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人教A版高中数学必修五全册教案


2015 年人教版数学必修五教案



名: 号: 业:

沈金鹏 134080303 数学学院 数学与应用数学

学 专

院 、 系:

2015 年 1 月 22 日

人教 A 版高中数学必修五全册教案 1.1.1 正弦定理

/>●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应 用的实践操作。 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积 等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? C 二.讲授新课 [探索研究] 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。 如图, 在 Rt ? ABC 中, 设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,

B

a b c ? sin A , ? sin B ,又 sinC ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C


A

C

B

思考 1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3, (1)当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函 数的定义, 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A c

C a B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

(2)当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导)

思考 2:还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。 (证法二) :过点 A 作单位向量 j ? AC , 则 j ? AB ? j ?(AC ? CB ) ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ?

??? ?

由向量的加法可得

AB ? AC ? CB

???

??? ? ???

? ? ???

? ? ??? ? ???

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

C

? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即

A j

B

a c ? sin A sin C ? ??? ? 同理, 过点 C 作 j ? BC , 可得

b c ? sin B sin C

从而

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

思考:正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sin A ? sin B 。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

a b

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理, b ? 根据正弦定理,

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 练习:在 ?ABC 中,已知下列条件解三角形。 (1) A ? 45 , C ? 30 , c ? 10cm ,
? ? ? ? (2) A ? 60 , B ? 45 , c ? 20cm

例 2. 在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边长精 确到 1cm) 。

解:根据正弦定理,

sin B ?
0 B ?116 .

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20


因 为 00 < B < 1800 , 所 以 B ? 640 , 或



B ? 640





C ?1 0 8 ? 0 A

( ?B

0

?)

10 ?8 0 0 ?,(

40 ? 0

6 4

c?

a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400
⑵ 当

B ?1160





C ?1

0

8 ?0 A

? (B

0

?)

0

1? 8

0 , 0 ?

(

0

4 ?

0

1

c?

a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 课堂练习 第 4 页练习第 2 题。 思考题:在 ? ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B ?

?

c
sinC ?

? k(k >o),这个 k 与 ? ABC 有什么关系?

三.课时小结(由学生归纳总结) (1)定理的表示形式:

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A sin B sinC sin A ? sin B ? sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0)
a b

c

?

(2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 四.课后作业:P10 面 1、2 题。

1.2 解三角形应用举例
一、教学目标

第一课时

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了 解常用的测量相关术语 2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学 符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二、教学重点、难点 教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际 问题的解 教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图 三、教学设想 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、设置情境 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题, “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?” 在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离, 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道, 对于未知的距

离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的 方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些 方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些 方法会有局限性。 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习 正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授 (1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 (2)例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两 点的距离(精确到 0.1m)

提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。 分析: 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题, 题目条 件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得 AB =
AB sin ?ACB

=

AC sin ?ABC
55 sin 75? = sin(180? ? 51? ? 75?)

AC sin ?ACB = sin ?ABC

55sin ?ACB = sin ?ABC

55sin 75? ≈ 65.7(m) sin54?

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习: 两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? , 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为多少? 老师指导学生画图,建立数学模型。 解略: 2 a km

例 2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造 三角形,所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得
AC = BC =
a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60 ? ,? ACD=30 ? ,? CDB=45 ? ,

? BDA =60 ?
略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选 择最佳的计算方式。 4、 学生阅读课本 4 页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。 5、 课堂练习:课本第 14 页练习第 1、2 题 6、 归纳总结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 四、课后作业 1、 课本第 22 页第 1、2、3 题 2、 思考题:某人在 M 汽车站的北偏西 20 ? 的方向上的 A 处,观察到点 C 处有一辆汽车沿公 路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40 ? 。开始时,汽车到 A 的距离为 31 千米,

汽车前进 20 千米后,到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远,才能到达 M 汽 车站?

解:由题设,画出示意图,设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 ? ABC 中,AC=31,BC=20, AB=21,由余弦定理得

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 23 = , 2 AC ? BC 31 432 则 sin 2 C =1- cos 2 C = 2 , 31
cosC= sinC =

12 3 , 31 35 3 62

所以 sin ? MAC = sin(120 ? -C)= sin120 ? cosC - cos120 ? sinC = 在 ? MAC 中,由正弦定理得 MC =

AC sin ?MAC 31 35 3 = =35 ? 62 sin ?AMC 3 2

从而有 MB= MC-BC=15 答:汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。 作业: 《习案》作业三

1.2 解三角形应用举例

第二课时

一、教学目标 1、 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习惯。 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 二、教学重点、难点 重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题 难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 三、教学过程 Ⅰ.课题导入

