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湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷(理科)【解析版】


湖北省武汉市 2015 届高三二月调考数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数﹣ A.1﹣i 的共轭复数是() B.﹣1+i C.1+i
x

D.﹣1﹣i

2. (5 分)已知集合 A={y|y=lo

g2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?

3. (5 分)若函数 f(x)= A.a=1 B.a>1

在[2,+∞)上有意义,则实数 a 的取值范围为() C.a≥1 D.a≥0

4. (5 分)若几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.π

5. (5 分)10 件产品中有 3 件次品,不放回地抽取 2 次,在第 1 次抽出的是次品的前提下, 则第 2 次抽出正品的概率是() A. B. C. D.

6. (5 分)

dx=()

A.2( ﹣1) B. +1 C. ﹣1 D.2﹣ 7. (5 分)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的 是() A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B. 若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C. 若 m∥n,m∥a,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β

8. (5 分)已知点 P 是双曲线 垂线,垂足分别为 A、B,则 A.﹣ B.

﹣y =1 上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的 ? =() C. ﹣
2

2

D.﹣
2 2

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +a =c + C=() A. B. C. D. 或

ab,则内角

10. (5 分)已知点 P 为曲线 xy﹣ x﹣2y+3=0 上任意一点,O 为坐标原点,则|OP|的最小值 为() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) 11. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为.

12. (5 分) (1+x) (1﹣x)

10

展开式中 x 的系数为.

3

13. (5 分) 已知向量 =(2,﹣7) , =(﹣2,﹣4) ,若存在实数 λ,使得( ﹣λ )⊥ , 则实数 λ 为.

14. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=(a﹣1)x+ay 在点(﹣

1,0)处取得最大值,则实数 a 的 取值范围为. [来源:学&科&网] (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) (选修 4-1: 几何证明选讲) 15. (5 分)已知 AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ,PA=4 ,OP=3,则⊙O 的 半径 R=.

(选修 4-4:坐标系与参数方程) 16.在极坐标系中,点 P(2,﹣ )到直线 l:ρsin(θ﹣ )=1 的距离是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx?cos(x﹣ 点( , ) )+asin(2x+ ) (a 为常数)的图象经过

(Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)解不等式 f(x)≥0. 18. (12 分)已知{an}是由正数组成的数列,其前 n 项和 Sn 与 an 之间满足:an+ = (n≥1 且 n∈ N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn=( ) an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n *

19. (12 分) 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 底面△ ABC 为正三角形且边长为 点 A 在下底面的射影是△ A1B1C1 的中心 O.

a, 侧棱 AA1=2a,

(Ⅰ)求证:AA1⊥B1C1; (Ⅱ)求二面角 B1﹣AA1﹣C1 所成角的余弦值.[来源:学*科*网]

20. (12 分)某工厂的一个车间有 5 台同一型号机器均在独立运行,一天中每台机器发生故 障的概率为 0.1,若每一天该车间获取利润 y(万元)与“不发生故障”的机器台数 n(n∈N, n≤5)之间满足关系式:y= (Ⅰ)求某一天中有两台机器发生故障的概率; (Ⅱ)求这个车间一天内可能获取利润的均值(.精确到 0.01) .

21. (13 分)如图,F1,F2 是椭圆 C:

+

=1 的左右两个焦点,|F1F2|=4,长轴长为 6, =2 .

又 A,B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点,且满足 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求直线 AF1 的方程; (Ⅲ)求四边形 ABF2F1 的面积.

22. (14 分)已知 e=2.71828…是自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 f(x)=ln(x+1)﹣x+ (Ⅱ)求证 ln2> ; 在[0,+∞)上的最小值;

(Ⅲ)求证 ln2+ln3+ln4+…+ln(n+1)>

(n≥1,n∈N) .

湖北省武汉市 2015 届高三二月调考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数﹣ A.1﹣i 的共轭复数是() B.﹣1+i C.1+i D.﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:复数﹣ = =﹣1+i 的共轭复数为﹣1﹣i,

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.
x

2. (5 分)已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B=() A.{y|0<y< } B.{y|0<y<1} C.{y| <y<1} D.?

