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(微积分II)课外练习题1


《微积分Ⅱ》课外练习题
一、选择: 1. 函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续是 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积的 A.必要而不充分条件 C.充要条件 B.充分而不必要条件 D.无关条件 . ( )

2. 二元函数 f ? x, y ? ? ln ? 16 ? x ? y
2

??

/>2

2

?? x

2

? y 2 ? 4 ?? ? 定义域是



(

)

?? x, y ? x ? y ? 16? C. D ? ?? x, y ? 4 ? x ? y ? 16?
A. D ?
2 2 2

B. D ? D. D ?

?? x, y ? x

2

? y2 ? 4

?

?? x, y ? 4 ? x ? 16, 4 ? y ? 16?
( D.不确定 . D.1 ( ) ( ) )

3. 比较大小: A. ?

??

?
2

sin xdx
B. ?

4

?? cos xdx .
2 4

?

C. ?

4. 微分方程 (y??)3 ? y? ? 2 y5 ? x ? 0 的阶数是 A.5 B.3 . C.2

5.下列广义积分发散的是 A.

?

??

1

dx x

B.
?

?

??

1

dx x x

C.

?

??

1

dx x2

D.

?

??

dx x2 x
( )

1

6. lim un ? 0 是级数
n ??

?u
n ?1

n

收敛的

条件. C.充分必要 D. 无关

A.必要非充分

B.充分非必要

7.如果点 ? x0 , y0 ? 为 f ( x, y ) 的极值点,且 f ( x, y ) 在点 ? x0 , y0 ? 处的两个一阶偏导数存在,则点 ? x0 , y0 ? 必 为 f ( x, y ) 的 A.最大值点 . B.驻点 C.最小值点 微分方程. B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 ( )

D.以上都不对 ( D. 一阶线性齐次 )

8 .微分方程 y? ? xy ? 0 是 A.一阶线性非齐次

9 .设 D 是第一象限内的一个有界闭区域, 而且 0 ? y ? 1 。 记 I1 ? 则 I1 , I 2 , I3 的大小顺序是 . ( )

??yx
D

d? ,I 2 ? ?? y xd? ,I 3 ? ?? y xd? ,
2 D
D

1 2

1

A. I1 ? I 2 ? I 3 10. 函数 f ( x, y ) ?

B. I 2 ? I1 ? I 3

C. I3 ? I1 ? I 2 .

D. I3 ? I 2 ? I1 ( )

1 的连续区域是 x? y

A. {( x, y) | x ? y ? 0} C. {( x, y) | ( x, y) ? (0,0)} 11.

B. {( x, y) | ?? ? x ? ??, ?? ? y ? ??} D. {( x, y) | x ? 0或y ? 0} ( C. ? 0 . D. ? 1 ( C. ) )

?

?

4 0

tan xdx

. B. ? 0

A. ? 0

12.下列广义收敛的是 A.

?

dx 0 x
1

B.

?

1

0

dx x

?

1

0

dx x x

D.

?

dx 0 x3
1

13.下列方程中,不是微分方程的是 A. ?



( C. y? ? e x ? y D. x2 ? y 2 ? k

)

? dy ? ? ? 3y ? 0 ? dx ?
3

2

B. dy ?

1 dx ? 0 x

14.微分方程 yy?? ? ? y? ? ? y? ? 0 的阶数是 A.5 B.3 C.2



( D.1

)

15.二元函数 f ( x, y ) ?

x 2 ? y 2 ? 1 ? 4 ? x 2 ? y 2 的定义域是
2 2


2

(

)

? C. D ? ?( x, y ) x

A. D ? ( x , y ) 1 ? x ? y ? 4
2

?

B. D ? ( x , y ) x ? y ? 1
2

?

?
?
( )

? y2 ? 4

?

D. D ? ( x, y ) 1 ? x ? 2,1 ? y ? 2

?

16.设 f ( x ? y, x ? y) ? x 2 ? y 2 ,则 A. 2 x ? 2 y 17. B. 2 x ? 2 y

?f ?f ? ? ?x ?y
C. x ? y

. D. ? x ? y (

?? e
D

x? y

d? =

其中积分区域 D 为区域: 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1; .
2

)

A. e

B. ? e ? 1?

C. e .

2

D. 1 ( )

18.下列等式正确的是 A. C.