提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的 飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再 测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测 得 A 的仰角分别是 ? 、 ? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦 定理可得 AC =
a sin ? sin(? ? ? )

AB = AE + h=AC sin ? + h= a sin? sin ? + h
sin(? ? ? )

例 2、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 ? =50 ? 1? 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m) 师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗? 若在 ? ABD 中求 CD,则关键需要求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得。 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? ,

? BAC= ? - ? , ? BAD = ? . 根 据 正 弦 定 理 ,
AB sin(90 ? ? ? )

BC = sin(? ? ? )

所 以

AB

=

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? = sin(? ? ? ) sin(? ? ? )



Rt ? ABD

中 , 得

BD

=ABsin ? BAD=

BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

将测量数据代入上式,得 BD =

27.3 cos 50?1? sin 54?40? 27.3 cos 50?1? sin 54?40? = ≈177 (m) sin 4?39? sin(54?40? ? 50?1?)

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 思考:有没有别的解法呢?若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。思考如何求出 AC? 例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? , 求此山的高度 CD.

思考 1:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? (在 ? BCD 中) 思考 2:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? (BC 边) 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB AB sin A = , BC = ≈ 7.4524(km) CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈ sin C sin A sin C 1047(m) 答:山的高度约为 1047 米 Ⅲ.课堂练习:课本第 17 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。 Ⅴ.课后作业 1、 作业: 《习案》作业五

1.2 解三角形应用举例

第三课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2、通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过 程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。 3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并激发学生的探索精神。

二、教学重点、难点 重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问: 前面我们学习了如何测量距离和高度, 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。 然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题, 在浩瀚无垠的海 面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面 的测量问题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路 分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB。 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC=

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC

=

67.52 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137?

≈113.15 根据正弦定理, 0.3255,
BC = sin ?CAB AC sin ?ABC

54.0 sin137 ? sin ? CAB = BC sin ?ABC = ≈
AC

113.15

所以 ? CAB =19.0 ? ,

75 ? - ? CAB =56.0 ?

答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得 顶端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小和

建筑物 AE 的高。

解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 , 因为

? ADC =180 ? -4 ? ,
sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?
?

? 10 3 =
sin 2?

30 。 sin(180? ? 4? )

? cos2 ? =
AE=ADsin60 ? =15

3 ,得 2

2 ? =30 ?

? ? =15



? 在 Rt ? ADE 中 ,

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? =

h 10 3 ? x

=

3 3

?2 ? =30 ? , ? =15 ?
答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得

? BAC= ? ,

? CAD=2 ? ,

AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

在 Rt ? ACE 中,sin2 ? =

x ------ ① 30

4 10 3

, ---- ②

②?① 得

cos2 ? =

3 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 2

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 例 3、 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

师:你能根据题意画出方位图?教师启发学生做图建立数学模型 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= 75 ? + 45? = 120?

?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去) 2 16
所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sin ? BAC =

BC sin120? 15 3 5 3 = = ? AB 2 14 21

, ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝角不合题意,舍去)

?38 ? 13? + 45? =83 ? 13?
答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的 应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习 课本第 16 页练习 Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之。 (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研 究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业 《习案》作业六

1.2 解三角形应用举例

第四课时

一、教学目标 1、 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形 的面积公式的简单推导和应用 2、本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的特

点, 循序渐进地具体运用于相关的题型。 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生 动运用, 教师要放手让学生摸索, 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理 的特点,能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思 维,有利地进一步突破难点。 3、让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养学 生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 二、教学重点、难点 重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。 在

? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表
示? 生:h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2 1 1 生:同理可得,S= bcsinA, S= acsinB 2 2
师: 根据以前学过的三角形面积公式 S= Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14 cm, (2)已知 B=60 ? , c=24 cm, B=150 ? ; C=45 ? , b=4 cm;

(3)已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求 出三角形的面积。 解:略 例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量 得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确 到 0.1cm 2 )? 思考:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?

