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【2013上海奉贤二模】上海市奉贤区2013届高三下学期二模数学(理)试题 Word版含答案


2012 学年第二学期奉贤区高三年级数学学科(理)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013、4、18 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
开始 1、函数 f ( x) ? 2 sin x 的最小正周期是_____________

>2

1? ? 2、在 ? x ? ? 的二项展开式中,常数项是 x? ? 3、已知正数 x 、 y 满足 x ? y ? xy ,则 x ? y 的最小值是
4、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 5、已知直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 3x 及函数 g ( x) ? 4 ? 3x 的图像分别相交 于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点之间的距离为 6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的 平面所成角为 45 ,容器的高为 10cm,制作该容器需要 的铁皮 7、 (理)若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点. 设函数 f ?x ? ? ln x 与反函数的所有次不动点之和为 m,则 m=______
0

8

k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥6 是 输出 S 结束 第(4)题 否

cm2

450

2 8、 (理)关于 x 的方程 x ? m x ? 2 ? 0 ?m ? R ? 的一个根是 1 ? ni n ? R ? , 在复平面上的一点 Z 对应的复数 z 满足 z ? 1,则 z ? m ? ni 的取值范围是

?

?

10 cm

第(6)题

9、 (理)在极坐标系中,直线 ? sin(? ?

?
4

)?

10、 (理)已知函数 f ? x ? ? lg a x ? bx ? a ? 1 ? b ? 0? ,且 a 2 ? b2 ? 1 , 则不等式 f ? x ? ? 0 的解集是

?

?

2 与圆? ? 2cos ? 的位置关系是 2

_

11、设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则 函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是 则 a1 ? d ?
2

12、设正项数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,

13、 (理)椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任意一点 M (除短轴端点除外)与短轴两个端点 a2 b2 B1 , B2 的连线交 x 轴于点 N 和 K ,则 ON ? OK 的最小值是

14、 (理)如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片(∠ACB=90° ,AC=2) 沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y=f(x),当 x ?[0, 4 ? 2 2 ]时 y=f(x)= _____________

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,

15、下列命题中正确的是(



(A)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 (B)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 (C)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 (D)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 16、 (理)设事件 A , B ,已知 P ( A) = 系一定为( ) (A)两个任意事件

1 1 8 , P ( B ) = , P( A ? B) = ,则 A , B 之间的关 5 3 15
(C)非互斥事件 (D)对立事件

(B)互斥事件

1 17、 (理) 数列 {an } 前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? , 且对任意正整数 m, n , 都有 am?n ? am ? an , 5 若 Sn ? a 恒成立,则实数 a 的最小值为( ) 1 3 4 (A) (B) (C) (D)4 4 4 3 x2 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 A, B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任 18、直线 x ? 2 与双曲线 C : 4 意一点,若 OP ? aOA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是
( )
2 2

1 2 1 2 2 2 2 (C) a ? b ? 2 (D) a ? b ? 2 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
(A) a ? b ? 2 (B) a ? b ?
2 2

E 19、 理) ( 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是正方形,AA ? 2, AB ? 1, 是 DD1 1
上的一点. ⑴求异面直线 AC 与 B1 D 所成的角; ⑵若 B1 D ? 平面 ACE ,求三棱锥 A ? CDE 的体积;

第 19(理)题

20、 位于 A 处的雷达观测站,发现其北偏东 45°,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船正 以匀速直线行驶, 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45? ? ? 0 0 ? ? ? 450 的 20 C 处 , AC ? 5 13 . 在 离 观 测 站 A 的 正 南 方 某 处 E ,
北 B

?

?

cos?EAC ? ?

2 13 13
C θ A

(1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ;

E

2 x 0 5x ? 2
21 、 三 阶 行 列 式 D ? 0

1

b 3

3 x

,元素 b

?b ? R ? 的 代 数 余 子 式 为 H ?x ? ,

P ? ?x H ?x? ? 0?,
(1) 求集合 P ; (2) (理)函数 f ? x ? ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q, 若 P ? Q ? ?, 求实数 a 的取值范
2

?

?

围;

22、 (理)已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1,a3;

n(an ? a1 ) . 2

(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

23、 (理)动圆 C 过定点 F ? 的程为 F ?x, y ? ? 0 (1)求 F ?x, y ? ? 0 ;

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 2 ?2 ?

(2)曲线 ? 上的一定点 P?x0 , y0 ? ( y0 ? 0) ,方向向量 d ? ? y 0 ,? p ? 的直线 l (不过 P 点) 与曲线 ? 交与 A、B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; ? ? (3)曲线 ? 上的两个定点 P0 ?x0 , y 0 ? 、 Q0 ? x0 , y 0 ? ,分别过点 P0 ,Q0 作倾斜角互补的两条 ? ? ? ? 直线 P0 M , Q0 N 分别与曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值;

2013 年 4 月奉贤区高三数学调研测试参考答案 一、填空题 1. ? ; 4.62; 7. (理)0; 2. 70 ; 5. log3 4 ; 8. (理) 3. 4 ; 6. 100 2? ; 9. (理)相离; 12.
2

? 5 ?1,

5 ?1 ;

?

10. (理) ?x x ? 2?;

11. y ? log1 ?x ? 1?

3 4

13. (理) 2a

? 8 ? ? x ? 2 ?2 ?0 ? x ? 2 ? ? 14. (理) f ? x ? ? ? (每空 2 分) ? 8 ? ? x ? 4 ?2 2 ? x ? 4 ? 2 2 ?