? f ? x ?dx ? f ? x ?

d b f ? x ? dx ? f ? x ? dx ?a

d f ? x ?dx ? f ? x ? ? C dx ? d b f ? x ? dx ? 0 D. dx ?a
B.
2

19.二元函数 f ( x, y ) ?

x 2 ? y 2 ? 1 ? 9 ? x 2 ? y 2 的定义域是
2 2


2

(

)

? C. D ? ?( x, y ) x
是 A.
b a

A. D ? ( x , y ) 1 ? x ? y ? 9
2

?

B. D ? ( x, y ) x ? y ? 9
2

?

?
?

? y2 ? 9

?

D. D ? ( x, y ) 1 ? x ? 3,1 ? y ? 3

?

20 . 曲 线 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上 连 续 , 则 曲 线 y ? f ? x? 与 x ? a, x ? b 以 及 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 . ( B. ? )

? f ? x ? dx
?
2 2 2

? f ? x ? dx
a

b

C.

?

b

a

f ? x ? dx

D.|

? f ? x ? dx |
a

b

21.

? ? x cos
1 2
x? y

xdx ?
B.



( C. 1 D. 0 ( )

)

A. 22.

1 3

?? e
D

d? =

其中积分区域 D 为区域: 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1; . B. ? e ? 1?
2

A. e

C. e .

2

D.1 ( B. )

23.下列式子中正确的是 A. C.

? xdx ? ? x
0 0

1

1

2

dx dx

? xdx ? ? x dx
2 0 0

1

1

? xdx ? ? x
0 0

1

1

2

D.以上都不对

24. 二元函数 f ( x, y ) ?

x 2 ? y 2 ? 1 ? 4 ? x 2 ? y 2 的定义域是
2 2


2

(

)

? C. D ? ?( x, y ) x
点 ( x, y ) 的

A. D ? ( x , y ) 1 ? x ? y ? 4
2

?

B. D ? ( x, y ) x ? y ? 4
2

?

?
?

? y2 ? 4

?

D. D ? ( x, y ) 1 ? x ? 2,1 ? y ? 2

?

25. 二元函数 z ? f ( x, y) 在点 ( x, y ) 的某一邻域内有连续的偏导数 f x?( x, y), f y? (x, y ) 是函数 z ? f ( x, y) 在 . B.充分而不必要条件 D.无关条件
2

(

)

A.必要而不充分条件 C.充要条件 26.设 f ( x, y) ? xy ,则 A. 2 x ? 2 y

?f ?f ? ? ?x ?y



( D. 2 x ? y

)

B. 2 x ? 2 y

C. x ? 2 y

27.

? ? x cos
2 2

?

2

xdx ?



(

)

3

A. 28.

1 2
x? y

B.

1 3

C. 1

D. 0 ( )

?? 2e
D

d? =

其中积分区域 D 为区域: 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1; .
2

A. e
?

B. 2 ? e ? 1?
2 2

C. e 2

D. 1

29.

? ? sin x cos
2

xdx ?
B.



( C. 1 . C. sin t . D. sin x ( ) D. 0 ( )

)

A.

1 2

30. F ( x ) ? A. 1

?

x

0

? sin tdt , 则 F ' ( ) = 4
B. 0

1 3

31.函数 f ( x, y ) ?

1 的连续区域是 x? y

A. ( x, y) x ? y ? 0

?

?

B. {( x, y) | ?? ? x ? ??, ?? ? y ? ??} D. {( x, y) | x ? 0或y ? 0} . C. ? 0 . D. 8 ( C. 4 D. 3 . ( ) ) D. ? 1 ( ) ( )

C. {( x, y) | ( x, y) ? (0,0)} 32.

1? x 2 ? y 2 ? 2

??

3

1-(x 2 ? y 2 )dxdy
B. ? 0

A. ? 0

33.差分方程 yx?2 ? yx?4 ? yx?2 的阶数为 A. 2 B. 4
4 4

C. 6

34.微分方程 ( yy '') ? 3 y ? xy ? 0 的阶数是 A. 1 B. 2

35.函数 f ( x, y) ? ln(4 ? x 2 ? y 2 ) ? A. ( x, y) x ? y ? 4
2 2

x 2 ? 1 的定义域是
B. ( x, y) x ? 1

?