本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, cosB=

c2 ? a2 ? b2 127 2 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2ca 2 ? 127 ? 68
应用 S=

sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578 S ≈

1 acsinB 2

1 ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2

答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 例 3、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,用正弦 定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k sin A sin B sin C

显然 k ? 0,所以

左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? = =右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 2:判断满足 sinC =

si n A ? si nB 条件的三角形形状 cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或“化角为边” (解略)直角 三角形 Ⅲ.课堂练习 Ⅳ.课时小结 课本第 18 页练习第 1、2、3 题

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式, 然后 化简并考察边或角的关系, 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用。 Ⅴ.课后作业 《习案》作业七

2.1 数列的概念与简单表示法(一)
一、教学要求: 理解数列及其有关概念;了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通 项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项的特征写出它的一 个通项公式. 二、教学重点、教学难点: 重点:数列及其有关概念,通项公式及其应用. 难点:根据一些数列的前几项,抽象、归纳出数列的通项公式. 三、教学过程: 导入新课 “有人说,大自然是懂数学的” “树木的, 。 。 。 。 。 ” , (一) 、复习准备: 1. 在必修①课本中, 我们在讲利用二分法求方程的近似解时, 曾跟大家说过这样一句话: “一 尺之棰,日取其半,万世不竭” ,即如果将初始量看成“1” ,取其一半剩“ 半还剩“

1 ” ,再取一 2

1 1 1 1 ” , 、 、 、 、 、 、 ,如此下去,即得到 1, , , , 、 、 、 、 、 、 4 2 4 8

2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材 提问:这些数有什么规律?与它所表示的图形的序号有什么关系? (二) 、讲授新课: 1. 教学数列及其有关概念: (1)三角形数:1,3,6,10,· · · (2)正方形数:1,4,9,16,· · · 1 1 1 ?? 一列数: (2)1,2,3,4……的倒数排列成的 1, , , ,

2 3 4

(3)-1 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,……排列成一列数:-1,1,-1,1,-1, 。 。 。 。 。 (4)无穷多个 1 排列成的一列数:1,1,1,1, 。 。 。 。 。 。 有什么共同特点? 1. 都是一列数;2. 都有一定的顺序 ① 数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列 的项. 辩析数列的概念: (1) “1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗? 与“1,3,2,4,5”呢? ----------数列的有序性 (2)数列中的数可以重复吗? (3)数列与集合有什么区别? 集合讲究:无序性、互异性、确定性,数列讲究:有序性、可重复性、 确定性。 ② 数列中每一个数叫数列的项,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(或首项) ,排在第 二位的数称为这个数列的第 2 项、 、 、 、 、 、排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. ③ 数列的一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,简记为 ?an ? .

④ 数列的分类:(1)按项数分:有穷数列与无穷数列, (2)按项之间的大小关系:递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. ⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系? 序号可以看作自变量,数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。 即:数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次 取 值 对 应 的 一 列 函 数 值 。 反 过 来 , 对 于 函 数 y ? f ( x) , 如 果

f (i)(i ? 1 、 2 、 3 、 4 ) 有意义,可以得到一个数列: f (1) \ f (2) \ f (3) \ ...... 如果数列 ?a n ?的第 n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就
叫做这个数列的通项公式。 定义域 解析式 函数 R 或 R 的子集 数列(特殊的函数)

y ? f ( x)

N * 或它的子集 an ? f (n)

图象 点的集合 一些离散的点的集合 2.应用举例 例 1、写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1) 1,?

1 1 1 , ,? ; 2 3 4

(2) 2,0,2,0.

练习:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 7, 9, 11,??; (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (5) 2, -6, 18, -54, 162, ??. 例 2. 写出数列 1, (2)

2 4 6 8 10 , , , , , ??; 3 15 35 63 99

(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??;

2 3 4 5 , , , .....的一个通项公式,并判断它的增减性。 4 7 10 13

思考: 是不是所有的数列都存在通项公式?根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗? 例 3.根据下面数列 ?a n ?的通项公式,写出前五项:

n (2) an ? (?1) n ? n n ?1 2 例 4.求数列 ? 2n ? 9n ? 3 ? 中的最大项。
(1) a n ? 例 5. 已知数列 ?a n

?

求o lg ?的通项公式为 an ? log2 (n 2 ? 3) ? 2 ,

2

3 是这个数列的第几项?

三. 小结:数列及其基本概念,数列通项公式及其应用. 四、巩固练习: 1. 练习:P31 面 1、2、题、 2. 作业: 《习案》九。

2.1

数列的概念与简单表示法(二)

教学要求:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式 写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系. 教学重点:根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点:理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程: 一、复习: 1).以下四个数中,是数列 ?n( n ? 1)? 中的一项的是 (A)

A.380

B.39

C.32

D.18 (C)

2).设数列为 2 , 5 ,2 2 , 11,?则 4 2 是该数列的 A.第 9 项 3).数列 1, ? 2, B. 第 10 项 C. 第 11 项 D. 第 12 项

3, ? 4, 5 的一个通项公式为 an ? (?1) n?1 n .

