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高三理科数学一轮复习8:统计与概率—古典概型及几何概型


高三理科数学一轮复习 8:统计与概率—古典概型及几何概型
1.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放 入同一信封,则不同的放法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 ( )

2.高三学生计划报名参加某 7 所高校中的 4 所学校的自主招生考试

,其中仅甲、乙两所学校的考试时间 相同,因此该学生不能同时报考这两所学校,那么该学生不同的报考方法有 A.20 种 B.25 种 C.30 种 D.35 种 ( )

3.如图,用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜 色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( A.288 种 B.264 种 C.240 种 ) D.168 种

4.从 5 位男生,4 位女生中选派 4 位代表参加一项活动,其中至少有两位男生,且至少有 1 位女生的选法 共有 A.80 种 B.100 种 C.120 种 D.240 种 ( )

5.某地为上海“世博会”招募了 20 名志愿者,他们的编号分别是 1 号、2 号、?,19 号、20 号.若要从 中任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号 较大的在另一组.那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是 A.16 B.21 C.24 D.90 ) ( )

6. 从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个球中, 任取 5 个球, 则这 5 个球的编号之和为偶数的概率是 ( 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

7.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得 3 分;平一场,得 1 分,负一场,得 0 分,一球队打完 15 场,积 36 分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有 A.5 种 B .4 种 C .3 种 D.2 种 ( )

8.在国庆 60 周年阅兵仪式中,从编号为 1,2,3,?,18 的 18 名标兵中任选 3 个,则选出的标兵的编号能 组成以 3 为公差的等差数列的概率为 A. 1 51 1 B. 68 1 C. 306 D. 1 408 ( )

9.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同 信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( A.10 B.11 C.12 D.15 ) )

10. 已知集合 A={x|1≤x≤9, 且 x∈N}, 若 p、 q∈A, e=logpq, 则以 e 为离心率的不同形状的椭圆有 ( A.25 个 B.26 个 C.27 个 D.28 个

11. 定义整数集合 A 与 B 的运算 A*B 如下: A*B={ (x, y) |x∈A, y∈B, 且 x+y 为偶数}, 若 A={-1,0,1}, B={1,2,3,4},则集合 A*B 中的元素个数为 A.12 B .6 C .4 D.2 ( )

12.身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿红色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜 色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有 A.48 种 B.72 种 C.78 种 D.84 种 ) ( )

13. 从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个球中, 任取 5 个球, 则这 5 个球的编号之和为偶数的概率是 ( 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

14.把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在图中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上, 其中 3 盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有( A.2680 种 B.4320 种 C.4920 种 ) D.5140 种

15.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种.

16.有 6 个大小不同的数按如图的形式随机排列,设第一行的数为 M1,第二、三 行中的最大数分别为 M2、M3,则满足 M1<M2<M3 的所有排列的个数是________. 17.在空间直角坐标系 O-xyz 中有 8 个点:P1(1,1,1) 、P2(-1,1,1) 、?、P7(-1,-1,-1) 、P8(1, -1,-1) (每个点的横、纵、竖坐标都是 1 或-1) ,以其中 4 个点为顶点的三棱锥一共有________个(用 数字作答) .

18.现有五种股票和三种基金,欲购买其中任意三种,至少有一种基金的概率为________.

19.有红、黄、蓝三种颜色的小球各 5 个,都分别标有字母 A、B、C、D、E,现取出 5 个,要求字母各 不相同且三种颜色齐备,则有________种取法(用数字做答) .

20. (2010· 甘肃省质检)有 3 辆汽车、6 名售票员、3 名司机,每辆汽车配 1 名司机 2 名售票员就可以工作, 那么所有不同的安排方法种数是________(用数字作答) .

第 11 章

第6节

一、选择题 1. (2010· 全国Ⅱ)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中 标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( A.12 种 C.36 种 [答案] B [解析] 先从三个信封中选取一个放数字 1,2,有 C1 3种选法,再从 3,4,5,6 中选取两个放入一个信封中,
1 2 则剩下的两个数字在另一个信封中,有放法 C2 C4=18 种. 4种,∴共有不同放法,C3·



B.18 种 D.54 种

2. (2010· 重庆一中)高三学生计划报名参加某 7 所高校中的 4 所学校的自主招生考试,其中仅甲、乙 两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校,那么该学生不同的报考方法有( 种. ( ) B.25 D.35 )

A.20 C.30 [答案] B

3 4 3 [解析] 报考学校甲的方法有 C3 5,报考学校乙的方法有 C5,甲、乙都不报的方法有 C5,∴共有 2C5+ 4 C5 =25 种.