? ?

?

?
2

C. ( x, y) x ? y ? 4 , x ? 1
2 2

?

D. ( x, y) x ? y ? 4 或 x ? 1
2

?

?
( )

36.级数

?u
n ?1

?

n

的部分数列 Sn 有界是该级数收敛的 B.充分而不必要条件 D.无关条件



A.必要而不充分条件 C.充要条件 37.

?? 3e
D

x? y

d? ?

,其中积分区域 D 为区域 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1; .

(

)
4

A. e

B. 3(e ? 1)2

C. e2 .

D.1 ( D.以上均不对 ( ) )

38.微分方程 x3 y??? ? x2 y?? ? 4xy? ? 3x2 的阶是 A.一阶 39. B. 二阶 . C. 2? C.三阶

?

1

?1

1 ? x 2 dx ?
2
B. ?

A.

?

D. ?

? 2
( )

40.二元函数 f ( x, y) ?

x2 ? y2 的定义域是 x2 ? y2

A. D ? ( x , y ) y ? x

?

? ?

B. D ? ( x, y ) y ? ? x D.以上都不对

?

?

C. D ? ( x , y ) y ? ? x

?

41.设 f ( x ? y, x ? y) ? x 2 ? y 2 ,则 A. 2 x ? 2 y B. 2 x ? 2 y .

?f ?f ? ? ?x ?y
C. x ? y

. D. ? x ? y

(

)

42.下列式子中正确的是 A.

( B.

)
2 1

?

2

1

x 2 dx ? ? x 3 dx
1

2

?

2

1

x 2 dx ? ? x 3 dx
1

2

C.

?

2

1

x 2 dx ? ? x 3 dx

D.以上都不对 43.

d b arctan xdx ? dx ?a

, B. arctan b ? arctan a C. 0

(

)

A. arctan x 44.微分方程 y? ?

D.

1 1 ? x2
( )

1 xy ? 0 是 2

. B.一阶齐次微分方程 D.不可分离变量的微分方程

A.一阶线性非齐次微分方程 C.可分离变量的微分方程

45. 设 D 是 第 二 象 限 内 的 一 个 有 界 闭 区 域 , 而 且 0 ? y ? 1 。 记 I1 ?

? , I ? ?? y xd? ?? y x d
2 2 D D



I 3 ? ?? y 2 xd? ,则 I1 , I 2 , I3 的大小顺序是
D

1



( D. I3 ? I 2 ? I1

)

A. I1 ? I 2 ? I 3

B. I 2 ? I1 ? I 3

C. I3 ? I1 ? I 2 . C. y ? 0

46. 函数 z ? ln(x ? y) 的定义域为 A. {( x, y) x ? y ? 0} B. x ? 0

( D.以上都不对。

)

5

47.

1? x 2 ? y 2 ?2

??

3

1 ? (x 2 ? y 2 )dxdy
B. ? 0

. D. ? 1 . B. D ? ( x, y ) y ? ? x

(

)

A. ? 0

C. ? 0

48. 二元函数 f ( x, y) ?

x2 ? y2 的定义域是 x2 ? y2

(

)

A. D ? ( x , y ) y ? x

?

? ?

?

?

C. D ? ( x , y ) y ? ? x

?

D.以上都不对

49. 设 f ( x ) 在 [?a, a] 上连续,且为奇函数,则 A. 0 B. 2

?
a 0

a

?a

f ( x)dx (



(

)

?

a

0

f ( x)dx
?
2

C. 2

?

f ( x)dx

D. 以上答案均不对

50. 比较大小: A. ? 51. I ? A.

??

?
2

sin xdx
B. ?

4

?? cos xdx .
4

( D.不确定 (

)

C. ?

?? x y d? ?
2 2 D

,其中积分区域 D 为矩形: x ? 1, y ? 1

)

?

B.

1 9

C. 3

D.

4 9

二、填空: 1. ?

? ?

?

?

2 0

?? sin100 xdx ? ? ?
2 2



2. 二元函数 f ( x, y) ? x ? y ? 2 y 的驻点为 3. F ( x) ?

