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2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件


第二章
点、直线、平面之间的位置关系

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.2

平面与平面垂直的判定

要点整合夯基础 典例讲练破题型

课堂达标练经典 课时作业

[目标] 1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二 面角的大

小; 2.理解两平面垂直的定义;3.掌握两个平面垂 直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题. [重点] 两个平面垂直的判定定理及应用. [难点] 二面角、二面角平面角定义的理解;求二面角.

二面角及其平面角
[填一填] 1.二面角 角 图形 从一点出发的两 从一条直线出发的两个 定义 条射线所组成的 半平面所组成的图形叫 图形叫做角 做 二面角 二面角

构成

边—点(顶点)—边

面—直线(棱)—面 二面角 α-a-β 或 二面角 α-AB-β

表示法 ∠AOB

2.二面角的平面角 (1)满足条件:如图,二面角α-l-β的平面角为∠AOB, 则平面角∠AOB应满足的条件为:① O∈l ③ OB⊥l . ;② OA⊥l ;

(2)直二面角:若二面角α-l-β的平面角∠AOB=90° ,则 该二面角叫做 直二面角 . (3)表示方法:图中二面角可记为二面角 α-l-β或P-l-Q .

[答一答] 1.二面角是一个角吗?其平面角是否只有一个? 提示:不是,二面角是从一条直线出发的两个平面构 成的空间图形,其平面角有无数个.

平面与平面垂直
[填一填] 1.定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直 .如果平面α 与平面β垂直,记作 α⊥β .

2.画法:两个互相垂直的平面,通常把直立平面的竖 边画成与水平平面的横边垂直.如下图(1)(2)所示.

3.判定定理 文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个 平面 垂直 . 符号语言:l⊥α,l?β? α⊥β . 图形语言:如图所示:

[答一答] 2.面面垂直的判定定理的条件有几个,减少一个条件 定理是否还成立? 提示:判定定理有两个条件,若去掉一个条件,则定理 不一定成立.

3.当开启房门时,为什么房门转到任何位置时,门所 在平面都与地面垂直? 提示:因为房门无论转到什么位置,都始终经过与地 面垂直的门轴,根据两个平面垂直的判定定理知,门所在 平面都与地面垂直.

4.过一点有多少个平面与已知平面垂直?为什么? 提示:过一点有无数个平面与已知平面垂直,虽然过 一点有且只有一条直线和已知平面垂直,但是经过这条垂 线的所有平面都和已知平面垂直.

二面角的概念及求法

[例1] PA=AB.

四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且

(1)求二面角A-PD-C平面角的度数; (2)求二面角B-PA-D平面角的度数; (3)求二面角B-PA-C平面角的度数.

[分析]

(1)证明面PAD⊥面PCD;(2),(3)先找出二面角的

平面角,再证明该角满足平面角的定义,最后在三角形中求角 的大小.

[解]

(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.

又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD. PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C平面角的度数为90° . (2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意知∠BAD=90° , ∴二面角B-PA-D平面角的度数为90° .

(3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45° , 即二面角B-PA-C平面角的度数为45° .

清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通 常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的 方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作 角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三 角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.

[变式训练1]

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD

∠C1BC ;二面角 的中点,二面角C1-AB-C的平面角是________

2 ∠C1OC ,其正切值为________ C1-BD-C的平面角是________ .

平面与平面垂直的判定

[例2]

如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的

中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点. 求证:(1)PA∥平面BDE; (2)平面PAC⊥平面BDE.

[证明]

(1)连接OE,AC,则O是AC的中点,又E是PC

的中点,所以OE∥AP,

又因为OE?平面BDE,PA?平面BDE.所以PA∥平面 BDE.

(2)因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD, 又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O, 所以BD⊥平面PAC,而BD?平面BDE, 所以平面PAC⊥平面BDE.

判定两平面垂直的常用方法:?1?定义法:即说明两个平面 所成的二面角是直二面角;?2?判定定理法:其关键是在其中一 个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线 面垂直”;?3?性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平 面,则另一个也垂直于此平面.