4) 、图 2.1-5 中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形。在下图 4 个三角形中, 着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项, 请写出这个数列的一个通项公式, 并在 直角坐标系中画出它的图象。

二、探究新知 (一) 、观察以下数列,并写出其通项公式:

(1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ? ( 2) 0, ? 2, ? 4, ? 6, ? 8,?
( 3) 3, 9, 27, 81, ?


an ? 2n ? 1 an ? ?2(n ? 1)

an ? 3n

考: 除了用通项公式外,还有什么办法可以确定这些数列的每一项?

(1)a1 ? 1, a2 ? 3 ? 1 ? 2 ? a1 ? 2, a3 ? 5 ? a 2 ? 2,?, an ? an?1 ? 2
(2) a1 ? 0, an ? an?1 ? 2 (3) a1 ? 3, an ? 3an?1
(二)定义:已知数列 {an } 的第一项(或前几项) ,且任一项 a n 与它的前一项 a n?1 (或前 几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的递推公式. 练习: 运用递推公式确定一个数列的通项:

(1) 2, 5, 8, 11,?
(2) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,?

a1 ? 2, an ? an?1 ? 3(n ? 2)

a1 ? 1, a2 ? 1, an ? an?1 ? an?2 (n ? 3)

例 1:已知数列 {an } 的第一项是 1,以后的各项由公式 an ? 1 ? 五项. 解: 1,2,

1 an?1

给出,写出这个数列的前

3 5 8 , , . 2 3 5

? S n ? S n ?1 若 记 数 列{an } 的 前n项 之 和 为Sn , 则an ? ? ? S1

( n ? 2) ( n ? 1)

练习: 已知数列 {an } 的前 n 项和为: (1) Sn ? 2n2 ? n; (2) Sn ? n2 ? n ? 1, 求数列 {an } 的通 项公式. 例 2.已知 a1 ? 2, an?1 ? an ? 4 ,求 an . 解法一: 解法二:
可以写出: a1 ? 2, a2 ? ?2, a3 ? ?6, a4 ? ?10,?, 观察可得 : an ? 2 ? (n ? 1)(?4) ? 2 ? 4(n ? 1)

--------- 观察法

由题设 : a n ?1 ? a n ? ?4, ? a n ? a n ?1 ? ?4 a n ?1 ? a n ? 2 ? ?4 a n ? 2 ? a n ?3 ? ?4 ?? a 2 ? a1 ? ?4 相加得 : a n ? a1 ? ?4(n ? 1) ? a n ? 2 ? 4(n ? 1)
例 3:已知 a1 ? 2, an?1 ? 2an ,求 an . 解法一: 解法二: --------迭乘法 ----------------累加法

a1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 ? 2 2 , a3 ? 2 ? 22 ? 23 , ? , 观 察 可 得: a n ? 2 n

由a n ?1 ? 2a n , ? a n ? 2a n ?1 , 即 ? an ?2 a n ?1

三、课堂小结: 1.递推公式的概念;

a n a n ?1 a n ? 2 a ? ? ? ?? ? 2 ? 2 n ?1 a n ?1 a n ? 2 a n ?3 a1

? a n ? a1 ? 2 n ?1 ? 2 n

2.递推公式与数列的通项公式的区别是: (1)通项公式反映的是项与项数之间的关系, 而递推公式反映的是相临两项(或 n 项)之间 的关系. (2)对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 1,2,3,4, ? 即可得到相应的项,而递推公式

则要已知首项(或前 n 项) ,才可依次求出其他项. 3.用递推公式求通项公式的方法:观察法、累加法、迭乘法. 四、作业 1.阅读教材 P30----33 面 2. 《习案》作业十

2.2 等差数列(一)
一、教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象 出等差数列的概念; 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问 题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中 二、教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式; 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 三、教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题, 都需要用到有关数列的知识来解决。 今天我们先学习一 类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片)1、在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以得到 数列:0,5,____,____,____,____,?? 2、2000 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目 共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg) :48,53,58,63。 3、 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境, 用定期放水清理水库的杂鱼。 如果一个水库的水位为 18cm,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水 算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m) :18,15.5,13, 10.5,8,5.5 4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算 下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按 活期存入 10 000 元钱,年利率是 0.72%。那么按照单利,5 年内各年末的本利和分别是: 时间 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 年初本金(元) 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 年末本利和(元) 10 072 10 144 10 216 10 288 10 360

