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高中数学回归课本(概率与统计)


回归课本(十二) 回归课本(十二) 概率与统计
一.考试内容:
离散型随机变量的分布列. 离散型随机变量的期望值和方差. 抽样方法.总体分布的估计.正态分布.线性回归.

(1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;
2

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 p ) .<

br />(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ

= k ) = g (k , p) = q k 1 p ,则 Dξ =

q . p2

二.考试要求:
(1)了解离散型随机变量的意义, 会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. (2)了解离散型随机变量的期望值,方差的意义,会根据离散型随机变量的分 布列求出期望值,方差. (3)会用随机抽样,系统抽样,分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. (4)会用样本频率分布去估计总体分布. (5)了解正态分布的意义及主要性质. (6)了解线性回归的方法和简单应用. 【注意】这部分复习的重点是随机变量的分布列,期望,方差,抽样方法与样 本方差,标准方差公式.

7.方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ( Eξ ) .
2

8.正态分布密度函数
1 f ( x) = e 2π 6

( x )2
262

, x ∈ ( ∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是

参数,分别表示个体的平均数与标准差. 9.标准正态分布密度函数
x 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ∞, +∞ ) . 2π 6 10.对于 N ( , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 x F ( x) = Φ . σ P( x1 < x0 < x 2 ) = P( x < x 2 ) P( x < x1 )
2

三.基础知识:
1.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,L) ; (2) P + P2 + L = 1 . 1 2.数学期望

Eξ = x1 P + x2 P2 + L + xn Pn + L 1
170.数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b . (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np .

= F ( x2 ) F ( x1 )

x x1 = Φ 2 Φ . σ σ
11.回归直线方程
n ∑ ( xi x )( yi y ) i =1 = n $ = a + bx ,其中 b = 2 y ∑ ( xi x ) i =1 a = y bx

1 (3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q k 1 p ,则 Eξ = . p
4.方差

∑ x y nx y
i =1 n i i

n

Dξ = ( x1 Eξ ) p1 + ( x2 Eξ ) p2 + L + ( xn Eξ ) pn + L
2 2 2

∑x
i =1

2

i

nx 2

.

5.标准差

σξ = Dξ .
6.方差的性质

四.基本方法和数学思想
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列, 由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1) pi≥0,i=1,2,…; (2) p1+p2+…=1; 2.二项分布:记作 ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P (ξ = k ) = C n p q
k k nk

(x ,可由变换 P 1< ξ <x2) =φ(

x

x2

,并

σ

) φ(

x1

σ
);

= t 而得 F ( x) = φ (

x

σ

), 于是有 P 1< ξ <x2) (x

σ

9.假设检验的基本思想: (1)提出统计假设,确定随机变量服从正态分布

记C p q

k n

k

nk

= b ( k ; n, p ) ;

3.记住以下重要公式和结论:

ξ
1

x
2

X P
2

… … n

xn P

… …

N ( , σ 2 ) ; (2)确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( 3σ , + 3σ ) ; (3)作出推断:如果 a∈ ( 3σ , + 3σ ) ,接受统计假设;如果 a ( 3σ , + 3σ ) ,由于这是小概率事件,就拒绝假设; 五.高考题回顾
一,离散型随机变量的分布列的性质: 离散型随机变量的分布列的性质: 1. (04 年湖北卷.理 13)设随机变量ξ的概率分布为 P(ξ= k )= 常数, k = 1,2,…,则 a =______. 2(04 年辽宁卷.8)已知随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ

P
1

P

(1)期望值 E ξ = x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; (2)方差 D ξ =

a ,a为 5k

( x1 Eξ ) 2 p1 + ( x2 Eξ ) 2 p2 + + ( xn Eξ ) 2 pn + ;
(3)标准差 δξ =

Dξ ; E (aξ + b) = aEξ + b; D(aξ + b) = a Dξ ;
2

(4)若 ξ ~B(n,p),则 E ξ =np, D ξ =npq,这里 q=1- p; 4.掌握抽样的三种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)(2) ; 系统抽样,也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的 几部分组成的情形; 5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法, 一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率 分布直方图; 6.正态总体的概率密度函数: f ( x) =

P

1 2 3

2 2 32

3 2 33

4 2 34 A.

5 2 35

则 P (ξ = 10) = ( ).

2 39

6 7 2 2 6 3 37 2 1 B. 10 C. 9 3 3

8 2 38 D.

9 2 39

10 m

1 310

1 2π σ

( x )2

e

2σ 2

, x ∈ R, 式中 , σ 是参数,

分别表示总体的平均数与标准差; 7.正态曲线的性质: (1)曲线在 x= 时处于最高点,由这一点向左,向右 两边延伸时,曲线逐渐降低; (2)曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由 确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦; (3)曲线在 x 轴上方,并且 关于直线 x= 对称; 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N ( , σ 2 ) 的概率

二.基本概念的考察. 考察. 考察 3.经问卷调查,某班学生对摄影分别执"喜欢""不喜欢"和"一般"三种态 , 度,其中执"一般"态度的比"不喜欢"态度的多 12 人,按分层抽样方法从 全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的 5 位"喜欢"摄影的同学,1 位"不 喜欢"摄影的同学和 3 位执"一般"态度的同学,那么全班学生中"喜欢"摄 影的比全班人数的一半还多 人 4. (江苏卷)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:( ) 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为: ( A ) 9.4 , 0.484 ( B ) 9.4 , 0.016 ( C ) 9.5 , 0.04 ( D ) 9.5 ,0.016 5. .(湖南)一工厂生产了某种产品 16800 件,它们来自甲.乙.丙 3 条生产线, 为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲.乙.丙 三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品.

