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高中数学 《二项式定理》说课稿 新人教A版选修2-3


高三复习课《二项式定理》说课稿
高三第一阶段复习,也称“知识篇”。在这一阶段,学生重温高一、高二所学课程,全面 复习巩固各个知识点,熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度,对学过的知识产 生全新认识。在高一、高二时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关 知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,学的知识往往是零碎和散乱,而在第一轮复 习时,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化, 把各个知识点融会贯通。对于普通高中的学生,第一轮复习更为重要,我们希望能做高考 试题中一些基础题目,必须侧重基础,加强复习的针对性,讲求实效。 一、内容分析说明 1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的二项式的乘方的展开式, 与数学的其他部分有密切的联系: (1)二项展开式与多项式乘法有联系,本小节复习可对多项式的变形起到复习深 化作用。 (2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系,利用二项式定理可得到一 些组合数的恒等式,因此,本小节复习可加深知识间纵横联系,形成知识网络。 (3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。 2、高考中二项式定理的试题几乎年年有,多数试题的难度与课本习题相当,是容易题 和中等难度的 试题,考察的题型稳定,通常以选择题或填空题出现,有时也与应用题结合在一起求某些 数、式的 近似值。 二、学校情况与学生分析 (1)我校是一所镇普通高中,学生的基础不好,记忆力较差,反应速度慢,普遍 感到数学难学。但大部分学生想考大学,主观上有学好数学的愿望。 (2)授课班是政治、地理班,学生听课积极性不高,听课率低(60﹪),注意力 不能持久,不能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛,大部分能机械的模 仿,部分学生好记笔记。 三、教学目标 复习课二项式定理计划安排两个课时,本课是第一课时,主要复习二项展开 式和通项。根据历年高考对这部分的考查情况,结合学生的特点,设定如下教学目标: 1、知识目标:(1)理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征 熟记它的展开式。 (2)会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。 2、能力目标:(1)教给学生怎样记忆数学公式,如何提高记忆的持久性和准确性, 从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力,是其它能力的基础。 (2)树立由一般到特殊的解决问题的意识,了解解决问题时运用的数 学思想方法。

1

3、情感目标:通过对二项式定理的复习,使学生感觉到能掌握数学的部分内容,树 立学好数学的信心。有意识地让学生演练一些历年高考试题,使学生体验到成功,在明年 的高考中,他们也能得分。 四、教学过程 1、知识归纳 (1)创设情景:①同学们,还记得吗? 、 、 展开式是什么? ②学生一起回忆、老师板书。 设计意图:①提出比较容易的问题,吸引学生的注意力,组织教学。 ②为学生能回忆起二项式定理作铺垫:激活记忆,引起联想。 (2)二项式定理:①设问 展开式是什么?待学生思考后,老师板书 = C a +C a
n n-1 1

b +?+C an-rbr+?+C bn(n∈N*)

②老师要求学生说出二项展开式的特征并熟记公式:共有 项;各项里 a 的指数从 n 起依 次减小 1,直到 0 为止;b 的指数从 0 起依次增加 1,直到 n 为止。每一项里 a、b 的指数 和均为 n。 ③巩固练习 , , , 设计意图:①教给学生记忆的方法,比较分析公式的特点,记规律。 ②变用公式,熟悉公式。 (3) 展开式中各项的系数 C , C , C ,? , 称为二项式系数. 展开式的通项公式 Tr+1=C a 2、例题讲解 例 1 求 的展开式的第 4 项的二项式系数,并求的第 4 项的系数。 讲解过程 设问:这里 ,要求的第 4 项的有关系数,如何解决? 学生思考计算,回答问题; 老师指明①当项数是 4 时, ,此时 ,所以第 4 项的二项式系数是 , ②第 4 项的系数与的第 4 项的二项式系数区别。 板书 解:展开式的第 4 项。 所以第 4 项的系数为 ,二项式系数为 。 选题意图:①利用通项公式求项的系数和二项式系数;②复习指数幂运算。 例 2 求 的展开式中不含的 项。 讲解过程 设问:①不含的 项是什么样的项?即这一项具有什么性质? ②问题转化为第几项是常数项,谁能看出哪一项是常数项?
2
n-r r

填空

b , 其中 r= 0,1,2,?n 表示展开式中第 r+1 项.