3. (2010· 天津理)如图,用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、 色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不 法共有 ( A.288 种 C.240 种 [答案] B B.264 种 D.168 种 )

F 六个点涂 同的涂 色方

[解析] 当涂四色时,先排 A、E、D 为 A3 4,再从 B、F、C 三点选一个涂第四种颜色,如 B,再 F,
1 若 F 与 C 同色,则涂 C 有 2 种方法,若 F 与 C 异色则只有一种方法,故 A3 4A3(2+1)=216 种. 3 3 3 当涂三色时,先排 A、E、D 为 C3 4A3,再排 B 有 2 种,F、C 各为一种,故 C4A3×2=48,

故共有 216+48=264 种,故选 B. 4. (2010· 湖南考试院调研)从 5 位男生,4 位女生中选派 4 位代表参加一项活动,其中至少有两位男 生,且至少有 1 位女生的选法共有( A.80 种 C.120 种 [答案] B )

B.100 种 D.240 种

2 1 2 2 [解析] 包括两种情形:一是 2 男 2 女有 C2 C4 种方法,二是 3 男 1 女有 C3 5· 5C4种方法,∴共有 C5C4+ 3 1 C5 C4=100 种方法.

5. (2010· 绵阳市模拟) 某地为上海“世博会”招募了 20 名志愿者, 他们的编号分别是 1 号、 2 号、 ?, 19 号、20 号.若要从中任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小 的人在一组, 两个编号较大的在另一组. 那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是 ( A.16 C.24 [答案] B [解析] 由题意知 5 号和 14 号在所选 4 人中,且在同一组,故再从其余志愿者中选 2 人,如果 5 号和 14 号是编号较大的一组,则另二人只能从编号为 1 至 4 号的志愿者中选取,有 C2 4种方法;如果 5 号和 14
2 2 号是编号较小的一组,则另二人只能从 15 至 20 号中选,有 C2 6种选法,∴不同选法共有 C4+C6=21 种.



B.21 D.90

6. (2010· 安徽芜湖一中)从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个球中,任取 5 个球,则这 5 个球的编号 之和为偶数的概率是( 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C
1 4 [解析] 从 10 个球中选 5 个有 C5 10种选法,取出的 5 个球编号之和为偶数的取法有:1 偶 4 奇 C5C5,3 2 5 偶 2 奇 C3 5C5,5 偶 C5, 4 3 2 5 C1 1 5C5+C5C5+C5 ∴所求概率 P= = . 5 C10 2

) 1 B. 3 2 D. 3

7.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得 3 分;平一场,得 1 分,负一场,得 0 分,一球队打 完 15 场,积 36 分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有( A.5 种 C.3 种 [答案] D [解析] 设该队胜 x 场,平 y 场,则负(15-x-y)场,由题意得 3x+y=36,∴y=36-3x≥0∴x≤12, 且 x+y≤15, (x,y∈N) ,因此,有以下两种情况:
?x=12 ?x=11 ? ? ? 或? .∴选 D. ? ? ?y=0 ?y=3



B .4 种 D.2 种

8. (2010· 四川双流县模考)在国庆 60 周年阅兵仪式中,从编号为 1,2,3,?,18 的 18 名标兵中任选 3 个,则选出的标兵的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( A. 1 51 1 B. 68 1 D. 408 )

1 C. 306 [答案] B

[解析] 任选 3 人有 C3 18=816 种选法,3 人编号能组成以 3 为公差的等差数列,则编号最大的一组的

12 1 最小编号为 12,∴共有 12 组,P= = . 816 68 9. (2010· 湖南理)在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息, 不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息 个数为( A.10 C.12 [答案] B [解析] 与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类: 第一类:与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C2 4=6(个) 第二类:与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C1 4=4(个) 第三类:与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同有 C0 4=1(个) 与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息有 6+4+1=11(个) 10.已知集合 A={x|1≤x≤9,且 x∈N},若 p、q∈A,e=logpq,则以 e 为离心率的不同形状的椭圆 有( ) B.26 个 D.28 个 ) B.11 D.15

A.25 个 C.27 个 [答案] B

[解析] 由于 e∈(0,1) ,∴9≥p>q>1, 当 q=2 时,p=3、4、?、9,椭圆的不同形状有 7 个; 当 q=3 时,p=4、5、?、9,椭圆的不同形状有 6 个; 当 q=4 时,p=5、6、?、9,椭圆的不同形状有 5 个; 当 q=5 时,p=6、7、8、9,椭圆的不同形状有 4 个; 当 q=6 时,p=7、8、9,椭圆的不同形状有 3 个; 当 q=7 时,p=8、9,椭圆的不同形状有 2 个; 当 q=8 时,p=9,椭圆的不同形状有 1 个; 其中 log42=log93,log32=log94, ∴共有(7+6+5+4+3+2+1)-2=26 个. [点评] 上面用的枚举解法,也可由 p、q∈A,e=logpq∈(0,1)知 9≥p>q>1,因此问题成为从 2 至 9 这 8 个数字中任取两个数字并作一组的不同取法. ∴有 C2 8-2=26 个. 11.定义整数集合 A 与 B 的运算 A*B 如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B,且 x+y 为偶数},若 A={- 1,0,1},B={1,2,3,4},则集合 A*B 中的元素个数为( A.12 C.4 [答案] B [解析] x=-1 时,y=1,3;x=0 时,y=2,4;x=1 时,y=1,3.故选 B. B .6 D.2 )

12.身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿红色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相 同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( A.48 种 C.78 种 [答案] A
3 2 2 [解析] 解法一: 两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有 A3 A2A2=24 种, 只有一种穿相同颜色衣服的 2 5 人相邻的排法有 2(A4 4A2-24)=48,则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有 A5-24-48=48,故选 A.