[变式训练2] 如图,E、F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点,沿EF将△AEF折起到△A′EF的位 置,连接A′B、A′C,P为A′C的中点.

(1)求证:EP∥平面A′FB. (2)求证:平面A′EC⊥平面A′BC.

证明:(1)因为E、P分别为AC、A′C的中点, 所以EP∥A′A,又A′A?平面AA′B,而EP?平面 AA′B, 所以EP∥平面AA′B,即EP∥平面A′FB. (2)因为E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边 AB的中点,所以EF∥BC.因为BC⊥AC,EF⊥AE, 故EF⊥A′E,所以BC⊥A′E. 而A′E与AC相交,所以BC⊥平面A′EC. 又BC?平面A′BC,所以平面A′BC⊥平面A′EC.

线面垂直、面面垂直的综合应用

[例3]

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为

2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.

(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45° ,求三棱 锥F-AEC的体积.

[解]

(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以BB1⊥平面ABC,所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的 边BC的中点,所以AE⊥BC. 因此AE⊥平面B1BCC1. 而AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)设AB的中点为D,连接A1D,CD. 因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB. 又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1. 因此CD⊥平面A1ABB1,于是∠CA1D为直线A1C与平 面A1ABB1所成的角.

3 由题设,∠CA1D=45° ,所以A1D=CD= 2 AB= 3. 在Rt△AA1D中,AA1= A1D2-AD2= 3-1= 2, 1 2 所以FC=2AA1= 2 . 故三棱锥F-AEC的体积 1 1 3 2 6 V=3S△AEC×FC=3× 2 × 2 = 12 .

本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知 识点的一道综合题,解决这类问题的关键是转化:线线垂直? 线面垂直?面面垂直.

[变式训练3] 如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面 ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.

(1)求证:DE∥平面PAC; (2)求证:AB⊥PB; (3)若PC=BC,求二面角P-AB-C的大小.

解:(1)证明:因为D,E分别是AB,PB的中点, 所以DE∥PA. 又因为PA?平面PAC,DE?平面PAC, 所以DE∥平面PAC. (2)证明:因为PC⊥底面ABC,AB?底面ABC, 所以PC⊥AB. 又因为AB⊥BC,PC∩BC=C,所以AB⊥平面PBC, 又因为PB?平面PBC,所以AB⊥PB.

(3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC, 所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角, 因为PC=BC,∠PCB=90° ,所以∠PBC=45° , 所以二面角P-AB-C的大小为45° .

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不能正确找出二面角的平面角而致错 [开讲啦] 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面

角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱 上;角的两边是否分别在两个平面内;这两边是否都与棱垂 直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方 法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.

[典例]

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边

形,PA⊥平面ABCD,且PA= 3 ,AB=1,BC=2,∠ABC= 60° ,求二面角P-CD-B的大小. [思路分析] 抓信息,找思路.

[常见错解] 如图所示,过A在底面ABCD内作AE⊥CD于 E,连接PE,AC. ∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD. 又∵PA∩AE=A,∴CD⊥平面PAE. 又∵PE?平面PAE,∴CD⊥PE, ∴∠PEA为二面角P-CD-B的平面角.(以下略)

[正确解答] 过点A作AF⊥BC于点F, 1 3 3 可求BF=2,AF= 2 ,CF=2, 则AC= AF2+CF2= 3,∴AB2+AC2=BC2, ∴∠BAC=90° ,∴∠ACD=90° ,即AC⊥CD. 又∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD. 又∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 又∵PC?平面PAC,∴CD⊥PC, ∴∠PCA为二面角P-CD-B的平面角. ∵在Rt△PAC中,PA⊥AC,PA= 3,AC= 3, ∴∠PCA=45° .故二面角P-CD-B的大小为45° .

[误区警示] 点E的位置应首先由已知的数量关系确定, 而不是盲目地按垂线法直接作出.在找二面角的平面角时,一 般按照先找后作的原则,避免盲目地按垂线法作二面角的平面 角.

[对应训练] 三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长 为2的正三角形,AC= ________.
[答案] 60°

3

,则二面角A-PB-C的大小为


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