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线性规划高考题型


线性规划高考题型
1. “截距”型
在线性约束条件下,求形如 z ? ax ? by (a, b ? R) 的线性目标函数的最值问题,通常转化 为求直线在 y 轴上的截距的取值. 结合图形易知, 目标函数的最值一般在可行域的顶点处取 得.

? y?2 ? 1.【广东卷 理 5】已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则

z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? y ?1 ?

)

( A) 12 ( B ) 11 (C ) ?

( D) ??

? x -y ? 10 ? 2. (辽宁卷 理 8)设变量 x ,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
A.20 B.35 C.45 D.55

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 3.(全国大纲卷 理 13) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为。 ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0
4.【陕西卷 理 14】 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该 ??2 x ? 1, x ? 0

曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为.

? x?0 ? 7. (安徽卷 理 11) 若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ . ?2 x ? y ? 3 ?
8.(山东卷 理 5)的约束条件 ? A. [ ?

?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1
3 ,-1] 2
C.[-1,6] D.[-6,

3 ,6] 2

B.[ ?

3 ] 2

? x, y ? 0 ? 9.(新课标卷 理 14) 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为. ? x? y ?3 ?

2 . “距离”型
?x ? 1 ? 10.【福建卷理 8】 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? 1 ,平面区域是 ?2 与 ? 1关 ?y ? x ?
1

于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ? 1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小 值等于( A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

11.(北京卷 理 2) 设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点, ?0 ? y ? 2

则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A

? 4

B

? ?2
2

C

? 6

D

4 ?? 4

3. “斜率”型
12.【2008 年高考· 福建卷理 8】 若实数 x、y 满足 ? ( ) A.(0,1) B. ? 0,1? C.(1,+ ? ) D. ?1, ?? ?

?x ? y ?1 ? 0 y , 则 的取值范围是 x ? x?0

c ln b ≥ a ? c ln c ,则 b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , 13.(· 江苏卷 14)已知正数 a ,
取值范围是.

b 的 a

4. “平面区域的面积”型考题
14.【重庆卷 理 10】设平面点集

? 1 ? A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则 A ? B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为 A

3 ? 4

B

3 ? 5

C

4 ? 7

D

? 2

15.(江苏卷 理 10)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} ,则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为 A. 2 B. 1 C. ( )

1 2

D.

1 4

?x ? 0 ? 16.(安徽卷 理 15) 若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化 ?y ? x ? 2 ?
到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为.

2

?x ? 0 4 ? 17.(安徽卷 理 7) 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分 3 ?3 x ? y ? 4 ?
为面积相等的两部分,则 k 的值是 (A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4



? x ? 0, ? 18.(浙江卷 理 17)若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐 ?x ? y ? 1 ?
标点 P (a, b) 所形成的平面区域的面积等于__________.

5. “求约束条件中的参数”型考题
规律方法:当参数在线性规划问题的约束条件中时,作可行域,要注意应用“过定点的 直线系”知识,使直线“初步稳定”,再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.

?x ? y ?1 ? 0 ? 19.(福建卷 文 9)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
的平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2
x

D. 3

?x ? y ? 3 ? 0 ? 20. 【福建卷 理 9】 若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m ?x ? m ?
的最大值为( A. ) B.1 C.

1 2

3 2

D.2

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? 21.(山东卷 理 12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ≥ 0, 所表示的平面区域为 M ,使函 ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 ?
数 y ? a (a ? 0,a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是(
x



A.[1,3]

B.[2, 10 ]

C.[2,9]

D.[ 10 ,9]

3

? x ? y ? 11 ? 0 ? x 22.(北京卷 理 7)设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 A (1,3] B [2,3] C (1,2] D [ 3, ?? ]

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 23.(浙江卷 理 17)设 m 为实数,若{ ( x, y ) ? 3 ? x ? 0 } ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 25} ,则 ? mx ? y ? 0 ?

m 的取值范围是___________.
? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 24.(浙江卷 理 7) 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则 ? x ? my ? 1 ? 0, ?
实数 m ? ( A ?2 ) B ?1 C1 D2

6. “求目标函数中的参数”型
规律方法:目标函数中含有参数时,要根据问题的意义,转化成“直线的斜率”、“点到 直线的距离”等模型进行讨论与研究.

?x ? y ? 1 ? 25.(陕西卷 理 11)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1, ?2 x ? y ? 2 ?
0)处取得最小值,则 a 的取值范围是 ( A. ( ?1 ,2) B. ( ?4 ,2) ) C. (?4, 0] D. (?2, 4)

?y ? x ? 26.(· 湖南卷 理 7)设 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下, 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2, ?x ? y ? 1 ?
则 m 的取值范围为 A. (1,1 ? 2 ) B. (1 ? 2 ,??) C. (1,3) D. (3,??)

7. 其它型
?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 27. (山东卷 理 12) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的值是最大值为 12,则 ? 的最小值为( ) a b

4

A.

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 28. (安徽卷 理 13)设 x , y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ?x ? 0 , y ? 0 ?

z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8,则 a ? b 的最小值为________.

5


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