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数学奥林匹克高中训练题(23)及答案


数学奥林匹克高中训练题(23)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题23) 1996 + 1 除以 1996 × 1997 所得的余数是(D).
3

(A) 1

(B) 1995

(C) 1996

(D) 1997

2.(训练题23)若在抛物线 y = ax 2 ( a > 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该 圆与抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是(A). (A)

1 2a

(B)

1 a

(C) a

(D) 2a

3.(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线(共四条线段) ,则正确 的命题是(B). (A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边. (B)任何三条线段都可组成一个三角形,其中每个内角都是锐角. (C)任何三条线段都可组成一个三角形,其中必有一个是钝角三角形. (D)任何三条线段都可组成一个三角形,其形状是“锐角的”或者是“非锐角的” ,随长方体的长, 宽,高而变化,不能确定. 4.(训练题23)若 0 < x < (A) (? ∞,+∞ )

π
2

,则 tan x + cot x + (B) (0,+∞ )

1 1 ? 的取值范围是(D). sin x cos x 1 (C) ( ,+∞) (D) (1,+∞ ) 2
(D)

5.(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻,则其可能的排法个数是(A).

7!?6! 10!?3! (C) 4! 7! 6.(训练题23)使得 n sin 1 > 5 cos 1 + 1 成立的最小正整数 n 是(B).
(A) (B) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

8!?7! 5!

10!?7! 3!

1 . ( 训 练 题 23) 设 a ∈ R , 若 函 数 y = f ( x ), y = 10 x + 3 关 于 直 线 y = x 对 称 , 且 y = f ( x ) 与

y = lg( x 2 ? x + a ) 有公共点,则 a 的取值范围是
2. (训练题23)设 a, b ∈ R + , i 2 = ?1 且存在 z ∈ C , 适合 ?
o

a < ?6



? ? z + z z = a + bi 则 ab 的最大值等于 z ≤1 ? ? 1 ,则 α 等于 sin α 30o 或50o

1 8




3.(训练题23)设 0 < α < 90 ,若 1 + 3 tan(60 ? α ) =
o

4.(训练题23)设 ABCD ? A B C D 是棱长为1的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的点 P 与过顶
' ' ' '

点 A ' , B ' , C ' , D ' 的圆上的点 Q 之间的最小距离 d =

3? 2 2



5.(训练题23)如图,在直角坐标系 xOy 中,有一条周期性折线(函数) l1 : y = f ( x). 现把该曲线绕 原点 O 按逆时针方向旋转 45 得到另一条曲线 l 2 ,则这两条曲线与 y 轴及直线 x = n(n ∈ N ) 围成的图
o

y 形的面积等于

n n n (1 + [ ])( 2n ? [ ]) ? 2 2 2



A -3

A -1

A1

A3

A5

A7 x

-3 -2 -1

O1 2 3 4 5 6 7 8

6.(训练题23)设 a, b 都是正整数,且 a + b 2 = (1 +

2 )100 则 a ? b 的个位数等于

4



第二试
一、(训练题23)(本题满分25分) 求证:在复平面上,点集 S = {z ∈ C : z 3 + z + 1 = 0} 中,除去某一个

点外的所有的点都在圆环

13 5 < z < 中. 3 4

二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0), 其焦点为 F .试问:是否存在过 F 点的弦

AB ( A, B 均在抛物线上,且 A 在第一象限内) ,以及 y )轴正半轴上的一点 P ,使得 P, A, B 三点
构成一个以 P 为直角顶点的等腰直角三角形?证实你的回答.如果回答是肯定的, 请求出直线 AB 的方 程. y =
4

3 p (x ? ) 4 2

三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定 ?A1 A2 A3 及点 P0 ,构造点列 P0 , P , P2 L ,使得 P3 k +1 为 1 1 点 P3k 绕中心 A1 顺时针旋转 150 时所到达的位置, P3k + 2 和 P3k +3 为点 P3k +1 和 P3k + 2 分别绕中心 A2 和 而
o

A3 顺时针旋转 105 o 时所到达的位置,k = 0,1,2,3,L .若对某个 n ∈ N ,有 P3n = P0 ,试求 ?A1 A2 A3 的
各个内角的度数及三个顶点 A1 , A2 , A3 的排列方向. 四、(训练题23)(本题满分35分)设 0 < α 1 ≤ α 2 ≤ L ≤ α n , 0 < b1 ≤ b2 ≤ L ≤ bn ,且
n

∑ ai ≥ ∑ bi 又
i =1 i =1 i

n

n

存在 k (1 ≤ k ≤ n) 使得当 i ≤ k 时有 bi ≤ ai ,当 i > k 时,有 bi > a i .求证:

∏ a ≥ ∏b
i i =1 i =1

n




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