B.72 种 D.84 种

解法二:按穿兰衣服的两人站位分有以下 6 类:

对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法. 第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法. 第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法.
2 对于上述每一类安排方法,五人的不同站法共有 A2 2A2=4 种,∴共有不同排法(4×2+1+3)×4=

48 种. 13. (2010· 芜湖一中模拟)从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个球中,任取 5 个球,则这 5 个球的编 号之和为偶数的概率是( 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C [解析] 从 10 个球中任取 5 个球,共有 C5 10=252 种取法,取出的 5 个球的编号之和为偶数的取法种 126 1 4 3 2 5 数为 C1 = .故选 C. 5C5+C5C5+C5=126,故所求的概率为 P= 252 2 [点评] 排列组合问题对思维能力提升很有帮助,解决排列组合问题时,要多思考,本题中注意到 10 1 个球的编号中 5 奇 5 偶,从中任取 5 个,则这 5 个球编号之和为奇数和偶数的一样多,故 P= . 2 14.把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在图中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上,其中 3 盆兰花 不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有( ) ) 1 B. 3 2 D. 3

A.2680 种 C.4920 种 [答案] B

B.4320 种 D.5140 种

7 4 [解析] 先将 7 盆花全排列,共有 A7 种排法,其中 3 盆兰花排在一条直线上的排法有 5A3 3A4种,故所 3 4 求摆放方法有 A7 7-5A3A4=4320 种.选 B.

二、填空题 15.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种. [答案] 11 [解析] 由于有两个 o,只要在 4 个位置选 2 个安排即可,余下两个字母全排列,故 4 个字母所有的
2 排法为 C2 4A2=12,写对的只有 1 种,故共有 11 种错误的可能.

16.有 6 个大小不同的数按如图的形式随机排列,设第一行的 二、三行中的最大数分别为 M2、M3,则满足 M1<M2<M3 的所有排列 ________. [答案] 240 [解析] 设 6 个数按从小到大顺序依次为 a1、a2、a3、a4、a5、a6. 据题设条件知 M3=a6, 可依第二行最大数 M2 分类讨论.
3 ①若 M2=a5,有排法 C1 C1 A2 A3 =144 种. 4· 3· 2· 1 2 3 ②若 M2=a4,则 a5 必在第三行有排法 C1 C2 · A2A3=72 种. 3· 1 2 3 ③若 M2=a3,则 a4、a5 都在第三行有排法 C2 · A2A3=24 种,据条件知 M2 不能小于 a3.

数为 M1 ,第 的 个 数 是

∴满足题设条件的所有不同排列的个数为 144+72+24=240 个. 17.在空间直角坐标系 O-xyz 中有 8 个点:P1(1,1,1) 、P2(-1,1,1) 、?、P7(-1,-1,-1) 、 P8(1,-1,-1) (每个点的横、纵、竖坐标都是 1 或-1) ,以其中 4 个点为顶点的三棱锥一共有________ 个(用数字作答) . [答案] 58 [解析] 这 8 个点构成正方体的 8 个顶点,此题即转化成以正方体的 8 个顶点中的 4 个点为顶点的三
3 2 2 3 1 棱锥一共有多少个,则共有三棱锥 C1 4C4+(C4C4-2×4-2)+C4C4=58 个.

[点评] 用间接法求解更简便些,从正方体的 8 个顶点中任取 4 个,有不同取法 C4 8种,其中这四点共 面的(6 个对角面、6 个表面)共 12 个,∴这样的三棱锥有 C4 8-12=58 个. 18 . ( 2010· 哈三中)现有五种股票和三种基金,欲购买其中任意三种,至少有一种基金的概率为 ________. [答案] 23 28

[解析] 从 8 种中任取 3 种有

C3 8种方法,不含基金的取法有

C3 5种,∴所求概率为

3 C3 23 8-C5 P= = . C3 28 8

19. (2010· 重庆中学)有红、黄、蓝三种颜色的小球各 5 个,都分别标有字母 A、B、C、D、E,现取 出 5 个,要求字母各不相同且三种颜色齐备,则有________种取法(用数字做答) . [答案] 150 [解析] 第一类:一种颜色 3 个,另两色各 1 个,有 C1 C3 C1 3· 5· 2=60 种取法; 第二类:两种颜色各 2 个,另一色 1 个,有 C2 C2 C2 3· 5· 3=90 种取法. ∴共有取法 60+90=150 种. [点评] 要紧紧抓住“字母各不相同”和“三种颜色齐备”来解题. 20. (2010· 甘肃省质检)有 3 辆汽车、6 名售票员、3 名司机,每辆汽车配 1 名司机 2 名售票员就可以 工作,那么所有不同的安排方法种数是________(用数字作答) . [答案] 540
2 2 [解析] 由题意知,安排司机有 A3 3种方法,安排售票员有 C6C4种方法,由乘法原理知,共有不同安排 2 2 方法 A3 3C6C4=540 种.


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