. . .

?
?

x

0

t 2 1 ? t dt , 则 F ?( x) =
2x

4. 微分方程 y?? ? e 的通解是

5. 幂级数

?
n ?1

? ?1?

n ?1

xn

n
2

的收敛半径是
2



6.若 D 是由曲线 x ? y ? 4 所围成的平面区域,则 7. F ( x) ? 8.

?? d? ?
D



?

x

0

1 ? t dt , 则 F ?( x) =


. 9. 设 u ? e .
x2 ? y 2 ? z 2

?

100

?100

x5 cos xdx ?
dy x ? ? 的通解为 dx y

,则 du ?



10.微分方程

6

11. 幂级数

x n ?1 的收敛半径是 ? n ?1 n n ?1 3
?

. 12.

? ? sin x cos
2 2

?

4

xdx =
.

.

13.点 ?1,1,1? 关于 xy 平面的对称点是

.

14.

?

??

??

1 dx ? 1 ? x2

xn 15.幂级数 ? 的收敛域是 n ?1 n

?

.

16.由隐函数 F ( x, y, z ) ? 0 确定的函数 z ? f ( x, y) 的导数 17. ? ? 5? ? 18. F ( x) ?

?z = ?y

(公式).

.

?

x

0

sin 2 tdt , 则 F ?( x) =
(公式).

.

19. 由隐函数 F ( x, y) ? 0 确定的函数 y ? f ( x) 的导数 20.微分方程

dy = dx
.

y?? ? x 2 的通解为

21.若函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数存在,且有极值, 则 f x ( x0 , y0 ) ? 22.设 z ? ln( x2 ? y 2 ) ,则 dz ? , f y ( x0 , y0 ) ? . .

23.

? ? 6? ? ? ? 3?

.

24. F ( x) ? ? t 3 1 ? tdt , 则 F ?( x) =
0

x

. .

25.差分方程 yx?2 ? yx?4

? yx?2 的阶为

?2z 26.设 z ? y cos x ,则 = ?x ?y
y 2 xy ,则 f ( ,1) ? 2 x x ?y
2

. 27.已知 z ? e

( x2 ? y2 )

,则 dz

?

.

28.设 f ( x, y ) ?
2

.

29.设 z ? ln( x ? y ) ,则 ? ? 4 ? ?
2

.

30.若 D 是由曲线 x ? y ? 9 所围成的平面区域,则
2 2

?? d? ?
D

.

31. 微分方程 ? y?? ? ? 4 y? ? 4 y ? 0 的阶为
3

.

32. 设 z ? uv ? v, u ? e , v ? sin t ,则全导数
t

dz = dt
.

.

33. 无穷级数

?? ?1?
n?1

?

n?1

4n 的和为 5n

7

34. 设 u ? e x? y? z ,则 du ? 36. F ( x) ?

.

35. 微分方程 . .

dy ? 2 xy 2 的通解是 dx

.

?

x2

0

sin t 2dt , 则 F ?( x) =
y 2 xy ,则 f (1, ) ? 2 x x ?y
2

37.设 f ( x, y ) ?

38.设 z ? ln( x2 ? y) ,则 dz ? 39. f ( x, y) ? esin x cos y ,求 f x (0,0) ?

. .

40.

? ? arctan x dx?? ?
b 2 a

.

41.若 D 是由曲线 x 2 ? y 2 ? 1所围成的平面区域,则

?? d? ?
D

.

42. 设函数 z

? arctan
?

x ,全微分 dz = y
.

.

43.无穷级数

2n ? ? n n ?0 3

44.微分方程 45. F ( x) ? 46.若 D ?

y?? ? e2 x 的通解为
x

. . . .

?

0

t 3 1 ? tdt , 则 F ?( x) =
2

?? x, y ? x

? y 2 ? 9 ,求 ?? d? ?
D

?

47.微分方程 y?? ? ? sin x 的通解为

48. 由隐函数 F ( x, y) ? 0 确定函数 y ? f ( x) 的导数,F ( x, y) ? 0 有连续偏导数,且 (公式). 49.设 z ? e 51.
xy 2

dy ?F ( x, y) ? 0 ,则 = dx ?y

,则

?z ? ?x
.