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B,然后再求两个集合的交集 即可. 解答: 解:∵集合 A={y|y=log2x,x>1}, ∴A=(0,+∞) ∵B={y|y=( ) ,x>1}, ∴B=(0, ) ∴A∩B=(0, ) 故选 A. 点评: 本题考查了交集运算以及函数的至于问题, 要注意集合中的自变量的取值范围, 确 定各自的值域.
x

3. (5 分)若函数 f(x)= A.a=1 B.a>1

在[2,+∞)上有意义,则实数 a 的取值范围为() C.a≥1 D.a≥0

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,解参数即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴ax﹣2≥0 在[2,+∞)上恒成立, 即 a≥ 在[2,+∞)恒成立, ∵0< ≤1, ∴a≥1, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数恒成立问题,根据函数的定义域是解决本题的关键. 4. (5 分)若几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() 在[2,+∞)上有意义,

A.

B.

C.

D.π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图, 得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体, 结合 数据求出该几何体的体积. 解答: 解:根据几何 体的三视图,得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体, 底面圆的半径为 1,高为 2, 所以该几何体的体积为 V 几何体= × π?1 ×2=
2



故选:B. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题,是基础题目. 5. (5 分)10 件产品中有 3 件次品,不放 回地抽取 2 次,在第 1 次抽出的是次品的前提下, 则第 2 次抽出正品的概率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意,易得在第一次抽到次品后,有 2 件次品,7 件正品,由概率计算公式, 计算可得答案. 解答: 解:根据题意,在第一次抽到次品后,还有有 2 件次品,7 件正品; 则第二次抽到正品的概率为 P= . 故选:B. 点评: 本题考查概率的计算,解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制.

6. (5 分) A.2( ﹣1) B.

dx=() +1 C. ﹣1 D.2﹣

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先根据二倍角公式,化简原函数,再根据定积分的计算法则计算即可 解答: 解:∵ = =cosx﹣sinx,



dx=

(cosx﹣sinx)dx=(sinx+cosx)|

=

+

﹣0﹣1=

﹣1

故选:C 点评: 本题考查了定积分的计算和三角函数的化简,属于基础题 7. (5 分)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的 是() A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B. 若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C. 若 m∥n,m∥a,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 用具体事物比如教室作为长方体, 再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定 理判断. 解答: 解:A 不正确,比如教室的一角三个面相互垂直; B 不正确,由面面平行的判定定理知 m 与 n 必须是相交直线; C 不正确,由线面平行的性质定理知可能 n?α; D 正确,由 m∥n,m⊥a 得 n⊥α,因 n⊥β,得 α∥β[来源:学§科§网] 故选 D. 点评: 本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理, 利用具体的事物可培养立 体感.

8. (5 分)已知点 P 是双曲线 垂线,垂足分别为 A、B,则 A.﹣ B.

﹣y =1 上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的 ? =() C. ﹣ D.﹣

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(m,n) ,则 ﹣n =1,即 m ﹣4n =4,求出渐近线方程,求得交点 A,B,
2 2 2

再求向量 PA,PB 的坐标,由向量的数量积的坐标表示,计算即可得到. 解答: 解:设 P(m,n) ,则 由双曲线
2

﹣n =1,即 m ﹣4n =4, x,

2

2

2

﹣y =1 的渐近线方程为 y=

则由

解得交点 A(



) ;



解得交点 B(



) .

=( 则有 ? =

, ?

