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7-1-1直线的倾斜角和斜率


楼梯的另一个“故事”

比萨斜塔“新篇 ”

y ? kx ? b
y

l

k ? tan ?
x

?
o

练习 1 .用描点法作函数

y ? 2 x ? 1的图象 .
y
3

2 1



x y

0
1

1

l

3

讨论:
1 .点 P (1, 3 ) 是否在 直线 l : y ? 2 x ? 1上 ?
2 .点 P ( 2 , 3 ) 是否在直线

o

1

2

3

x

l : y ? 2 x ? 1上 ?

一次函数的图象是直线,直线不一定是一 3 .一次函数 y ? kx ? b 的图象是什么图形 ? . 次函数的图象 . 如 x ? a 是直线但不是函数

情景一
问题1:看图1,对于平面直角坐标 系内的一直线 l,你认为它的位置 由哪些条件确定? 问题2:看图2,任何一条直线与 轴都有一个相对倾斜度,可以用一 个什么几何量来反映一条直线与 x 轴的相对倾斜程度呢? x
y

l
0
图1

x

y
p

x

0 倾斜角 图2

?

概念定义
一、 直线的倾斜角
在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到 直线重合时所旋转的最小正角记为? ,

?

直线的倾斜角

y

l
?
0

x

2、直线倾斜角的范围:

播放

当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 ? 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 ? ? 0 的倾斜角的取值范围为: ? a ? 180

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y y y

a
零度角

a
x x o o

锐角

x

x

o

o

直角

钝角

1、直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做这 条直线的斜率。 用小写字母 k 表示,即:

k ? tan a
?

例如:

a ? 30 ? k ? tan 30 ?
?

3 3

a ? 45 ? k ? tan 45 ? 1
?

?

a ? 60 ? k ? tan 60 ?

?

?

3

a ? 120 ? k ? tan 120

?

?

? tan( 180 ? 120 )

?

?

? ? tan 60 ? ? 3
?

?

? k ? ? tan( 180 ? 135 ) a ? 135tan( 180 ??tan) 135 tan ? ? ?? ? ? tan 45 ? ? 1
a ? 150 ? k ? tan 150
?

当α是锐角时, ?
?

?

?

?

? tan( 180 ? 150 )

?

?

? ? tan 30 ? ?
?

?

3 3
?

a ? 0 ? k ? tan 0 ? 0

3、探究:由两点确定的直线的斜率
k ? tan ?

锐角
y
y2
y1
P2 ( x 2 , y 2 )

?
P1 ( x1 , y1 )

能不能构造 一个直角三 如图,当α为锐角时, 角形去求? ? ? ? P2 P1Q ,
且 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2

Q ( x 2 , y1 )

?

o

x1

x2

x

在 Rt ? P2 P1Q 中
QP 2 P1Q

k ? tan ? ? tan ? P2 P1Q ?

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? 0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x 2 , y 2 )

如图,当α为钝角是,
? ? 180 ? ? ,
?

且 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2

tan ? ? tan( 180 ? ? )
?

? ? tan ?
在 Rt ? P2 QP1中

?
Q ( x 2 , y1 )

P1 ( x1 , y1 )

?

o

x1

x2

x

tan ? ?

P2 Q P1 Q

?

y 2 ? y1 x1 ? x 2

? k ? tan ? ? ?

y 2 ? y1 x1 ? x 2

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? 0

思考?
1、当
y
?
p1 p 2

k 的位置对调时, 值又如何呢?
P1 ( x1 , y 1 )
Q ( x 2 , y1 )

y

P1 ( x1 , y 1 )

o

?

P2 ( x 2 , y 2 )

?
Q ( x 2 , y1 )

P2 ( x 2 , y 2 )

?

(3)

x

o

(4)

x

请同学们课后推导!

思考?
? ?0 2、当直线平行于x轴,或与x轴重合时, ? k ? tan 0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?
?

y
P1 ( x1 , y1 )

k ?
P2 ( x 2 , y 2 )

y 2 ? y1 x 2 ? x1

x1

o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0

思考?
? ? 90 , tan 90 ( 不存在 ) 1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k 不存在 上述公式还适用吗?为什么?
? ?

y
y2
P2 ( x 2 , y 2 )

k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

y1

P1 ( x1 , y1 )

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P1 ( x1 , y1 ),
P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 的直线的斜率公式:
y 2 ? y1 x 2 ? x1
P2
P1

k ?