各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,?? ① 48,53,58,63 ②

18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢?引导学生观察相邻两项间的关系, 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) 。 [等差数列的概念] 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是 5,5,-2.5,72。 注意:⑴公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵对于数列{ an },若 an - an ?1 =d (d 是与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数 列是等差数列,d 为公差; (3)若 d=0, 则该数列为常数列. 提问: (1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗? (2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么条 件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 A ?

a?b 2

由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的 等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 ,5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 看来, a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q 则

am ? an ? a p ? aq

[等差数列的通项公式] 提问:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢? ⑴、我们是通过研究数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下 面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ① 猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 5n ② 猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 48 ? 5(n ? 1) ③ 猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 18 ? 2.5(n ? 1)

④ 猜想得到这个数列的通项公式是 an ? 10072? 72(n ? 1) ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳:

a2 ? a1 ? d ,

(n-1)个等式

a3 ? a 2 ? d , a4 ? a3 ? d ,
?

所以

a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a2 ? d , a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a ? 2d , a4 ? a3 ? d , a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a ? 3d ,
?? 思考:那么通项公式到底如何表达呢? 得出通项公式: 以 a1 为首项, d 为公差的等差数列 {an } 的通项公式为: an ? a1 ? (n ? 1)d 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项 a1 和公差 d,那么这个等差数列的通项 an 就 可以表示出来了。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法) : {an } 是等差数列, 所以 (迭代法) : 则有 {an } 是等差数列,

an ? an?1 ? d

an ? an?1 ? d ,
an?1 ? an?2 ? d , an?2 ? an?3 ? d ,
??

? an ?2 ? d ? d
? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d

? an?3 ? 3d
??

a2 ? a1 ? d ,
两边分别相加得 an ? a1 ? (n ? 1)d , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. 所以

? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 ? (n ? 1)d

⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 =8,d=5-8=-3,n=20,得 a20 ? 8 ? (21? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 =-5, d=-9(-5) =-4, 得这个数列的通项公式为 an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1, 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例 2: (1)在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d; (2)已知数列 {an } 为等差数列 a3 ?

5 3 , a7 ? ? ,求 a15 的值. 4 4

解:(1)解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

?a1 ? 4d ? 10 ? ?a1 ? 11d ? 31

a ?? ?

1

? ?2

?d ? 3

所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. 解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3, 由 10 ? a1 ? (5 ? 1) ? 3 得 a1 ? ?2 所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. 例 3:梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽度成等差数 列,计算中间各级的宽度. 解:设 ?an ? 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知: a1 =33,

a12 =110,n=12
解得: d ? 7

∴ a12 ? a1 ? (12 ? 1)d ,即 10=33+11 d

因此, a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 54, a5 ? 61 ,

a6 ? 68, a7 ? 75, a8 ? 82, a9 ? 89, a10 ? 96, a11 ? 103 ,
答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm, 89cm,96cm,103cm. 例 4:三个数成等差数列,它们的和为 18,它们的平方和为 116,求这三个数. 解:设这三个数为 a-d,a,a+d 则?

a ? d ? a ? a ? d ? 18 ? 2 2 2 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 116

解得这三个数依次为 4,6,8 或 8,6,4

[注](1)设未知数时尽量减少未知数的个数.(2)结果应给出由大到小和由小到大两种情况. 例 5:已知四个数成等差数列,它们的和为 28,中间两项的积为 40,求这四个数. 解:设这个数为 a-3d, a-d, a+d,a+3d 则?

?a ? 3d ? a ? d ? a ? d ? a ? 3d ? 28 (a ? d )(a ? d ) ? 40 ? ?a ? 7 ?a ? 3 或? d ? 3 ? ?d ? 7

解得: ?

? 这四个数依次为-2,4,10,16 或 16,10,4,-2.
例 6.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4 千米) 计费 10 元。 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地, 且一路畅通, 等候时间为 0, 需要支付多少车费? 解: 根据题意, 当该市出租车的行程大于或等于 4km 时, 每增加 1km, 乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列 {an } 来计算车费. 令 a1 =11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11, 此时需要支付车费 a11 ? 11.2 ? (11? 1) ? 1.2 ? 23.2(元) 答:需要支付车费 23.2 元。 [随堂练习] 课本 39 页“练习”第 1、2 题; [课堂小结] ①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ②等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) 推导出公式: an ? am ? (n ? m)d 四、作业《习案》作业十一。

2.2 等差数列(二)
一、教学目标 1、掌握"判断数列是否为等差数列"常用的方法; 2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用. 3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用. 二、教学重点、难点 重点:等差数列的通项公式、性质及应用. 难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 三、教学过程 (一) 、复习 1.等差数列的定义.