师生讨论 “看不出哪一项是常数项,怎么办?” 共同探讨思路:利用通项公式,列出项数的方程,求出项数。 老师总结思路:先设第 项为不含 的项,得 ,利用这一项 的指数是零, 得到关于 的方程,解出 后,代回通项公式,便可得到常数项。 板书 解:设展开式的第 项为不含 项,那么 令 ,解得 ,所以展开式的第 9 项是不含的 项。 因此 。 选题意图:①巩固运用展开式的通项公式求展开式的特定项,形成基本技能。 ②判断第几项是常数项运用方程的思想;找到这一项的项数后,实现了转化,体现转化的 数学思想。 例 3 求 的展开式中, 的系数。 解题思路:原式局部展开后,利用加法原理,可得到展开式中的 系数。 板书 解:由于 ,则 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数之和。 而 的展开式含 的项分别是第 5 项、第 4 项和第 3 项,则 的展开式中 的 系数分别是: 。 所以 的展开式中 的系数为 例 4 如果在( + ) 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项. 解:展开式中前三项的系数分别为 1, , , 由题意得 2× =1+ ,得 n=8. 设第 r+1 项为有理项,T =C · ·x ,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,8. 有理项为 T1=x ,T5= x,T9= . 3、课堂练习 1.(2004 年江苏,7)(2x+ ) 的展开式中 x 的系数是 A.6 D.48 解析:(2x+ ) =x (1+2 ) ,在(1+2 ) 中,x 的系数为 C ·2 =24. 答案:C 2.(2004 年全国Ⅰ,5)(2x - ) 的展开式中常数项是 A.14 14
3 7 3 7 4 2 4 4 2 4 3 4

n

B.12

C.24

B.- C.42
3

D.-42
r

解析:设(2x - ) 的展开式中的第 r+1 项是 T =C (2x ) (- ) =C 2 · (-1) ·x , 当- +3(7-r)=0,即 r=6 时,它为常数项,∴C (-1) ·2 =14. 答案:A
6 1

r

3

3.(2004 年湖北,文 14)已知(x +x ) 的展开式中各项系数的和是 128,则展开式中 x5 的系数是_____________.(以数字作答) 解析:∵(x +x ) 的展开式中各项系数和为 128, ∴令 x=1,即得所有项系数和为 2 =128. ∴n=7.设该二项展开式中的 r+1 项为 T =C (x ) ·(x ) =C ·x , 令 =5 即 r=3 时,x 项的系数为 C =35. 答案:35 五、课堂教学设计说明 1、这是一堂复习课,通过对例题的研究、讨论,巩固二项式定理通项公式, 加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识,形成求二项式展开式某些指 定项的基本技能,同时,要培养学生的运算能力,逻辑思维能力,强化方程的思想和转化 的思想。 2、在例题的选配上,我设计了一定梯度。第一层次是给出二项式,求指定的 项,即项数已知,只需直接代入通项公式即可(例 1);第二层次(例 2)则需要自己创 造代入的条件,先判断哪一项为所求,即先求项数,利用通项公式中指数的关系求出 , 此后转化为第一层次的问题。第三层次突出数学思想的渗透,例 3 需要变形才能求某一项 的系数,恒等变形是实现转化的手段。在求每个局部展开式的某项系数时,又有分类讨论 思想的指导。而例 4 的设计是想增加题目的综合性,求的 n 过程中,运用等差数列、组合 数 n 等知识,求出后,有化归为前面的问题。 六、个人见解
5

n

n

n

r

4


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