) ,

=( + ?
2



) ,

=

+

=﹣

(m ﹣4n )=﹣

2

×4=﹣



故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质, 考查渐近线方程的运用, 考查联立方程组求交点的 方法,考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档题. 9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +a =c + C=() A. B. C. D. 或
2 2 2

ab,则内角

考 点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式变形后代入计算求出 cosC 的值,即可确定 出 C 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵在△ ABC 中,b +a =c + ab,即 b +a ﹣c = ab,

∴cosC= 则 C= ,

=



故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

10. (5 分)已知点 P 为曲线 xy﹣ x﹣2y+3=0 上任意一点,O 为坐标原点,则|OP|的最小值 为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: 则|OP|= =

两点间的距离公式;函数的最值及其几何意义. 计算题;函数的性质及应用. 根据两点间的距离公式,利用配方法进行转化即可得到结论. 解:设 P(x,y) , = ≥ ,

当且仅当

,即

取等号,

故|OP|的最小值是



故选:A. 点评: 本题主要考查两点间的距离的求解,利用配方法将式子进行配方是解决本题的关 键. 二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) 11. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 32.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 a 的值,当 a=32 时,满足条件 a>31, 退出循环,输出 a 的值为 32. 解答: 解:模拟执行程序,可得 a=1,b=2 不满足条件 a>31,a=2 不满足条件 a>31,a=4 不满足条件 a>31,a=8 不满足条件 a>31,a=16 不满足条件 a>31,a=32 满足条件 a>31,退出循环,输出 a 的值为 32. 故答案为:32. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 a 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查. 12. (5 分) (1+x) (1﹣x)
10

展开式中 x 的系数为﹣75.

3

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 10 10 3 分析: 把(1﹣x) 按照二项式定理展开,可得(1+x) (1﹣x) 展开式中 x 的系数. 解答: 解: (1+x) (1﹣x) =(1+x) (1﹣ 故(1+x) (1﹣x)
10 10

?x+ +

?x ﹣ =﹣75,

2

?x +…+

3

?x ) ,

10

展开式中 x 的系数为﹣

3

故答案为:﹣75. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题.

13. (5 分)已知向量 =(2,﹣7) , =(﹣2,﹣4) ,若存在实数 λ,使得( ﹣λ )⊥ , 则实数 λ 为 .

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由垂直关系可得( ﹣λ )? =0,由坐标运算可得 λ 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵向量 =(2,﹣7) , =(﹣2,﹣4) , ∴ ﹣λ =(2+2λ,﹣7+4λ) , ∵存在实数 λ,使得( ﹣λ )⊥ , ∴( ﹣λ )? =﹣2(2+2λ)﹣4(﹣7+4λ)=0, 解得 λ= 故答案为: 点评: 本题考查数量积与向量的垂直关系,属基础题.

14. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=(a﹣1)x+ay 在点(﹣

1,0)处取得最大值,则实数 a 的取值范围为(﹣∞, ].

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即 可求出 a 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 若 a=0,则目标函数为 z=﹣x, 即 x=﹣z, 此时满足目标函数 z=(a﹣1)x+ay 在点(﹣1,0)处取得最大值, 若 a≠0,则由 z=(a﹣1)x+ay 得, y= x , <0, 平移目标函数可知此时当目标函数经过点 A (﹣

若 a<0, 此时目标函数的斜率 k= 1,0)时,直线截距最小,z 最大,

若 a>0, 要使目标函数 z=(a﹣1)x+ay 在点(﹣1,0)处取得最大值, 则满足目标函数的斜 率 k= ≥1,即 a≤ ,此时满足 0≤a≤ ,

综上 a≤ ,故实数 a 的取值范围是(﹣∞, ] 故答案为: (﹣∞, ]

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 根 据目标函数 z=(a﹣1)x+ay 在点(﹣1,0)处取得最大值,确定直线的位置是解决本题的 关键.注意要进行分类讨论. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) (选修 4-1: 几何证明选讲) 15. (5 分)已知 AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ,PA=4 ,OP=3,则⊙O 的 半径 R=5.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 过点 O 作 OC⊥AB, 交 AB 于点 C, 连结 OA, 由垂径定理和勾股定理求出 OC⊥AB, PC=PA﹣AC= ,OC= ,由此能求出⊙O 的半径 R. 解答: 解:过点 O 作 OC⊥AB,交 AB 于点 C,连结 OA, ∵AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ,PA=4 ,OP=3, ∴OC⊥AB,PC=PA﹣AC=4 ∴OC= = = ﹣ , = ,

∴R=OA= 故答案为:5.