.

2 50. ? x ?

? ?

.

? ? 5? ? ? ? 3?

52.差分方程 yx?2 ? yx?4 ? yx?2 的阶数为

.

53.无穷级数 54. F ( x) ?

?? ?1?
n?1
x

?

n?1

2n 的和为 3n

.

?

0

t 2 cos tdt , 则 F ?( x) =
.

.

2 55. z ? cos( x ? y) ,则 dz ?

8

三、计算(一) : 1.求定积分

?

?

0

| cos x | dx .
x

2.

? 求极限 lim
x ?0

0

arctan tdt x2



3. 设 z ? e( x?2 y ) , x ? sin t , y ? t 2 ,求全导数 4. 设 z ? ln( x2 ? y 2 ) ,求

dz . dt

?z ?z ? 2 z . , , ?x ?y ?y?x

y2 5. 计算二重积分 I ? ?? dxdy ,其中 D ? {( x, y) |1 ? x ? 2,0 ? y ? 1} . 1 ? x2 D
6. 求函数 f ( x, y) ? x2 ? 2x ? y 2 的极值. 7.计算定积分

?
0

?

2 0

sin x cos 2 xdx .

? 8. 求极限 lim
x ?0

x

cos 2 tdt x



9. 设方程 sin y ? e x ? xy 2 ? 0 确定隐函数 y ? f ? x ? ,求
2 10. 设 z ? u ln v ,其中 u ?

dy . dx

x ?z ?z , v ? 3x ? 2 y ,求 , . y ?x ?y

11. 求微分方程

dy ? y ? e ? x 的通解. dx

12. 求二重积分 I ? 13.求定积分

?? e
D

x? y

dxdy ,其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} .

?

2?

0

| sin x | dx .
x

14. 求微分方程 y?? ? xe 的通解.
2 2 15. 求函数 z ? ln x ? y ,求全微分 dz .

16.计算二重积分

?? ? x ? 6 y ?d? ,其中 D 是由 y ? x, y ? 5x, x ? 1 所围成的区域.
D

17. 求函数 z ? u ,其中 u ? x ? 2 y, v ? x ? y 的偏导数
v

?z ?z , . ?x ?y

18. 求函数 f ( x, y) ? 4 ? x ? y ? ? x ? y 的极值.
2 2

19.求微分方程 e

x? y

dx ? dy ? 0

的通解.

9

20. 求定积分

? ? | sin x | dx .
2 ? 2
x 2 0

?

?(cos t 21. 求极限 lim
x ?0

? sint)dt x



22. 求微分方程 y?? ? y? ? x 的通解.

23. 求定积分

?

4

0

x?2 dx . 2x ?1

24. 求函数 f ( x, y) ? x2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的极值. 25.求微分方程

dy ? (1 ? y ) cos x 的通解. dx

26. 求定积分:

?

x dx . 0 1? x
4
?? 0

27. 求广义积分
?

?

xe? x dx .
2

2

? n !? 的敛散性. 28.判定级数 ? n ?1 ? 2 n ? !
29. 求函数 z ? ex sin y 的二阶偏导数. 30. 设 z ? x ? y ? xy, 其中 x ? sin t, y ? e ,求
2 2 t

dz . dt

31.求微分方程 y? ? 32. 求

y ? 0 的通解. x

2 dy ? 2 xy ? 2 xe ? x 的通解. dx

33. 求定积分

? 1?
0

1

2 x

dx .

? 34. 求极限 lim
x ?0

x

0

cos 2 tdt sin x



u 35. 设 z ? e sin v ,其中 u ? x ? 2 y, v ? 2 x ? y ,求

?z ?z , . ?x ?y

xy 36. 求 z ? e 的二阶偏导数.

37.求微分方程 2ln xdx ? xdy 38. 求 (1 ? e ) yy? ? e 的通解.
x x

? 0 的通解.

10

39. 求定积分

?