6. 江西卷)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三 学生的视力情况,得到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但 知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的 频率 频数成等差数列,设最大频率为 a,视力 组距 在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的 值分别为( ) A.0,27,78 B.0,27,83 D.2.7,83 C.2.7,78 0. 7. 从存放号码分别为 1,2,…,10 0.
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

9.(广东卷)箱中装有大小相同的黄,白两种颜色的乒乓球,黄,白乒乓球的 (广东卷) 数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若 取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但 取球的次数最多不超过 n 次.以 ξ 表示取球结束时已取到白球的次数. (Ⅰ)求 ξ 的分布列; (Ⅱ)求 ξ 的数学期望.



的卡片的盒子中, 在放回地取 100 次, 每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到的次数 1 13 2 8 3 5 4 7 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9
10(湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最 (湖北卷) 多有 4 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后 的考试,否则就一直考到第 4 次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次 参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考 试次数 ξ 的分布列和 ξ 的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率.

则取到号码为奇数的频率是() (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37

三.典型大题举例. 典型大题举例. 8. 甲,乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛 相互间没有影响.令 ξ 为本场比赛的局数,求 ξ 的概率分布和数学期望.(精确到 0.0001)

11. 辽宁卷) (辽宁卷) 某工厂生产甲, 乙两种产品, 每种产 品都是经过第一和第二工序加工而 成,两道工序的加工结果相互独立, B 每道工序的加工结果均有 A, 两个 等级.对每种产品, 两道工序的加工 结果都为 A 级时,产品为一等品, 其余均为二等品. (Ⅰ)已知甲,乙两种产品每一 道工序的加工结果为 A 级的概率如 表一所示, 分别求生产出的甲, 乙产 品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表 二所示,用ξ,η分别表示一件甲, 乙产品的利润,在(I)的条件下, 求ξ,η的分布列及 Eξ,Eη; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的 工人数和资金额如表三所示.该工厂 有工人 40 名,可用资金 60 万元.设 x,y 分别表示生产甲,乙产品的数量,在 (II)的条件下,x,y 为何值时, z = xEξ + yEη 最大?最大值是多少?

六.课本中习题归纳
一 离散型随机变量的分布列,期望,方差 1 抛掷一个骰子,求得到的点数为 ξ 的分布列,期望,方差. 2 某一射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: 4 5 6 7 ξ P 0.02 0.04 0.06 0.09

8 0.28

9 p

10 0.22

(1)求 p 的值;

(2)求 P (ξ ≥ 7) ; (3)求所得环数 ξ 的期望.

3 某人每次射击击中目标的概率是 0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的,求 他在 10 次射击中击中目标的次数 ξ 的分布列,期望,方差.

4 某人每次投篮投中的概率为 0.1,各次投篮的结果互相独立.求他首次投篮投中 时投篮次数 ξ 的分布列,期望,方差.

5 篮球运动员在比赛中第次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球 命中的概率为 0.7,求他罚球 1 次的得分 ξ 的分布列,期望,方差.

6 在独立重复试验中,每次试验中某事件发生的概率是 0.8,求第 3 次事件发生所 需要的 试验次数 ξ 的分布列.

7 抛掷一枚硬币,规定正面向上得 1 分,反面向上得-1 分,求得分 ξ 的分布列, 期 望,方差.

3 盒子中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 ξ 期望 和方差.

8 抛掷两个骰子, (1)求所得两个点数之差的绝对值的分布列. (2)求所得两个点数的积的分布列; (3)求所得两个点数的和的分布列;

9 从 1,2,3, ,n 这 n 个数中任取两个,求两数之积的数学期望.

10

, Dξ = . 11 某工厂规定,如果工人在一个季度里有 1 个月完成任务,可得奖金 90 元;如果 有 2 个月完成任务,可得奖金 210 元;如果有 3 个月完成任务,可得奖金 330 元; 如果工人三个月都未完成任务,则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等 可能的,求此工人在一个季度里所得奖金的期望.

Eξ =

设 随 机 变 量 ξ 满 足 P (ξ = 1) = p , P (ξ = 0) = 1 p , 则

二 统计(抽样方法 总体分布的估计) 14 将全班女学生(或男学生)按座位编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子 里均匀搅拌.从中抽出 8 个号签,就相应的 8 名学生对看足球比赛的喜欢程度进 行调查,这里运用了 抽取样本的方法. 15 一个礼堂有 30 排座位,每排有 40 个座位.一次报告会礼堂坐满了听众.会后为 听取意见留下了座号为 14 的所有 30 名听众进行座谈. 这里运用了 抽取样本的方法. 16 某市的 3 个区共有高中学生 20000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2:3:5, 现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为 200 的样本,这 3 个区分别 应抽取 人. 17 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况 的某项指标,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽样方法是 A 简单随机抽样 B 系统抽样 D 先从老年人中剔除一人,然后分层抽样 C 分层抽样

c + x(1 < x ≤ 0) 12 设 连 续 型 随 机 变 量 ξ 的 密 度 函 数 f ( x) = c x(0 < x ≤ 1) , 则 常 数 0( x ≤ 1或x > 1) c= .

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