=

=5.

点评: 本题考查圆的半径的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意垂径定理和勾股定 理的合理运用. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 16.在极坐标系中,点 P(2,﹣ )到直线 l:ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 3.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出. 解答: 解:点 P(2,﹣ P . )=1 化为: )=1 的距离= =1,x﹣ y+2=0. =3. )化为 P ,即

直线 l:ρsin(θ﹣ ∴点 P(2,﹣

)到直线 l:ρsin(θ﹣

故答案为:3. 点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx?cos(x﹣ 点( , ) )+asin(2x+ ) (a 为常数)的图象经过

(Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)解不等式 f(x)≥0. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: (1)由已知可得 2sin

cos(﹣

)+asin

=

,从而解得 a=1,由三角函数

中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f (x) =sin2x+ (2)由 f(x)≥0,知:sin2x≥﹣ 即可得 f(x)≥0 的解集. 解答: 解: (1)函数 f(x)=2sinx?cos(x﹣ 点( , ) , cos(﹣ )+asin = ,

, 由周期公式即可求最小正周期 T. ≤2x≤2kπ+ (k∈Z) ,

,由正弦函数的图象解得 2kπ﹣

)+asin(2x+

) (a 为常数)的图象经过

则有:2sin

故解得:a=1, ∴f(x)=2sinx?cos(x﹣ =2sinx(cosxcos =2sin2xcos =sin2x+sin =sin2x+ , …6 分 , +sinxsin
2

)+sin(2x+ )+sin2xcos ,

) , +cos2xsin ,

+(2sin x+cos2x)sin ,

∴最小正周期 T=

(2)由 f(x)≥0,知:sin2x≥﹣ ∴2kπ﹣ ≤2x≤2kπ+ (k∈Z) ,

∴f(x)≥0 的解集为:[kπ﹣

,kπ+

](k∈Z)…12 分

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知 识的考查. 18. (12 分)已知{an}是 由正数组成的数列,其前 n 项和 Sn 与 an 之间满足:an+ = (n≥1 且 n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn=( ) an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n *

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (I) 由 an+ = 时, 式即可得出. (II)bn= ?an=

(n≥1 且 n∈N ) , 两边平方化为

*

. 当 n≥2

,an=Sn﹣Sn﹣1.可得 an﹣an﹣1=1,利用等差数列的通项公

,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. (n≥1 且 n∈N ) ,两边平方化为
*

解答: 解: (I)∵an+ = ∴ 当 n≥2 时, ∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣



,a1>0,解得 a1=1. , ,

化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵an+an﹣1>0,∴an﹣an﹣1=1, ∴数列{an}为等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. (II)bn= ?an= , +…+ ,

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=



=

+…+ + +…+ ﹣





=



∴Tn=1+

+…+



=



=



点评: 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分) 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 底面△ ABC 为正三角形且边长为 点 A 在下底面的射影是△ A1B1C1 的中心 O. (Ⅰ)求证:AA1⊥B1C1; (Ⅱ)求二面角 B1﹣AA1﹣C1 所成角的余弦值. a, 侧棱 AA1=2a,