1

0

xe2 xdx .
x

?(cost 40. 求极限 lim
0 x?0

? sint 2)dt x



41. 求函数 z ? x 2 y ? xy 2 ,其中 x ? u cos v, y ? u sin v 的偏导数 42. 求函数 f ( x, y) ? x 3 ? y 3 ? 3xy 的极值. 43.解微分方程: e 44. 求定积分
x? y

?z ?z , . ?u ?v

dx ? dy ? 0 .

?

2?

0

| sin x | dx .
?? 0

45. 求广义积分

?

xe? xdx .

46. 求微分方程 xy?? ? 47. 已知函数 z

y? ? 0 的通解.

? x2 ye y ,求各二阶偏导数.

48. 函数 f ( x, y) ? x2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的极值. 49.求定积分

? 1? x
0

1

x

2

dx .

50. 求微分方程 y? ? (1 ? y)cos x 的通解. 51. 求定积分

?

??

0

e ? x dx .

52.求微分方程 53. 设由方程

y?? ? 2 y? ? y ? 0 的通解.

x z ?z ?z ? ln 确定隐函数 z ? z ? x, y ? ,求 , . ?x ?y z y
2

54. 设 z ? x y ? xy ,求二阶偏导数.
2

55.求微分方程 x 56. 求定积分

dy ? y ln y 的通解. dx

?

e

1

x 2lnxdx .
?z ?z , . ?x ?y

u 57. 设 z ? e sin v ,其中 u ? x ? y, v ? x ? y ,求

? 58.求极限 lim
x ?0

sin x

0

sin t 2dt

3x 2 ? x 4



59. 计算二重积分

?? e
D

x?2 y

d? ,其中 D : 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1.
11

60. 求函数 f ( x, y) ? x2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的极值. 四、计算(二) : 1. 求曲线 y ?

1 与直线 y ? x, x ? 2 所围成的图形的面积. x

2. 交换二次积分

?

1

0

dy ? f ? x, y ? dx ? ? dy ?
0 1

y

2

2? y

0

f ? x, y ? dx 的次序.

3. 用比值判别法(达朗贝尔法则)判定级数

? ? 2n ? 1?! 的敛散性.
n ?1

?

1

4. 求曲线 y ? x2 与 y ? 2 ? x2 所围成的图形的面积.

5.用比值判别法(达朗贝尔法则)判定级数

?2
n ?1

?

n

sin

?
3n

的敛散性.

6.利用极坐标计算二重积分 I ?

?? e
D

? x2 ? y 2

?

?

d? , D 是圆域 x2 ? y 2 ? R2 .

7. 求由曲线 y ? x2 , y ? 3x ? 4 围成的平面图形的面积.

8. 求幂级数

x n ?1 的收敛半径和收敛域. ? n ?1 n n ?1 3
?

y3 9. 计算二重积分 I ? ?? dxdy ,其中 D ? {( x, y) |1 ? x ? 2,0 ? y ? 3} . 1 ? x2 D
10. 用比值判别法判定级数

? 2 ? 2n ?1? 的敛散性.
n ?1 2 n ?1

?

1

11.求 z ? (3x ? y )
2

2 4 x ?5 y

的偏导数.

12.计算二重积分 I ?

??

D

sin x d xd y, ,其中 D 是由 y ? x, y ? 0, x ? ? 所围成的闭区域. x
2 2

13. 应用二重积分, 求在平面上由 y ? x 与 y ? 4x ? x 所围成的区域的面积 A .
y x
2

14.

求微分方程 ( xe

? y)dx ? xdy 在初始条件 y x?1 ? 0 下的特解.
? y 2 )d? ,其中 D 是区域 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 .
3

15. 计算二重积分

?? ( x
D

16. 求函数 f ( x, y) ? x ? y ? 3xy 的极值.
3

17. 计算

?? 3x y dxdy ,其中 D 是由不等式 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 所确定的正方形区域.
2 2 D

18. 求幂级数 x ?

x 2 x3 x 4 ? ? ? 2 3 4

的收敛半径和收敛域.
12

19. 求函数 z ? x4 ? y 4 ? 4 x2 y 2 的二阶偏导数.

y2 20. 计算二重积分 I ? ?? dxdy ,其中 D ? {( x, y) |1 ? x ? 2,0 ? y ? 1} . 1 ? x2 D
21. 用比值判别法(达朗贝尔法则)判定级数求极限 22. 设 z ? e x? y , x ? sin t , y ? t 2 ,求全导数 23. 计算二重积分

2 22 23 24 ? ? ? ? 1000 2000 3000 4000

的敛散性.

dz . dt

?? (2x ? 3 y)d? ,其中 D 是区域 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 .
D

24.用比值判别法判定级数

? 2 ? 2n ?1? 的敛散性.
n ?1 2 n ?1

?

