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北京市清华附中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题 1.已知集合 U={1,2,3,4},集合 A={1,3,4},B={2,4},则集合(?UA)∪B=( A.{2} B.{4} C.{1,3} D.{2,4} 2.x2>0 是 x>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 3.在等比数列

{an}中,a2=6,a3=﹣18,则 a1+a2+a3+a4=( ) A.26 B.40 C.54 D.80 4.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn.若 a1=d=1,则 A.10 B. C. D. +2 )的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( B.向左平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度 ) ) 的最小值为(





5.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A.向右平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度

6.已知平面向量 , 满足| |= =2, ( A. B. C. D.

+2 )?( ﹣ )=﹣6,则 与 的夹角为(

7.己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x) .当 0 ≤x≤1 对,f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公 共点,则实数 a 的值是( ) A.0 B.0 或 C.0 或 D. 或 ,且对于边 AB 上任一点 P,恒有

8.设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 则( A.∠ABC=90° 二、填空题 9.已知两点 A(1,1) ,B(﹣1,2) ,若 = )

B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

,则 C 点坐标是______.

10.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于______. 11.设函数 ,则实数 a 的取值范围是______.

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12.若正数 a,b 满足 a+b=10,则 + 的最大值为______. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0) ,函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B,P 为函数 y=ex 图象上的任意一点,则 的最小值______. 14.已知点 A( , ) ,B( ,1) ,C( ,0) ,若这三个点都在函数 f(x)=sinωx

的图象上,则正数 ω 的 所有取值的集合为______. 三、解答题. 15.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等 比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 16.已知函数 f(x)=sinxcosx+cos2x﹣ . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)若函数 f(x)在区间[0,m]上恰好有 10 个零点,求正数 m 的最小值. 17.如图,A、B 是单位圆 O 上的点,C、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点,△ABO 为正 三角形. (1)若点 A 的坐标为 (2)若∠AOC=x(0<x< 求出 y 的最大值. ,求 cos∠BOC 的值; ) ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并

18.已知函数 f(x)=(x2+ax+a)e﹣x,其中 a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若存在 m,n∈(2,3) ,且 m≠n,使得 f(m)=f(n) ,求实数 a 的取值范围. 2 19.设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R. (1)当 a=0 时,求证:f(x)<x,对任意的 x∈(0,+∞)成立; (2)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (3)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 20.设集合 S={x|x= ,k∈N*}. (1)请写出 S 的一个 4 元素,使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列; (2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在 S 中,且公比为 q,求证:q∈(0, ) ;

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y∈A, (3) 设正整数 n>1, 若 S 的 n 元子集 A 满足: 对任意的 x, 且 x≠y, 有|x﹣y|≥ 求证:n≤15.



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2015-2016 学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知集合 U={1,2,3,4},集合 A={1,3,4},B={2,4},则集合(?UA)∪B=( A.{2} B.{4} C.{1,3} D.{2,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据补集与并集的定义,进行计算即可. 【解答】解:集合 U={1,2,3,4}, A={1,3,4},B={2,4}, ∴?UA={2}, ∴(?UA)∪B={2,4}. 故选:D. 2.x2>0 是 x>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据 x2>0,得到 x 的范围和 x>0 比较即可. 【解答】解:由 x2>0 得到:x≠0, 而 x≠0 推不出 x>0,不是充分条件, 由 x>0 能推出 x≠0,是必要条件, ∴x2>0 是 x>0 的必要不充分条件, 故选:B. 3.在等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,则 a1+a2+a3+a4=( ) A.26 B.40 C.54 D.80 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】根据等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,求得数列的首项与公比,即可求和. 【解答】解:∵等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18, ∴ =﹣3, =﹣2



∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40 故选 B.

4.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn.若 a1=d=1,则

的最小值为(



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A.10

B.

C.

D.

+2

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】 由已知条件推导出 最小值. 【解答】解:∵等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn.a1=d=1, ∴ = = = , 由此利用均值定理 取

=1+ = ≥

+

+ = ,

当且仅当 故选:B.

,即 n=4 时,

取最小值 .

5.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A.向右平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( B.向左平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度



【考点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 【分析】先将函数变形,再利用三角函数的图象的平移方法,即可得到结论. 【解答】解:∵函数 y=sin(2x﹣ ∴为了得到函数 y=sin(2x﹣ 长度 故选 A. 6.已知平面向量 , 满足| |= =2, ( A. B. C. D. +2 )?( ﹣ )=﹣6,则 与 的夹角为( ) )=sin[2(x﹣ )], 个单位

)的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象向右平移

【考点】平面向量数量积的运算.