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知得 B1C1⊥A1O,AO⊥B1C1,由此能证明 B1C1⊥面 A1AO,从而得到 B1C1⊥AA1. (Ⅱ)过 B1 作 B1D⊥AA1,交 AA1 于 D,连结 DC1,由已知得∠B1DC1 是二面角 B1﹣AA1 ﹣C1 的平面角,由此能求出二面角 B1﹣AA1﹣C1 所成角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵A 在底面△ A1B1C1 上射影是下底面正△ A1B1C1 的中心 O, ∴B1C1⊥A1O,又 AO⊥平面 A1B1C1, ∴AO⊥B1C1, ∴B 1C1 和两相交直线 AO,A1O 均垂直, ∴B1C1⊥面 A1AO, 又 AA1?面 A1AO,∴B1C1⊥AA1. (Ⅱ)解:过 B1 作 B1D⊥AA1,交 AA1 于 D,连结 DC1, ∵AA1⊥B1C1,AA1⊥DB1, ∴AA1⊥面 DB1C1,∴AA1⊥DC1, ∴∠B1DC1 是二面角 B1﹣AA1﹣C1 的平面角, 又 A 在底面 A1B1C1 上的投影是△ A1B1C1 的中心, ∴AA1=AB1=2a, 在△ AA1B1 中,由 AA1=AB1=2a, ,

由面积法知:

=

,同理 DC1=



在△ C1DB1 中,由余弦定理得 cos∠B1DC1=

=



∴二面角 B1﹣AA1﹣C1 所成角的余弦值为

.[来源:学+科+网]

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要 注意 空间思维能力的培养. 20. (12 分)某工厂的一个车间有 5 台同一型号机器均在独立运行,一天中每台机器发生故 障的概率为 0.1,若每一天该车间获取利润 y(万元)与“不发生故障”的机器台数 n(n∈N, n≤5)之间满足关系式:y= (Ⅰ)求某一天中有两台机器发生故障的概率; (Ⅱ)求这个车间一天内可能获取利润的均值(.精确到 0.01) . 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用相互独立事件的概率公式,求某一天中有两台机器发生故障的概率; (Ⅱ)利用每一天该车间获取利润 y(万元)与“不发生故障”的机器台数 n(n∈N,n≤5)之 间满足关系式:y= ,结合相互独立事件的概率公式,求这个车间一天内

可能获取利润的均值. 解答: 解: (Ⅰ)∵一天中每台机器发生故障的概率为 0.1, ∴某一天中有两台机器发生故障的概率为 =0.0729;

(Ⅱ)∵每一天该车间获取利润 y(万元)与“不发生故障”的机器台数 n(n∈N,n≤5)之间 满足关系式:y= 又 P0 = =0.9 ,P1=
5

=0.5?0.9 ,

4

∴这个车间一天内可能获取利润的均值 P0?12+P1?9+P2?6+(P3+P4+P5)?(﹣6) =P0?12+P1?9+P2?6+(1﹣P0﹣P1﹣P2)?(﹣6)=18P0+15P1+12P2﹣6≈10.42 万元. 点评: 本题考查函数模型的选择与应用, 考查相互独立事件的概率公式, 正确运用相互独 立事件的概率公式,是关键.

21. (13 分)如图,F1,F2 是椭圆 C:

+

=1 的左右两个焦点,|F1F2|=4,长轴长为 6, =2 .

又 A,B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点,且满足 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求直线 AF1 的方程; (Ⅲ)求四边形 ABF2F1 的面积.

考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 对于(Ⅰ) ,由焦距得 c 的值,由长轴长得 a 的值,结合 b =a ﹣c ,即可得椭圆 C 的方程. 对于(Ⅱ) ,延长 AB,与 x 轴交于点 M,由 BF2 为△ MAF1 的中位线,得 M 的坐标,由此 设直线 AB 的方程, 联立椭圆 得 y1+y2 及 y1y2,又由 =2 + =1, 消去 x, 得到关于 y 的一元二次方程, 由韦达定理, ,得 y1 与 y2 的关系式,于是得 y1,y2,m 的值,继而求
2 2 2 2

得 x1 的值,可得 AF1 的斜率,即可得直线 AF1 的方程. 对于(Ⅲ) ,易知四边形 ABF2F1 为梯形.由(Ⅱ)得 x2 的值,从而得到|AF1|及|BF2|,再计 算点 M 到直线 AF1 的距离,即可根据梯形的面积公式计算出梯形 ABF2F1 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 由题意,得 ,即 ,从而 b =a ﹣c =5,
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F1(﹣2,0) ,F2(2,0) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,延长 AB,与 x 轴交于点 M, 由 =2 知,BF2 为△ MAF1 的中位线,

∴|MF2|=|F1F2|,得 M(6,0) ,如右图所示.