2.等差数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d

( an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))

3.有几种方法可以计算公差 d: ① d= an - an?1 ② d=

a n ? a1 n ?1

③ d=

an ? am n?m
) )

4. {an}是首项 a1=1, 公差 d=3 的等差数列, 若 an =2005,则 n =( A. 667 B. 668 C. 669 D. 670

5. 在 3 与 27 之间插入 7 个数, 使它们成为等差数列,则插入的 7 个数的第四个数是( A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 二、新课 1.性质:在等差数列{an}中,若 m + n=p + q, 则 am + an = ap + aq 特别地,若 m+n=2p, 则 am+an=2ap 例 1. 在等差数列{an}中 (1) 若 a5=a, a10=b, 求 a15; (2) 若 a3+a8=m, 求 a5+a6; (3) 若 a5=6, a8=15, 求 a14; (4) 若 a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15. 解: (1) 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a; (2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m (3) a8=a5+(8﹣3)d, 即 15=6+3d, ∴d=3,从而 a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33

(4) ? 6 ? 6 ? 11? 1, 7 ? 7 ? 12 ? 2,? 2a6 ? a1 ? a11 , 2a7 ? a2 ? a12 从而(a11 ? a12 ? ? ? a15 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? 2(a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a15 ? 2(a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? 2 ? 80 ? 30 ? 130.
2.判断数列是否为等差数列的常用方法: (1) 定义法: 证明 an-an-1=d (常数) 例 2. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通 项公式. 解: 当 n=1 时,a1=S1=3﹣2=1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5; ∵n=1 时 a1 满足 an=6n﹣5,∴an=6n﹣5 首项 a1=1,an﹣an﹣1=6(常数) ∴数列{an}成等差数列且公差为 6. (2)中项法: 利用中项公式, 若 2b=a+c,则 a, b, c 成等差数列. (3)通项公式法: 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数. 例 3. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q, 其中 p、q 为常数,且 p≠0,那么这个数列 一定是等差数列吗? 分析:判定 {an } 是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看 an ? an?1 (n >1)是不是一个与 n 无关的常数。 解:取数列 {an } 中的任意相邻两项 an 与an?1 (n>1) ,

求差得 an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p{n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q] ? p 它是一个与 n 无关的数. 所以 {an } 是等差数列。 课本左边“旁注” :这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项 a1 ? p ? q, 公差d ? p 。由此我们可以知道对于通项公式是形如 一定是等差数列, 一次项系数 p 就是这个等差数列的公差, 首项是 p+q. an ? pn ? q 的数列, 如果一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为 an ? 3n ? 5 的数列的图象。这个图象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数 y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列

an ? pn ? q 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。
分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2,3,??时,对应的 an 可以利用通项公式求出。经过描 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列

an ? pn ? q 的图象是一次函数 y=px+q 的图象的一个子集,是 y=px+q 定义在正整数集上对
应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列 an ? pn ? q 中的 p 的几何意义去探究。 三、课堂小结: 1. 等差数列的性质; 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法. 四、课外作业 1.阅读教材第 110~114 页; 2.教材第 39 页练习第 4、5 题. 作业: 《习案》作业十二

2.3 等差数列的前 n 项和(一)
一、教学目标 1、等差数列前 n 项和公式. 2、等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 3、会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 二、教学重点:等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 三、教学过程 (一) 、复习引入:

1.等差数列的定义: an - an?1 =d , (n≥2,n∈N ) 2.等差数列的通项公式: (1) an ? a1 ? (n ? 1)d (2) an ? am ? (n ? m)d (3) an =pn+q (p、q 是常数)
n ?1

?

3.几种计算公差 d 的方法:① d ? an - an?1 4.等差中项: A ?

② d ? a n ? a1

③ d ? an ? am
n?m

a?b ? a, b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 6.数列的前 n 项和:数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为

Sn .
“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给 大家出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050. ” 教师问: “你是如何算出答案的?” 高斯回答说: “因为 1+100=101; 2+99=101;…50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西. (2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要 介绍的“倒序相加”法. 二、讲解新课: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) . 2

2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d . 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an . 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d 总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , an 中三个. 公式二又可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式. 2 2

三、例题讲解 例 1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求 a8 和 d ; (2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54? 解:(1) 172 ?

8(4 ? a8 ) ? a8 ? 39 2

39 ? 4 ? (8 ? 1)d ? d ? 5

(2) 设 题 中 的 等 差 数 列 为

?an ?

