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3.2.2立体几何中的向量方法2——平行、垂直关系


3.2 立体几何中的向量方法
-----利用向量解决平行与垂直问题

(课本第 103 页)探究:
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的 位置关系吗?
你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位 置关系吗?

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ?

? 的法向量分别为 u, v ,则
l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则

? u

?
?

? v

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则
l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; 线线平行 ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . ? ? ? ? l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; 线线垂直 ? ? ? ? l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 线面垂直
面面垂直

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

巩固性训练
1、设平面? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 4 则 k= 。 -5 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . -8 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= . 4

例1.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平
面交于AB,AM=FN, 求证:MN//面BCE.

A
D M B
N

F

证明:连结 AN 并延长交 直 线 BE 于 点 G , 连 结 CG . ∵ AC分FB : 本 题? FN ? 析 , AM 用 几何法做不难,用 ∴

E C

向量法做也非常 G 好!

例1.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交
于AB,AM=FN, 求证:MN//面BCE.

A D M

B
C

证明: F ∵ AB ? BC , AB ? BE , BC ? BE ? B ??? ? N ∴ AB 是平面 BCE 的一个法向量 ???? ???? ???? ???? ? ∵ MN ? MA ? AF ? FN ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? E ∴ AB ? MN ? AB ? MA ? AF ? FN ??? ???? ??? ???? ????? ???? ? ? ? AB ? MA ? AB ? AF ? AB ? FN

?

?

? 0

∴MN//面BCE

例2:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱

PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD 解:如图所示建立空间直角坐标系, 点D为坐标原点,设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG
1 1 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ) 2 2 因为底面ABCD是正方形, A

P

Z

F
D

E
C

G
B

Y

所以点G是此正方形的中心, X

所以PA ? 2 EG ,即PA // EG

1 1 故点G的坐标为( , ,) 0 2 2
1 1 且PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB

所以,PA // 平面EDB

例2:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证:PB⊥平面EFD

(2)证明:依题意得B(1,1,0), PB ? (1,1,?1) ???? 1 1 Z 又 DE ? (0, , ), 2 2 ??? ???? ? P 1 1 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD A
X D

F

E

C
G

Y

B

练习4 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图,以D为原点, ??? ???? ???? ? ? DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1. A(1,0,0),B(1,1,0),A '(1,0,1), 1 1 1 E(0,1, ),F( , ,0) 2 2 2
Z

E

F

Y

???? ??? ? ? 1 1 ? A ' F ? DB ? (? , , ?1) ? (1,1, 0) ? 0, 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 1 A ' F ? DE ? (? , , ?1) ? (0,1, ) ? 0 2 2 2

X ????? ??? ? ???? 1 1 1 A ' F ? (? , , ?1), DB ? (1,1,0), DE ? (0,1, ) 2 2 2

????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A ' F ? DE , 又DB ? DE ? D. ? A ' F ? 平面BDE

小结
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化; 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量,利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.

作业:

练习4 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明2:设正方体的棱长为1.
????? ???? 1 ???? ??? ? ? ???? 1 ???? 1 ??? ? ? ? A ' F ? A ' A ? AD ? AB ? A ' A ? AD ? AB 2 2 2 ??? ??? ???? ? ? DB ? AB ? AD ? ??? ??? 1 ????' ? ? BE ? BC ? CC 2 ????? ??? ? ???? 1 ???? 1 ??? ? ??? ???? ? ? ? ? A ' F ? DB ? ? A ' A ? AD ? AB ? ? AB ? AD 2 2 ? ? ? 1 ??? 2 1 ???? 2 1 1 ? AB ? AD ? ? ? 0 2 2 2 2 ????? ??? ? ???? 1 ???? 1 ??? ? ??? ???? ? ? ? ? A ' F ? BE ? ? A ' A ? AD ? AB ? ? AB ? AD 2 2 ? ? ? 1 ??? 2 1 ????' 2 1 1 ?? BC ? AA ? ? ? 0 2 2 2 2

?

?

E

?

?

F

?

?

????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A ' F ? DE , 又DB ? DE ? D. ? A ' F ? 平面BDE


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