设直线 AB 的方程为 x=my+6,联立
2 2



消去 x,整理,得(9+5m )y +60my+135=0,

由韦达定理,得

.…①

又由

=2

,得(﹣2﹣x1,﹣y1)=2(2﹣x2,﹣y2) ,

∴y1=2y2.…②

联立①、②,得

,从而



于是 AF1 的斜率 ∴直线 AF1 的方程为 . (Ⅲ)易知四边形 ABF2F1 为梯形. 由(Ⅱ)知, 从而|AF1|= 又点 F2(2,0)到直线 AF1: , , = ,|BF2|=



= . 的距离





点评: 1.本题综合性较强,考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的相交关系及四边 形面积的求法等,充分挖掘图形的几何特征是求解本题的突破口.

2.对于相交弦问题,常利用根与系数的关系(即韦达定理)探究坐标之间的关系;对于向 量共线问题,常共线的充要条件转化为坐标之间的关系. 3.对于四边形面积的求解,一般先判断四边形的形状,再确定求解方式,或将四边形转化 为两个三角形处理. 22. (14 分)已知 e=2.71828…是自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 f(x)=ln(x+1)﹣x+ (Ⅱ)求证 ln2> ; 在[0,+∞)上的最小值;

(Ⅲ)求证 ln2+ln3+ln4+…+ln(n+1)>

(n≥1,n∈N) .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由已知可得 f′(x)= ﹣1+x,当 x∈[0,+∞)时 f′(x)≥0,得函数 f(x)

在[0,+∞)上单调性,即可得到函数的最小值; (Ⅱ)可用分析法证明 ln2> ;

(Ⅲ)亦可用分析法证明 ln2+ln3+ln4+…+ln(n+1)>

(n≥1,n∈N) .

解答: 解: (Ⅰ)由于函数 f(x)=ln(x+1)﹣x+ 则 f′(x)= ﹣1+x= ,



故当 x∈[0,+∞)时 f′(x)≥0, 则函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 故函数 f(x)=ln(x+1)﹣x+ 在[0,+∞)上的最小值为 0;

(Ⅱ)证明:要证 ln2> 只需证 ln > ,

,只需证 ln4>



而由(Ⅰ)知 ln(x+1)≥x﹣

(x≥0)

所以 ln[1+( ﹣1)]≥( ﹣1)﹣ 只需证( ﹣1)﹣ 即需证明 4(e﹣1)>0.9e
2





而 e=2.71828…是自然对数的底数, 故 4(e﹣1)>0.9e 恒成立, 从而 ln2> 得证;
2

(Ⅲ)要证 ln2+ln3+ln4+…+ln(n+1)> 只需证 ln(n+1)> 只需证 2xln(x+1)+ 令 g(x)=2xln(x+1)+ 则 g′(x)=2ln(x+1)+2x? ﹣ ( ﹣

(n≥ 1,n∈N)成立,

) (n≥1,n∈N)恒成立,

> x(x≥1)恒成立, ﹣ x(x≥1) , ﹣ ﹣ =2ln(x+1)﹣ ﹣ + (x≥1) ,

故 g′(x)在[1,+∞)上是增函数 所以 g′(x)≥g′(1)=2ln2﹣1﹣ + > 故 g′(x)在[1,+∞)上是增函数, 故 g(x)≥g(1)=2ln2+ ﹣ > 从 而 2xln(x+1)+ + =0, ﹣1﹣ + = >0,

> x(x≥1)恒成立,

即 ln2+ln3+ln4+…+ln(n+1)>

(n≥1,n∈N)成立.

点评: 本题考查函数在闭区间上的最值的求法, 解题时要注意导数性质的合理运用以及不 等式证明中的分析法的应用.


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