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【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出 ,从而可求出 便可得出向量 【解答】解: ∴ = =﹣6; ∴ ∵ ∴ 故选:C. 7.己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x) .当 0 2 ≤x≤1 对,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公 共点,则实数 a 的值是( ) A.0 B.0 或 C.0 或 D. 或 . ; ; = 的夹角. ; 的值,进而

【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 【分析】由题意可得函数的图象,属性结合可得当直线为图中的 m,或 n 是满足题意,求出 其对应的 a 值即可. 【解答】解:由对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x)可知,函数的周期为 T=2, 结合函数为偶函数,且当 0≤x≤1 对,f(x)=x2 可作出函数 y=f(x)和直线 y=x+a 的图象,

当直线为图中的直线 m,n 时,满足题意,易知当直线为 m 时,过原点,a=0, 当直线为 n 时,直线与曲线相切,联立 ,消 y 可得 x2﹣x﹣a=0,

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由△=1+4a=0 可得 a= 故选 C

,故 a 的值为 0,或



8.设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 则( A.∠ABC=90° )

,且对于边 AB 上任一点 P,恒有

B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设| |=4,则| |=1,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 H,在 AB 上任取一点 P,

设 HP0=a,则由数量积的几何意义可得| |2﹣(a+1)| |+a≥0 恒成立,只需△=(a+1) 2 ﹣4a=(a﹣1)2≤0 即可,由此能求出△ABC 是等腰三角形,AC=BC. 【解答】解:设| |=4,则| |=1,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 H,

在 AB 上任取一点 P,设 HP0=a,则由数量积的几何意义可得, =| |?| |=| |2﹣(a+1)| |, ? 于是 ? =﹣a, ≥
??

恒成立,

整理得| |2﹣(a+1)| |+a≥0 恒成立, 只需△=(a+1)2﹣4a=(a﹣1)2≤0 即可,于是 a=1, 因此我们得到 HB=2,即 H 是 AB 的中点,故△ABC 是等腰三角形, 所以 AC=BC. 故选:D.

二、填空题 9.已知两点 A(1,1) ,B(﹣1,2) ,若 = ,则 C 点坐标是 .

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出. 【解答】解:∵ = ,

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∴ = = = . .

故答案为:

10.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于 26 . 【考点】数列的函数特性. 【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出. 【解答】解:等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24, ∴6a4+6a10=24, ∴2a7=4,即 a7=2. 则此数列的前 13 项之和 S13= 故答案为:26. =13a7=26.

11.设函数

,则实数 a 的取值范围是 ﹣3<a

<1 . 【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法;指数函数的单调性与 特殊点. 【分析】由于函数为分段函数,可分别讨论当 a≥0 和 a<0 两种情况,进而求出实数 a 的取 值范围. 【解答】解:函数 f(x)为分段函数,当 a≥0 时, <1,得 0≤a<1. 当 a<0 时, 故答案为:﹣3<a<1. 12.若正数 a,b 满足 a+b=10,则 + 的最大值为 . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】对无理数可以先求平方,再利用均值定理求出最值,最后得出原表达式的最大值. 【解答】解:正数 a,b 满足 a+b=10, 令 y= + , 则 y2=a+2+b+3+2 , ∵a+b=10, ∴15=a+2+b+3≥2 (当 a+2=b+3 时等号成立) , 2 ∴y ≤30,
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<1,解得 a>﹣3,即﹣3<a<0,

∴ + 故答案为:

的最大值为 .



13.在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0) ,函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B,P 为函数 y=ex 图象上的任意一点,则 的最小值 1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得向量的坐标,进而可得 =﹣x0+ ,构造函数 g(x)=﹣x+ex,

通过求导数可得其极值,进而可得函数的最小值,进而可得答案. 【解答】解:由题意可知 A(1,0) ,B(0,1) , 故 =(0,1)﹣(1,0)=(﹣1,1) , 设 P(x0, 故 ) ,所以 , =(x0, ) ,

=﹣x0+

构造函数 g(x)=﹣x+ex,则 g′(x)=﹣1+ex, 令其等于 0 可得 x=0,且当 x<0 时,g′(x)<0, 当 x>0 时,g′(x)>0, 故函数 g(x)在 x=0 处取到极小值, 故 gmin(x)=g(0)=1, 故 的最小值为:1 故答案为:1

