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函数模型的应用实例学案


函数模型的应用实例
学习目标:通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体会解决 实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加深对这些函数的理解与应用;了解分段函数、指数函数、对数函 数等函数模型的应用 学习重点:分段函数和指数型函数的应用 学习难点:解决实际问题中选择适当的函数模型的建立与过程体验 学习过程: 一 探究新知 1.数学

模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时, 所得出的关于 实际问题的数学描述. 例如:已知一支钢笔 3 元,现需购 x 支,其需要钱数为 y,则 y 与 x 的函数关系是:____________ 2.数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学 方法. 例如:一个正方形边长为 x,其面积为 y,则 y 与 x 的函数关系是:__________ 3.解答应用题的基本步骤:①合理、恰当假设;②抽象概括数量关系,并能用数学语言表示;③分析、解决数学 问题;④数学问题的解向实际问题还原. 例如:一个细胞一次分裂成二个,第二次由这两个分裂成四个,等等,经 x 次分裂后得到 y 个细胞,则 y 与 x 的函数关系是:__________. 4.在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定, 准确确定函数的定义域是建立函数模型 解答实际问题的一个关键环节,不可忽视. 5.根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型,再用得到的函数模型解决相 应问题,这是函数应用的一个基本过程. 6.我们已经学习到的用来与实际问题拟合的函数有:一次函数、反比例函数、二次函数、指数型函数、对数型函 数等. 7.在没有给出具体模型的问题中,如何建立函数模型? 首先画出散点图,然后根据散点图描绘出函数草图,联想熟悉的函数图象预测可能的函数模型,最后要检测 所求函数模型与实际误差的大小,在多个模型中选择最优模型. 关于函数拟合与预测的主要步骤有:根据原始数据、表格,绘出散点图;通过考查散点图,画出“最贴近” 的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将 是个十分完美的事情.但在实际应用中,这种情况是不可能发生的.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲 线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.根据所学函数知识,求出拟合 直线或拟合曲线的函数关系式. 利用函数关系式, 根据条件对所给问题进行预测和控制, 为决策和管理提供依据. 8.若已知函数模型的类型,如何确定函数模型的解析表达式? 已知函数模型的类型后,可以用待定系数法求函数模型的解析表达式.如一次函数模型可设 y=ax+b,需 2 两个条件求待定系数 a,b;二次函数模型可设 y=ax +bx+c (a≠0),需三个条件求待定系数 a,b,c.指数型函 x 数模型可设 y=ka +b,需三个条件求待定系数 k,a,b. 9.函数模型的应用实例主要包括三个方面:利用给定的函数模型解决实际问题;建立确定性函数模型解决问题; 建立拟合函数(通过实验选择较合适的函数)模型解决实际问题 10.面临实际问题,自己建立函数模型的步骤:收集数据;画散点图;选择函数模型;求函数模型;检验是否符 合实际;用函数模型解释实际问题

二 课内自测 1.①某物体一天中的温度 T(°C)是时间 t (小时)的函数: T ? t 3 ? 3t ? 60 . t ? 0 表示 12:00,其后 t 取值为正, 则上午 8:00 的温度是( )A.112°C B.58°C C.18°C D.8°C x ②下列函数关系中,可以看着是指数型函数 y ? ka ( k ? R, a ? 0且a ? 1) 模型的是( ) A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

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B.我国人口年自然增长率为 1﹪,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人 ts 内骑车行进了 1km,那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 D.信件的邮资与其重量间的函数关系 ③甲、乙两店出售同一商品所得利润相同,甲店售价比市场最高限价低 10 元,获利为售价的 10%,而乙店售价 比限价低 20 元,获利为售价的 20%,那么商品的最高限价是( )A.30 元 B.40 元 C.70 元 D.100 元 ④一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批设备的价值为( ) n n A、na(1-b%) B、a(1-nb%) C、a[(1-(b%)) D、a(1-b%) ⑤拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.50×[m]+1)给出,其中 m>0,[m]是大于或等于 m 的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4, [3.1]=4) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为( ) A、3.71 B、3.97 C、4.24 D、4.77 2.①若函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a 没有零点,则实数 a 的取值范围是 ②产品的总成本 y(万元)与产量 x 之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20 x ? 0.1x2 , x ? (0, 240). 若每台产品的售价 为 25 万元,则生产者不亏本时的最低产量为 ③1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2000 年底世界人口数为 y(亿),那 y 与 x 的函数 关系是 ④某工厂 1995 年 12 月份的产值是 1 月份的产值的 a 倍, 那么 1995 年 1 至 12 月份的产值平均每月比上月增长的 百分率是 2 ⑤某产品的总成本 C(万元)与产量 x(台)之间有函数关系式:C=3000+20x-0、1x ,其中 x∈(0,240)。若每台产 品售价为 25 万元,则生产者不亏本的最低产量为 台 3.某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定一次所购书的定价总额:①如不超过 20 元,则不予优惠;②如超 过 20 元但不超过 50 元,则按实价给予 9 折优惠;③如超过 50 元,其中少于 50 元包括 50 元的部分按②给予优 惠,超过 50 元的部分给予 8 折优惠.①试求一次购书的实际付款 y 元与所购书的定价总额 x 元的函数关系;② 现在一学生两次去购书,分别付款 16.8 元和 42.3 元,若他一次购买同样的书,则应付款多少?比原来分两次购 书优惠多少?