, 前

n

项 为

Sn



a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, S n ? 54
由公式可得 ? 10 n ?

n(n ? 1) ? 4 ? 54 . 2

解之得: n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)

∴等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54. 例 2、教材 P43 面的例 1 解:

?的元素个数,并求这些元素的和. 例 3.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100
解:由 7 n ? 100 得 n ?

100 2 ? 14 7 7 ∴正整数 n 共有 14 个即 M 中共有 14 个元素

即:7,14,21,…,98 是 a1 ? 7为首项 a14 ? 98 等差数列.

14 ? (7 ? 98) ? 735 答:略. 2 例 4、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 84, S20 ? 460 ,求 S28 .
∴ Sn ? (学生练 ?学生板书 ?教师点评及规范) 练习:⑴在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a99 ? 200 ,求 S101 .

⑵在等差数列 ?an ? 中,已知 a15 ? a12 ? a9 ? a6 ? 20 ,求 S20 . 例 4.已知等差数列{an}前四项和为 21,最后四项的和为 67,所有项的和为 286,求项数 n.

解:依题意,得 ?

? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 21, ?a n ? a n ?1 ? a n ?2 ? a n ?3 ? 67,

两式相加得 (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? (a4 ? an?3 ) ? 88, 又 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3 , 所以 a1 ? an ? 22 又 Sn ?

n(a1 ? a n ) ? 286,所以 n=26. 2

例 5. 已知一个等差数列{an}前 10 项和为 310,前 20 项的和为 1220,由这些条件能确定这个等 差数 列的前 n 项的和吗?. 思考: (1)等差数列中 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 ,成等差数列吗? (2)等差数列前 m 项和为 S m ,则 S m 、 S 2 m ? S m .、 S 3m ? S 2m 是等差数列吗? 练习:教材第 118 页练习第 1、3 题. 三、课堂小结: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) ; 2
n(n ? 1)d . 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 四、课外作业: 1.阅读教材第 42~44 页; 2.《习案》作业十三.

2.3

等差数列的前 n 项和(二)
项和的公式研

教学要求: 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 究 的最值.

如果 An,Bn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,则 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点:灵活应用求和公式解决问题. 教学过程: 一、 复习准备: 1、等差数列求和公式: S n ? 2、在等差数列{an}中 (1) 若 a5=a, a10=b, 求 a15; (3) 若 a5=6, a8=15, 求 a14;

a n A2 n ?1 . ? bn B2 n ?1

n(a1 ? an ) n( n ? 1) d , S n ? na1 ? 2 2
(2) 若 a3+a8=m, 求 a5+a6; (4) 若 a1+a2+?+a5=30, a6+a7+?+a10=80,求 a11+a12+?

+a15. 二、讲授新课: 1、探究:等差数列的前 n 项和公式是一个常数项为零的二次式. 例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差 2

数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【结论】数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 的关系: 由 S n 的 定 义 可 知 , 当 n=1 时 , S1 = a1 ; 当 n ≥ 2 时 , an = S n - S n ?1 , 即

?S1 ( n ? 1) . an = ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)
练习:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 差数列吗?

1 2 2 n ? n ? 3 ,求该数列的通项公式. 这个数列是等 4 3

探究:一般地,如果一个数列 ?a n ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常 数,且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是 多少? (是, a1 ? p ? q ? r , d ? 2 p ).

由此, 等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d d d S n ? n 2 ? (a 1 ? ) n , 可化成式子: 2 2 2

当d≠0,是一个常数项为零的二次式. 2. 教学等差数列前 n 项和的最值问题: ① 例题讲解: 例 2、数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 50, d ? ?0.6 . (1)从第几项开始有 an ? 0 ; (2)求此 数列的前 n 项和的最大值. 结论:等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值;
王新敞
奎屯 新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值.
王新敞
奎屯 新疆

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 2 2 练习:在等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值.
(2)由 S n ? 例 3、已知等差数列 5, 4 , 3 , ....的前 n 项的和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值。 归纳: (1)当等差数列{an}首项为正数,公差小于零时,它的前 n 项的和为 S n 有最大值, 可以通过

2 7

4 7

?an ? o 求得 n ? ?an?1 ? 0

(2)当等差数列{an}首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和为 S n 有最小值, 可以通过

?an ? o 求得 n ? ?an?1 ? 0
三、课堂小结: 求"等差数列前 n 项和的最值问题"常用的方法有: (1)满足 an ? 0且an?1 ? 0 的 n 值; (2)由 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n, 利用二次函数的性质求 n 的值; 2 2 2