?

?

二、选择题 15. C 16. 理 B 三、解答题

17. 理 A 18. B

19、 (理)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系 分 ⑴依题意, D(0 , 0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , C (0 , 1 , 0) , B1 (1 , 1 , 2) 所以 AC ? (?1 , 1 , 0) , DB1 ? (1 , 1 , 2) 所以 DB1 ? AC ? 0 , ⑵设 E (0 , 0 , a) ,则 AE ? (?1 , 0 , a) 因为 B1 D ? 平面 ACE , 所以异面直线所成角为 , 3分 1

? 2

6分 7分

AE ? 平面 ACE ,所以 B1 D ? AE
所以 DB1 ? AE ? 0 ,所以 ? 1 ? 2a ? 0 , a ? 分 所以 V A?CDE ?

9分

1 2

10

1 1 1 1 ? ? 1? ?1 ? 3 2 2 12

12 分 2分

2 13 3 13 ,? sin ?EAC ? 1 ? cos2 ?EAC ? 13 13 3? 3? ? 3? ? cos? ? cos? ? ?EAC? ? cos ? cos?EAC ? sin ? sin ?EAC 4 4 ? 4 ? 2 2 13 2 3 13 5 26 ?? ? (? )? ? ? 2 13 2 13 26 2 2 2 (2)利用余弦定理 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos? ? 125? BC ? 5 5 ,
20、 (1)? cos?EAC ? ? 分 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里,

6分 10

该船的行驶速度 v ?

5 5 ? 15 5 (海里/小时) 1 3
3分 7分

14 分

21、解: (1) H ?x ? ? ? 、

2 x 5x ? 2 2 = 2 x ? 5x ? 2 1 x

? 1 ? P ? ? x ? x ? 2? ? 2 ?
(2)(理) 、

若 P ? Q ? ?, 则说明在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 成立, 8 2
2

?1 ?

? ?

分 即在 ? , 2 ? 上至少存在一个 x 值,使 a ? ? 2 成立, x x ?2 ? 令u ? 又u ?

?1

?

2

2

9分 11 分

2 2 ? , 则只需 a ? u min 即可。 x x2
2

2 2 ?1 1? 1 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? . x x ? x 2? 2 1 ?1 ? 1? ? ?1 ? 当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , u ? ?? 4, ?, u min ? ?4 从而 u min ? ?4 x ?2 ? 2? ?2 ? ? 由⑴知, umin ? ?4, ? a ? ?4.
1(a1 ? a1 ) =0. 2 n(an ? a1 ) na (2)由 Sn ? ,即 Sn ? n , ① 2 2 ) ②-①,得 (n ? 1an ?1 ? nan .
于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. ) 法二②-①,得 (n ? 1an ?1 ? nan . 于是,

13 分 14 分

22、 (理)解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

2 分; 得

a3=2;

3分 ②

Sn?1 ?
③ ④

(n ? 1an?1 ) . 2 5分
7分



9分 5分 7分 9分

a n ?1 a a a a ? n ,? n ? n ?1 ? ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 1
所以,an=n-1.

?

an ?1 n ?1

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 10 分 2p 1 q 于是, p ? ? q . 11 分 3 3 3 2p 所以, q ? 3q ( p ? 1 ) (☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. 12 分 3 3

当 p≥3,且 p∈N*时, 故数列{

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p ? p ? p ?1 <0, 3p ?1 3 3

2p }(p≥3)为递减数列 14 分 3p 2p 于是 p ? 1 ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 15 分 3 3 33 3 综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. 16 分
23、 (理) (1)过点 C 作直线 x ? ? 点 C 到定点 F 与定直线 x ? ? 2分

p 的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN ,即动 2

p 的距离相等,由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线, 2
4分

p 其中 F ? p ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨迹方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0? ; ? ? 2 ?2 ? (2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )
过不过点 P 的直线方程为 y ? ?

p x?b y0
6分

5分

? y 2 ? 2 px 2 由? ? y ? ? p x ? b 得 y ? 2 y0 y ? 2 y0 b ? 0 ? y0 ? 则 y1 ? y2 ? ?2y0 ,

7分 8分

k AP ? k BP ?

y1 ? y 0 y 2 ? y 0 y ? y0 y ? y0 2p 2p = 21 = ? ? ? 22 2 2 x1 ? x0 x2 ? x0 y1 y y 2 y0 y1 ? y0 y 2 ? y0 ? 0 ? 2p 2p 2p 2p

=

(3)设 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ?

2 p( y1 ? y 2 ? 2 y0 ) =0. ( y1 ? y0 )( y 2 ? y0 )

10 分

k MN ?

y 2 ? y1 y ? y 2p 1 = = 2 2 x2 ? x1 y 2 y12 y1 ? y 2
2p ? 2p

(***)

12 分

设 MP 的直线方程为为 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 与曲线 y 2 ? 2 px 的交点 P0 ?x0 , y0 ?, M ?x1 , y1 ? 由? ?
y 2 ? 2 px ? y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

,y ?
2

2 py0 2p y? ? 2 px0 ? 0 的两根为 y0 , y1 k k
14 分 15 分 17 分 18 分

2p 2p ? y0 ? y1 ? k k 2p 2p ? ? ? y0 同理 y 0 ? y 2 ? ,得 y 2 ? ? ?k k
则 y 0 ? y1 ? 代入(***)计算 y1 ? y 2 ? ?? y 0 ? y 0 ? ? ? ?
? ?

? k MN ? ?

2p y0 ? y0

?


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