14.已知点 A(



) ,B(

,1) ,C(

,0) ,若这三个点都在函数 f(x)=sinωx

的图象上,则正数 ω 的 所有取值的集合为 {ω|ω=8k+2,k∈N}∩{ω|ω=12k+2,或 12k+4, k∈N}∪{2,4}. . 【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【分析】由条件利用正弦函数的图象特征,分类讨论,求得每种情况下正数 ω 的值,从而 得出结论. 【解答】解:若三个点都在函数 f(x)=sinωx 的图象上, 则有 sin(ω? )= ,sin(ω? )=1,sinω? =0,









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k∈N}∩{ω|ω=12k+2, k∈N}∪{2, 求得正数 ω 的 所有取值的集合为: {ω|ω=8k+2, 或 12k+4, 4}. 故答案为:{ω|ω=8k+2,k∈N}∩{ω|ω=12k+2,或 12k+4,k∈N}∪{2,4}. 三、解答题. 15.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等 比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公 式; (2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解 数列的和. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= = =3.

∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…) . a a =3n ∴数列{ n}的通项公式为: n ; 设等比数列{bn﹣an}的公比为 q,由题意得: q3= = =8,解得 q=2.

∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1. 从而 bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…) . ∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n﹣1; (2)由(1)知 bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…) . 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1) ,数列{2n﹣1}的前 n 项和为 ∴数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n﹣1. =2n﹣1.

16.已知函数 f(x)=sinxcosx+cos2x﹣ . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)若函数 f(x)在区间[0,m]上恰好有 10 个零点,求正数 m 的最小值. 【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法. 【分析】 (1)根据二倍角及辅助角公式求得 f(x)的解析式,利用周期公式即可求得 f(x) 的最小正周期; (2)令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,函数 f(x)单调递减,解得 f(x)的单调递减区间;
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(3)根据正弦函数图象,f(x)=0,sin(2x+ 为 f(x)的第 10 个零点,求得 m 的最小值. 【解答】解: (1)f(x)=sinxcosx+cos2x﹣ . = sin2x+ cos2x+ ﹣ , = sin(2x+ ) = =π,

)=0,解得 2x+

=kπ, (k∈Z) ,当 k=10,

最小正周期 T=

f(x)的最小正周期 π; (2)令 2kπ+ 解得:kπ+ ≤2x+ ≤x≤kπ+ ≤2kπ+ , (k∈Z) ,

, (k∈Z) , ,kπ+ ](k∈Z) ;

∴函数的单调递减区间为:[kπ+

(3)函数 f(x)在区间[0,m]上恰好有 10 个零点, 由正弦函数周期性,可知:f(x)=0, sin(2x+ 解得:2x+ ∴x= ﹣ )=0, =kπ, (k∈Z) , , , .

∴当 k=10,x= 正数 m 的最小值

17.如图,A、B 是单位圆 O 上的点,C、D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点,△ABO 为正 三角形. (1)若点 A 的坐标为 (2)若∠AOC=x(0<x< 求出 y 的最大值. ,求 cos∠BOC 的值; ) ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并

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【考点】在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值;平面直角坐标系与曲线方程. 【分析】 (1)根据△ABO 为正三角形求得∠BOA,利用点 A 的坐标求得 sin∠AOC 和 cos AOC ∠ ,进而利用两角和公式求得 cos∠BOC. (2)利用余弦定理分别求得 AC 和 BD,进而根据△ABO 为正三角形求得 AB,CD 可知, 四边相加得到 y 的函数解析式, 利用两角和公式化简整理后, 利用 x 的范围和正弦函数的性 质求得函数的最大值. 【解答】解: (1)∵△ABO 为正三角形, ∴∠BOA=60°, ∵点 A 的坐标为 ∴tan∠AOC= , ∴sin∠AOC= ,cos∠AOC= , ∴cos∠BOC=cos(∠AOC+60°)=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°= . ,

(2)由余弦定理可知 AC= ( ﹣ ) ,

=2sin ,BD=

=2sin

AB=OB=1,CD=2, ∴ = = = ∴当 x= ,0<x< 时,ymax=5.

18.已知函数 f(x)=(x2+ax+a)e﹣x,其中 a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若存在 m,n∈(2,3) ,且 m≠n,使得 f(m)=f(n) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性.
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【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)结合(1)得到 f(x)在(0,2﹣a)递增,在(2﹣a,+∞)递减,满足条件,从而得 到关于 a 的不等式,解出即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=(x2+ax+a)e﹣x, ∴f′(x)=﹣ ,

①a﹣2>0 即 a>2 时,2﹣a<0, 令 f′(x)>0,解得:2﹣a<x<0, 令 f′(x)<0,x>0 或 x<2﹣a, ∴f(x)在(﹣∞,2﹣a)递减,在(2﹣a,0)递增,在(0,+∞)递减; ②a﹣2=0 即 a=2 时,f′(x)=﹣ <0,f(x)在 R 递减;

