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《空间中直线与直线之间的位置关系》教案设计


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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(第 1 课时)

东方市民族中学

罗艳妹

一、教学目标:
1、知识与能力
(1)了解空间中两条直线的位置关系,并能判断直线与直线之间 的位置关系; (

2)理解异面直线的概念,画法,培养学生的空间想象能力; (3)能运用公理 4 证明简单的几何问题,掌握转化的思想方法, 把空间问题转化为平面问题来解决。

2、过程与方法
(1)师生共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识。

3、情感态度与价值观
(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学 习兴趣; (2)把问题放给学生,让学生去自主解决,培养学生独立学习的 习惯。

二、教学重点、难点:
1.重点: (1)异面直线的概念; (2)理解并掌握公理 4。 2.难点: (1)理解异面直线的概念; (2)理解并掌握公理 4。

三、学法与教学用具
1、学法:学生通过阅读教材、自主思考与教师交流、合作探究解决问 题,并进行总结概括,结合练习从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:多媒体课件 自制教学模型 三角板

四、教学设计:
(一)复习引入
1、 提出问题: 在一个平面内, 两直线有哪几种位置关系呢?在空间中呢? 【设计意图】 :通过提出问题,引起学生的注意,激起学生进一步探究知 识的欲望,同时培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

(二)新课推进
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1、空间中直线与直线之间的位置关系 引导学生观察身边的实例:如: (1)十字路口的两条路所在的直线?(相交) ; (2)两条铁轨所在的直线?(平行) ; (3)立交桥中路线 AB、CD 所在的直线?(即不相交也不平行) 。 再通过让学生观察异面直线的实例,引出异面直线的定义。 指出“异面”是空间两条直线的一种位置关系,进一步引导学生归 纳总结出空间两条直线的位置关系有且只有三种: 同在一个平面内 按平面基本性质分 相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线 2、进一步明晰异面直线的概念 概念:不同在任何一个平面内的两条直线。 合作探究一:分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? (不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。 ) 指出:两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 注意:在不同平面内的两条直线不一定异面 【设计意图】 :异面直线的概念是本节的重点和难点,通过问题的设计, 教师的启发、概括,让学生正确理解异面直线的概念。 练习 1:请在教室里找出几对异面直线的例子。 (单独提问完成) 练习 2:判断下列各图中直线 l 与 m 是异面直线吗? (单独提问完成)
m

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l

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4

5

6

【设计意图】 : 通过练习让学生直观判断异面直线, 既加深了对概念的理 解,又可引出异面直线的画法。 练习 3:辨析 (1)、空间中没有公共点的两条直线是异面直线; (2) 、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线; (3) 、不同在某一平面内的两条直线是异面直线; (4) 、不同在任一平面内的两条直线是异面直线; (5) 、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线; (6) 、既不相交,又不平行的两条直线是异面直线 . 3、异面直线画法: 提出问题:如右图我们能否说直线 l 与直线 m 是异面直线? l (不能) 如何才能体现两条异面直线异面呢? (用一个或两个平面衬托) 通过课件作图
m

m

l

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l

练习 4:请画出两条异面直线。 例 1、下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? ① CA1 和 BD1是 直线 ② BD 和 B1D1 是 直线

D1 A1 D B1

C1

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C

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③ BD1 和 DC 是 直线 (2)与棱 AB 所在直线异面的棱共有 条? (分别是 :CC1、DD1、B1C1、A1D1) 课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线? 合作探究二 C A 如右图所示是一个正方体的展开图,如果将 它还原成正方体,那么 AB、CD、EF、GH 这四条 G D B 线段所在的直线是异面直线的有几对? (用计算机演示还原成正方体,再让学生观察) H E 【设计意图】 : 让学生根据异面直线的定义判断 F 在几何体上的具有异面直线位 置关系的两条直线.培养学生的空间想象能力,加深对异面 直线概念的理解. 4.公理 4 (1)思考:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直 线平行。空间中,如果两条直线都与第三条直线平行 D 1 ,是否也有类 C1 似的规律? A1 B1 (2)观察 1:如图 2.1.2-2,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1∥ BB1 , AA1∥ DD1 ,那么 BB1 与 DD1 平行吗? D C (3)观察 2:圆柱的母线与轴所在直线是否平行? A B 【设计意图】 :以长方体和圆柱为载体,通过类比、 图 2.1.2-2 观察引入公理 4:平行同一条直线的两直线互相平行, 培养学生的总结归纳能力. 联系相应事实归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示:设 a、b、c 是三条直线, a∥b =>a∥c b∥c 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (4)观察 3 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕 b, d, ?及边 a, c, e, ? 之间有何关系?

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a

b

c

d

e

? 推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行. 注:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间此性质都适用。 【设计意图】 :让学生感受从特殊到一般的数学思想。 5、例题选讲 E 例 2、如图在空间四边形 ABCD 中, D E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。
B F

a∥b ∥c ∥d ∥e

A

H G C

(考虑到学生第一次接触空间四边形,简单介绍平面四边形和空间四边 形的区别,并利用多媒体展示空间四边形,再分析如何证明) 分析:如何判定一个四边形是平行四边形? 怎样证明 EH∥FG 且 EH=FG?证明关键是什么? 证明:如图,连结 BD. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点
E A

H D G B C F

∴EH 是△ABD 的中位线

1 EH = BD ∴ EH∥ BD, 2
同理, FG∥ BD,

FG =

1 BD 2

∴ EH∥ FG,且 EH=FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 提问:有没有其它证明方法呢?(EF∥ HG,且 EF=HG)
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6、变式练习: (1)在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的 中点, 且 AC ? BD ,那么四边形 EFGH 是什么图形? (2) 在空间四边形 ABCD 中, F、G 分别是边 BC、CD 的中点,E、H 分别 是边 AE、AD 边上的点,且,AE AH 2 则四边形 EFGH 是什么图形?为什么?
EB ? HD ? 3

(先用课件进行动态演示,让学生观察猜想,再让学生尝试证明) 【设计意图】 :让学生掌握运用公理 4 证明简单几何问题的思路:将空 间平行问题转化为平面内的平行问题。 (三)课堂小结(提问方式完成) 1、异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、空间两直线的位置关系(平行、相交、异面) 3、异面直线的画法:用平面来衬托 4、什么是平行公理?(平行同一条直线的两条直线互相平行) 它的作用是什么?(判断两直线平行,它将空间平行问题转化为平面内 的平行问题) D1 C1 (四)作业 1、 P56 习题 2.1A 组第 6 题。 A1 B1 2、 如图 2.1.2-4,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,与对角线 DB1 D C 成异面直线的棱共有几条? 图 2.1.2-4

A

B

3、课后探究题 如右图在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点, , 若 且 ,则四边形 EFGH 是正方形。 A 【设计意图】 :把问题放给学生,让学生去自主解决,培养学生独立学习的 H 习惯,同时为异面直线垂直作铺垫。 E
D G C F

(五)板书设计 §2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 1、异面直线的定义 2、空间中直线与直线的位置关系
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例 1:

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例 2:

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五、教学反思

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