4.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的 关系如下表所示:请根据数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

5.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 1 t-a y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( ) (a 为常数)如图所示.根据 16 图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的 函数关系式为__________________;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可 进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室

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6.在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为 10 元,并 且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周降价 2 元, 直到 16 周末,该服装已不再销售.①试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系;②若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ? 12, t ??0,16?, t ? N ,试问该服装第几周每件销售利润最大?

7.某公司每年需购买某种元件 8 000 个用于组装生产,每年分 n 次等量进货,每进一次货(不分进货量大小)费用 500 元,为了持续生产,需有每次进货的一半库存备用,每件每年库存费 2 元,问分几次进货可使得每年购买和 贮存总费用最低?

8.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m 的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限制,长、宽 都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平 方米 80 元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出 其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.

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9.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x (0<x<240,x∈N ),若每台 产品的售价为 25 万元,则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少.

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10.某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订 购量超过 100 个时,凡多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元.(1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?(2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂 单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如 果订购 1 000 个,利润又是多少元?

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三 课堂达标 1.①以半径为 R 的半圆上任一点 P 为顶点, 以直径 AB 为底边的△PAB 的面积 S 与高 PD=x 的函数关系式是 ( ) 2 A. S=RX B. S=2Rx(x>0) C. S=Rx(0<x<R) D. S=πx (0<x≤R) ②一等腰三角形的周长是 20,则其底边长 y 关于其腰长 x 的函数关系式是( ) A.y=20-2x(x≤10) B. y=20-2x(x<10) C. y=20-2x(5<x<10) D. y=20-2x(0<x<10) ③在一定范围内,某种产品的购买量为 yt,与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购买 1000t,每吨为 800 元, 如果购买 2000t,每吨为 700 元,一客户购买 400t,单价应该为( )A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 ④某地土地沙化严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加值 x 1 2 2 y(公顷)关于年数 x 的函数关系较为近似的是( )A.y=0.2 xB.y= (x +2x)C.y= D.y=0.2+log16x 10 10 ⑤在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的 图象如右图所示,现给出下面说法:①前 5 分钟温度增加的速度越来越快;②前 5 分 钟温度增加的速度越来越慢;③5 分钟以后温度保持匀速增加;④5 分钟以后温度保 持不变.其中正确的说法是( )A.①④ B.②④ C.②③ D.①③ 2.①某杂志能以每本 1.20 的价格发行 12 万本, 设定价每提高 0.1 元, 发行量就减少 4 万本. 则杂志的总销售收 入 y 万元与其定价 x 的函数关系是 . ②某新型电子产品 2002 年投产,计划 2004 年使其成本降低 36℅. 则平均每年应降低成本 %. 2 ③某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x ,L2=2x,其中 x 为销售量 (单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为_________ 2 ④某产品的总成本 y 万元与产量 x 台之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x ,x∈(0,240) ,若每台产品的售价 为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是_________ ⑤一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留物质约是原来的 4/5,经过 n 年,剩留的物质是原 来的 64/125,则 n=________ 3.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同,甲店售价比市场最高限价低 10 元,获利为售价的 10%,而乙店售价 比限价低 20 元,获利为售价的 20%,求商品的最高限价

4.某市一种出租车标价为 1.20 元/km,但事实上的收费标准如下:最开始 4km 内不管车行驶路程多少,均收费 10 元(即起步费),4km 后到 15km 之间,每公里收费 1.20 元,15km 后每公里再加收 50%,即每公里 1.80 元.试写 出付费总数 f 与打车路程 x 之间的函数关系

5.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金增加 50 元时, 未租出的车将会增加 1 辆,租出的车每辆需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.(1)当每 辆车的月租金定为 3600 元时, 能租出多少辆车? (2) 当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大? 最大月收益是多少元?

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6.要建一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试 求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最低造价

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7.某城市现有人口数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2﹪,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数 y (万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3)大约多少年 后,该城市人口将达到 120 万人?(精确到 1 年) ; (4)若 20 年后,该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增 长率应控制在什么范围内?

8.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿度.本年度计划将电价调至 0.55~0.75 元之间,经测算,若电价 调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿度)与 x-0.4(元)成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8.(1)求 y 与 x 之间的 函数关系式;(2)若每度电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%?

9.某地区今年 1 月,2 月,3 月患某种传染病的人数分别为 52,61,68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了 2 x 模型 y=ax +bx+c,乙选择了模型 y=pq +r,其中 y 为患病人数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都是常数.结果 4 月,5 月,6 月份的患病人分别为 74,78,83,你认为谁选择的模型较好?

10.某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、 1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖,因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时,接收定 单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量,你能解决这一问题吗?

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