③a﹣2<0 即 a<2 时,2﹣a>0, 令 f′(x)>0,解得:0<x<2﹣a, 令 f′(x)<0,x>2﹣a 或 x<0, ∴f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,2﹣a, )递增,在(2﹣a,+∞)递减; (2)由(1)得:2<2﹣a<3,解得:﹣1<a<0. 19.设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x) ,其中 a∈R. (1)当 a=0 时,求证:f(x)<x,对任意的 x∈(0,+∞)成立; (2)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (3)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)求出 f(x)的表达式,令 g(x)=ln(x+1)﹣x,根据函数的单调性求出 g(x) <g(0)=0,从而证出结论; (2)求出 f(x)的导数,令 g(x)=2ax2+ax﹣a+1,通过讨论 a 的范围,判断函数的单调 性,从而求出函数的极值的个数; (3)通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性求出满足题意的 a 的范围即可. 【解答】解: (1)a=0 时,f(x)=ln(x+1) ,定义域是(﹣1,+∞) , 令 g(x)=ln(x+1)﹣x,g′(x)= ﹣1=﹣ <0,

∴g(x)在(0,+∞)递减, ∴g(x)<g(0)=0, 故 f(x)<x,对任意的 x∈(0,+∞)成立; (2)函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x) ,其中 a∈R,x∈(﹣1,+∞) . f′(x)= ,

令 g(x)=2ax2+ax﹣a+1. (i)当 a=0 时,g(x)=1,此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无 极值点. (ii)当 a>0 时,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8) .
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①当 0<a≤ 时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增, 无极值点. ②当 a> 时,△>0,设方程 2ax2+ax﹣a+1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,x1<x2. ∵x1+x2=﹣ , ∴x1<﹣ ,x2>﹣ . 由 g(﹣1)>0,可得﹣1<x1<﹣ , ∴当 x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此函数 f(x)有两个极值点. (iii)当 a<0 时,△>0.由 g(﹣1)=1>0,可得 x1<﹣1<x2. ∴当 x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 因此函数 f(x)有一个极值点. 综上所述:当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点; 当 0≤a≤ 时,函数 f(x)无极值点; 当 a> 时,函数 f(x)有两个极值点. (3)由(2)可知: ①当 0≤a≤ 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. ②当 <a≤1 时,由 g(0)≥0,可得 x2≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. ③当 1<a 时,由 g(0)<0,可得 x2>0, ∴x∈(0,x2)时,函数 f(x)单调递减. 又 f(0)=0, ∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去; ④当 a<0 时,设 h(x)=x﹣ln(x+1) ,x∈(0,+∞) ,h′(x)= ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即 ln(x+1)<x, 可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x, 当 x>1﹣ 时,
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>0.

ax2+(1﹣a)x<0,此时 f(x)<0,不合题意,舍去. 综上所述,a 的取值范围为[0,1]. 20.设集合 S={x|x= ,k∈N*}. (1)请写出 S 的一个 4 元素,使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列; (2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在 S 中,且公比为 q,求证:q∈(0, ) ; y∈A, (3) 设正整数 n>1, 若 S 的 n 元子集 A 满足: 对任意的 x, 且 x≠y, 有|x﹣y|≥ ,

求证:n≤15. 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)由题设,一个 4 元素恰好构成等差数列;4 个元素通分后具有分母相同,分子 成等差关系的特点. (2)由题设,公比为 q,q 是有理数,设 , (a,b 互质) ,构造无穷递减等比数列证明. ,满足条件有 7 个

(3)在(0, )∪S 中,对任意的 x,y∈A,且 x≠y,有|x﹣y|≥

数.在( ,1)∪S 中,最多有 1, , ,… ,满足条件有 8 个数,即可得到答案. 【解答】解: (1)S 的一个 4 元素恰好构成等差数列,S={ (2)由题意,数列{an}是无穷递减等比数列,q 是有理数,设 ∴ ∴ 为 S 中的数(k∈N*) ,则 b 必为 1; , (a∈N+) , } , (a,b 互质) ,

∴q∈(0, ]; (3)证明:在(0, )∪S 中,对任意的 x,y∈A,且 x≠y,有|x﹣y|≥ ,

∴在(0, )∪S 中的元素个数不超过

.最多有 7 个数.

在( ,1)∪S 中,满足条件有 1, , ,… ,最多 8 个数, ∴7+8≤15,即 n≤15.得证.

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2016 年 10 月 3 日

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