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角的概念的 推广


三 三角 角 5.1.1 角的概念的推广

三角 三角

初中学过的角的定义是什么? 在平面内,角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形. B

O 如图 ?AOB = ? BOA .

A

体育课上同学们在扔链球.

如何描述链球转过的角度 的大

小和方向呢?

任意角的概念
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角; 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角; 当一条射线没有作任何旋转时叫做零角.

O

A

角可以记作角 ? 或 ? ? ,也可简记为 ? .

如图 ? AOB =120? , B

? BOA = -120 ?

O

A

练习 1 画出下列各角. (1)0?,360? ,720? ,1 080? ,-360? ,-720?; (2) 90? ,450? ,-270? ,-630?.

角的加减运算
例 求和并作图表示: 90?+(-30? )=( 60? )

-30? 90? 60?

各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
练习 2 求和并作图表示 30?+45? ,60? -180?.

终边相同的角之间的关系
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 东部 西部 北部

?+360? ?-360?

?+2×360? ?-2×360?

?+3×360? ?-3×360?

… …

结论 所有与 ? 终边相同的角构成一个集合:

S={? | ? =?+k?360?,k ? Z }
注意 (1) k ? Z;

(2) ? 是任意角; (3) 终边相同的角不一定相等, 但相等的角终边相同; (4) 终边相同的角有无数多个, 它们的差是 360? 的整数倍.

例1(1) 写出与下列各角终边相同的角的集合. (1)45?; (2)135?;

(3)240?;

(4)330?.

象限角
在直角坐标系中讨论角时,通常使角的顶点和坐 标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的 大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置 的角,我们说它在坐标系中处于标准位置. 处于标准位置的角的终边落在第几象限,就把这个 角叫做第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上,就 认为这个角不属于任何象限.
y

?

?
x

?

O

例 ? 是第一象限角,? 是第二象限角,? 不属于任何象限.

例1(2) 指出下列各角分别是第几象限的角. (1)45?; (2)135?;

(3)240?;

(4)330?.

例2 写出终边在 y 轴上的角的集合. y

O

x

试一试 : 写出终边在 x 轴上的角的集合.

例3 在0~ 360? 内,找出与下列各角终边相同的角,

并判断它是哪个象限的角. (1) -120?; (2) 640?;
解 (1) 因为 -120? =-360?+240?,

(3) -950?.

所以 240? 的角与-120?的角终边相同,它是第三象限角.

(2) 因为 640?=360?+280?,
所以 280? 的角与640?的角终边相同,它是第四象限角. (3)因为-950?=-3×360?+130?,

所以 130?的角与-950?的角终边相同,它是第二象限角.

例4 写出第一象限角的集合. 解 在0~ 360? 之间,第一象限角的取值范围是 0<? <90?, 所以第一象限角的集合是

{? | k· 360? <?<90?+k· 360?,k?Z}.

试一试: (1)写出第二象限角的集合; (2)写出第三象限角的集合; (3)写出第四象限角的集合.

1. 锐角是第一象限角. 2. 第一象限的角全是锐角. 3. 第一象限的角都是正角. 4. 终边相同的角一定相等. 5. 小于 90? 的角都是锐角.

( √ ) ( ? ) ( ? ) ( ? ) ( ? )

6.小于 90? 的角不都是正角.

( √

)

共同回顾: 1. 任意角的概念. 2. 角的合成运算.

3. 终边相同的角的表示方法.
4. 象限角的概念与表示方法.

教材P127,练习 A 组第 3、 4 题;

练习 B 组第 1、 3 题.


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