s2

(

)

例13:质量 M 的沙箱,悬挂在线的下端;质量 m,速 率? 0 的子弹水平地射入沙箱,并与沙箱一起摆 至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的 速率 ? 0 ,并说明在此过程中机械能损失。

m

?0

M

h

2-4 功能原理 和机械能守恒定律应用

解:水平方向 受外力为0,由动量守恒有

m ? 0 ? ( m ? M )?

mv0 v? m?M

子弹射入沙箱后,系统机械能守恒。

1 2 ( m ? M )? ? ( m ? M ) gh 2 ( m ? M ) 2 gh ?? 0 ? m
碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为:

1 1 M 2 2 ? ? m ? 0 ? ( m ? M )? ? ?E k ( m ? M ) gh 2 2 m
2-4 功能原理 和机械能守恒定律应用

2.3.4

碰撞

2.3能量守恒定律

例 14: 在宇宙中有密度为 ? 的尘埃, 这些尘埃相对 惯 性参考系是静止的 . 有一质量为 m0 的宇宙飞船以 初 速 v 0穿过宇宙尘埃, 由于尘埃粘贴到飞船上, 致使 飞 船的速度发生改变 . 求飞船的速度与其在尘埃中飞 行 时间的关系 . (设想飞船的外形是面积为S的圆柱体) 解 尘埃与飞船作完全 非弹性碰撞, 把它们作为 一个系 统, 则 动量守恒 . 即 得

m

m0 v0 ? mv m0 v0 dm ? ? dv ? ?Svdt 2 v

v

2.3.4
已知 求

碰撞

2.3能量守恒定律

m0 , v0 , ? .

v 与 t 的关系 .

m

v

m v 0 0 解 dm ? ? ? ? S v d t d v 2 v v dv ?S t ?? ? dt 3 ? v0 v m0 v0 0 m0 12 ? v?( ) v0 2 ?Sv0t ? m0


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