(或 k ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2
P1

)

P2

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
x x o

C

x

o

o

a

B
y

a

o

D

x

a

练习
(1) 若直线 ax ? by ? c ? 0 在第一 , 二 , 三象限 , 则 ( ) A.ab ? 0, bc ? 0 C.ab ? 0, bc ? 0
( 2 ) 在图中的直线 关系为

B.ab ? 0, bc ? 0 D.ab ? 0, bc ? 0

l1 , l 2 , l 3的斜率 k 1 , k 2 , k 3的大小

l2 l3 l
1

情景二
问题3:滑滑梯怎样更刺激?安全考虑,滑滑梯如 何设计更合理呢?

滑滑梯的坡 度缓冲

A

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

4、如何才能确定直线位置?
y

l

a
x o

过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线?


一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

例1 如图 , 直线 l1的倾斜角 ? 1 ? 30 , 直线 l 2 ? l1 ,
0

求 l1 , l 2的斜率 .

y

l2

解: l1的斜率 k 1 ? tan ? 1
? tan 30
0

l1

?1
o

?2
x

?

3 3
0 0

? l 2的倾斜角 ? 2 ? 90 ? ? 1 ? 90 ? 30

0

? 120

0

? l 2的斜率 k 2 ? tan ? 2 ? tan 120

0

? ? 3.

例2 求经过点 A ( ? 2 , 0 ), B ( ? 5 ,3 ) 两点的直线的
斜率和倾斜角 .

解:

k ?

3?0 ? 5 ? (?2)

? ? 1,

? tan ? ? ? 1,
? 0 ? ? ? 180 ,
0 0

? ? ? 135 .
0

因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135°

练习 已知直线的倾斜角

? 满足 cos ? ?

a 5

, (| a |? 5 ),

求该直线的斜率 . 0 解: (1)当 a ? 0时 , cos ? ? 0 , ? ? 90 , k 不存在 ;

( 2 )当 a ? 0时 ,?| a |? 5 , ? ? [ 0 , ? ),

? sin ? ?

1?

a

2

?

25 ? a
sin ?

2

,
25 ? a a
在; 2 25 ? a
2

25
? k ? tan ? ?

5
?

cos ?

.

所以 , 当 a ? 0时所求直线的斜率不存

当 a ? 0时所求直线的斜率为

.

a

练习 求经过两点

P1 ( 2 ,1) 和 P2 ( m , 2 )( m ? R )的
.

直线 l 的斜率 , 并求出 l 的倾斜角 ? 及其取值范围

解:

(1)当 m ? 2时 , x1 ? x 2 ? 2 .

? 直线 l 垂直于 x 轴 ,因此直线的斜率不存在
倾斜角 ? ?

?

,

;

2 ( 2 )当 m ? 2时 , 直线 l 的斜率 k ?

1 m?2

,

当 m ? 2时 , k ? 0 , ? ? ? arctan 当 m ? 2时 , k ? 0 ,

1 m?2

,? ? (0,

?

). , ? ).

2 ,? ? (

? ? ? ? ? arctan

1 m?2

?
2

练习求证 证明一

: A (1, ? 1), B ( ? 2 , ? 7 ), C ( 0 , ? 3 ) 三点共线 . 由 A (1, ? 1), B ( ? 2 , ? 7 ), C ( 0 , ? 3 )
? 7 ? ( ? 1) ? 2 ?1 ? 2 , k AC ? ? 3 ? ( ? 1) 0 ?1
A.

k AB ?

? 2,

k AB ? k AC ,

? 直线 AB , AC 的倾斜角 相同且过一个共公点

? A , B , C 三点共线 ( 在直线 AB 上 ).

证明二

? AB ? ( ? 7 ? ( ? 1), ? 2 ? 1) ? ( ? 6 , ? 3 ) AC ? ( ? 3 ? ( ? 1), 0 ? 1) ? ( ? 2 , ? 1),

? AB ? 3 AC ,

A , B , C 三点共线 .

练习 已知 P (1, 2 ), P ( x , 3 ), P ( ? 3 , ? 1) 在一条直 1 2 3
线上 , 求 x 的值 .

解:


? P1 , P2 , P3 在一条直线上

,?

k P1 P2 ? k P2 P3

3?2

x ?1 ?3? x 练习 : 过点 P1 ( ? 2 , m ) 和 P2 ( m , 4 )的直线的斜率
等于 1, 求 m 的值 .

?

?1? 3

,

x ? ? 19 .

解:



4?m m?2

?1

m ? 1.


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