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微积分(二)知识点总结9-5-1


口诀:分段用乘,分叉用加;单路全导,叉路偏导。

?F ?F dy ? ? ?0 ?x ?y dx

口诀:分段用乘,分叉用加;单路全导,叉路偏导。

?F ?F ?z ? ? ?0 ?x ?z ?x ?F ?F ?z ? ? ?0 ?y ?z ?y

判断隐函数存在的步骤-----一、若方程为二

元方程,其步骤如下: 1.把所给方程变形为 F ?x, y ? ? 0 的形式, 这时可设出函 数 F ?x, y ? ? ? ; 2.求出函数 F ?x, y ? 的所有偏导数: Fx 和 Fy ,并判断 它们在点 P?x0 , y0 ? 的某一邻域内具有连续性; 3.验证 F ?x0 , y0 ? ? 0 ; 4. 求 出 Fy ?x0 , y0 ? 的 值 , 并 判 断 其 是 否 等 于 零 , 若
Fy ?x0 , y0 ? ? 0 ,则隐函数 y ? f ?x ? 存在。

2 2 解:令 F ( x, y) ? x ? y ? 1 则

① Fx ? 2 x , Fy ? 2 y ,在点 ?0,1? 的一个邻域内连续;

② F (0,1) ? x0 ? y0 ? 1 ? 2 ? 0 ? 0 ;
2 2

③ Fy (0,1) ? 2 ? 0 。 所以在点 ?0,1? 的某一邻域内能惟一确定隐函数 y ? f ?x ?, 且有 y0 ? f ?x0 ? 下面求隐函数 y ? f ?x ? 的一阶与二阶导数: 由隐函数 y ? f ?x ? 的导数公式得:
F dy 2x x ? y' ? ? x ? ? ? ? , dy dx Fy 2y y dx
0 ?? ?0 1

x ?0 y ?1

由函数的商的求导法则得(对 y' 再次求导得 y〃) :
2 d2y y ? xy' 1 y ? y〃? ? ?? 3 ,d 2 2 2 dx y y dx

x ?0 y ?1

1 ? ? ? ?1 1

二、若方程为三元方程,其步骤如下: 1.把所给方程变形为 F ?x, y, z ? ? 0 的形式, 这时可设出 函数 F ?x, y, z ? ? ? ; 2.求出函数 F ?x, y, z ? 的所有偏导数: Fx 、 Fy 和 Fz ,并 判断它们在点 P?x0 , y0 , z0 ? 的某一邻域内具有连续 性; 3.验证 F ?x0 , y0 , z0 ? ? 0 ; 4.求出 Fx ?x0 , y0 , z0 ? 的值,并判断其是否等于零,若
Fx ?x0 , y0 , z0 ? ? 0 ,则隐函数 x ? x? y, z ? 存在。

求出 Fy ?x0 , y0 , z0 ? 的值,并判断其是否等于零,若
Fy ?x0 , y0 , z0 ? ? 0 ,则隐函数 y ? y?x, z ? 存在。

求出 Fz ?x0 , y0 , z0 ? 的值,并判断其是否等于零,若
Fz ?x0 , y0 , z0 ? ? 0 ,则隐函数 z ? z ?x, y ? 存在。
二、2. (11-7)设有隐函数方程

xy ? z ln y ? exz ? 1 ,根据隐函数存在定理,存


在点 (0,1,1) 的一个邻域,在此邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z ? z ( x, y ) (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y ? y ( x, z ) 和 z ? z ( x, y ) (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z ? z ( x, y ) 和 x ? x( y, z ) (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x ? x( y, z ) 和 y ? y ( x, z )

解析:

xz 令 F ( x, y, z) ? xy ? z ln y ? e ? 1则

① Fx ? y ? ze

xz

z Fy ? x ? , F ? ln y ? xexz 在 点 , z y

(0,1,1) 的一个邻域内连续

> (因为 y0 ? 1 ? 0 ;且 y0 ? 1 0 )
② F (0,1,1) ? x0 y0 ? z0 ln y0 ? e
x0 z 0

?1 ? 0

③ Fx (0,1,1) ? 2 ? 0 , Fy (0,1,1) ? 1 ? 0 , Fz (0,1,1) ? 0 所以隐函数 x ? x( y, z ) 存在,隐函数 y ? y ( x, z ) 存在,而 隐函数 z ? z ( x, y ) 不存在, 故选 D


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