1

25. 求在区间 ? 0, ? 上,由曲线 y ? sin x 与直线 x ? 0, y ? 1 所围成的图形的面积. ? 2? 26. 计算

? ??

?? (1 ? x )sin yd? ,其中 D
2 D
1 y 0 0

= ?0 ? x ? 2,0 ? y ?
2

? ?

??

?. 2?

27. 交换二次积分 28. 判定级数 ? 29. 求 ?10.1?

? dy ? f ? x, y ? dx ? ?

1

dy ?

2? y

0

f ? x, y ? dx 的次序.
的敛散性,若级数收敛,求其和.

?1 1? ?1 1? ?1 1 ? ? ??? ? ??? ? ?? ? 2 3 ? ? 4 9 ? ? 8 27 ?
的近似值.

2.03

30. 计算二重积分 五、证明:

y2 d? ,其中 D 是由直线 x ? 2, y ? x 与双曲线 xy ? 1 所围成的区域. ?? x2 D

1. 证明:设 z ? f ( x2 ? y 2 ) ,且 f 是可微函数,求证: y

?z ?z ?x ?0. ?x ?y ?z ?z

xy 2. 证明:设 z ? f ? ?e , cos ? xy ? ? ? ,且 f 是可微函数,求证: x ?x ? y ?y ? 0 .

x y 3. 设二元函数 z ? ln e ? e ,证明

?

?

?2 z ?2 z ?2 z 2 ? ? ( ) ? 0. ?x 2 ?y 2 ?x?y
?z ?z 1 ?y ? ?x ?y n

4. 设 z ? ln

?
a

n

x ? n y ,且 n ? 2 ,证明: x
a

?

5. 证明:

?

?a

f ? x ? dx ? ? ? f ? x ? +f ? ? x ?? ? dx . 0 ?
13

2 2 6. 求证:函数 z ? ln x ? y 满足方程

?2 z ?2 z ? ? 0. ?x 2 ?y 2

六、应用: 1. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 P 2 ,销售量分别为 Q 1和 P 1 和 Q2 ,需求函数 分别为 Q1 ? 24 ? 0.2P 1 , Q2 ? 10 ? 0.05P 2 ,总成本函数为 C ? 35 ? 40 ? Q 1 ? Q2 ? 试问:厂家如何确定两个市场的产品售价,使其获得的总利润最大?最大利润是多少? 2. (利用拉格朗日乘数法) 设生产某种产品的数量与所用两种原料 A 、 B 的数量 x、 y 间有关系式

P ? x, y? ? 0.005x2 y.欲用 150 元购料,已知 A、B 原料的单价分别为 1 元、2 元,问:购进两种原料各
多少,可使生产的产品数量最多? 3. 求由曲线 y ?

x 与直线 x ? 1, x ? 4, y ? 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转产生的旋转体的体积.

4. 某工厂生产两种产品 I 与 II,出售单价分别为 10 元与 9 元,生产 x 单位的产品 I 与生产 y 单位的产品 II 的总费用是: 400 ? 2x ? 3y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3y2 ) (元). 问:取得最大利润时,两种产品的产量各多少? 5. 求由曲线 y ? x3 与直线 x ? 2, y ? 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转产生的旋转体的体积. 6. 将正数 12 表示成三个正数 x, y, z 之和使得 u ? x 2 ? y 2 ? z 2 为最大,求此三个正数. 7. 要做一个容积为 a 的长方体箱子,问怎样选择尺寸,才能使其表面积最小? 8. 求由曲线 y ? 2 ? x 与 y ? x 所围成图形的面积.
2

9. 将正数 12 表示成三个正数 x, y, z 之和使得 u ? x y z 为最大,求此三个正数.
3 2

10. 某厂要用铁板作成一个体积为 2m 的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料 最省.

3

14


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