(3)利用等差数列的性质求. 四、课外作业: 作业: 《习案》作业十四。 补充题: (依情况而定) 1.(1)已知等差数列{an}的 an=24-3n,则前多少项和最大? (2)已知等差数列{bn}的通项 bn=2n-17,则前多少项和最小? 解:(1)由 an=24-3n 知当 n ? 8 时, an ? 0 ,当 n ? 9 时, a n ? 0 ,? 前 8 项或前 7 项的 和取最大值. (2)由 bn=2n-17n 知当 n ? 8 时,a n ? 0 ,当 n ? 9 时,a n ? 0 , ? 前 8 项的和取最小值. 2. 数列{an}是首项为正数 a1 的等差数列,又 S9= S17.问数列的前几项和最大? 解:由 S9= S17 得 9a5=17 a9,
? 2a1 ? 25d ? 0, ? a13 ? a14 ? 0, 所以相邻两项之和为0. 又a1 ? 0,? a13 ? 0, a14 ? 0. ? S13最大.

说 明: a13 ? a14 ? 0也可以这样得出 S17 ? S9 ? 0 ? a10 ? a11 ? ? ? a17 ? 0 ? a13 ? a14 ? 0 . 3. 首项为正数的等差数列{an},它的前 3 项之和与前 11 项之和相等,问此数列前多少项之和最 大? 解法一:由 S3=S11 得: 3a1 ?

2 a1 ? 0 13 1 49 ? ? a1 (n ? 7) 2 ? a1 13 13 d ??

3? 2 11 ? 10 d ? 11a1 ? d, 2 2 n(n ? 1) ? S n ? na1 ? d n

解之得

??

1 14 a1 n 2 ? a1 n 13 13

故当 n=7 时, Sn 最大,即前 7 项之和最大.

1 ? ?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 13 a1 (15 ? 2n) ? 0 解法二:由 ? 1 ? an?1 ? a1 ? nd ? a1 (13 ? 2n) ? 0 13 ? 13 15 ? n ? ,所以 n=7,即前 7 项之和最大. 解得: 2 2 2 解法三:由 d ? ? a1 ? 0 知: {an}是递减的等差数列. 13
又 S3=S11,

? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? 0 ? a7 ? a8 ? 0

? 必有 a7 ? 0, a8 ? 0 ,? 前 7 项之和最大.
4.已知等差数列{an},满足 an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少? 解法一:由 a n ? 40 ? 4n ? S n ? ?2n ? 38n ? ?2(n ?
2

19 2 192 ) ? 2 2

19 2 192 ?当n ? 9或n ? 10时,Sn最大,最大值: S10 ? ?2 ( 10 ? ) ? ? 180 2 2
解法二:

? an ? 40 ? 4n,



? an ? 0 ? 9 ? n ? 10 ? ?an ?1 ? ? 0


? n ? 9或n ? 10, S n 最大,S n 最大值:S10 ? 180

5.已知等差数列{an},3 a5 =8 a12, a1<0,设前 n 项和为 Sn,求 Sn 取最小值时 n 的值. [分析]求等差数列前 n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由

S n ? A(n ?

B 2 B2 ) ? 完成. 2A 4A
76 d. 5

解法一:? 3a5 ? 8a12 ,? 3(a1 ? 4d ) ? 8(a1 ? 11d ), 即a1 ? ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n, 2 2 2 d 2 d 点 (n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点 ,即在函数 y ? x ? ( a1 ? ) x 的图象上, 其对 2 2 76 d d ? d? a1 ? 2 ? 15.7, 距 离 x=15.7 最 近 的 整 数 点 (16,S ), 2 ? 5 称 轴 x?? 16 d d

由a1 ? 0,? d ? 0,

? S n ? na1 ?

? S n 最小时n ? 16.

解法二: ? 3a5 ? 8a12 ,? a1 ? ?
2

76 d. 5

由a1 ? 0,? d ? 0,

d B 2 B B 2 ? 0, S n ? A(n ? ) ? , 令n ? ? 0, 即n ? d 2A 4A 2A 2? 2 a1 ?
d 76 ? d 2 5 ?n ? ? 15.7(n ? N * ), d ? n ? 16时,S n 最小.

2.4 等比数列(一)
教学目标 (一) 知识与技能目标 1.等比数列的定义; 2.等比数列的通项公式. (二) 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道 an , a1 , q ,n 中的三个,求另一个的问题. 教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 教学难点 等差数列"等比"的理解、把握和应用. 教学过程 一、复习引入: 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的 P48 面) 1,2,4,8,16,?,2 ;
2 3
63



1,

1 1 1 , , ,?; 2 4 8



1, 20, 20 , 20 ,?;



1.0198 ,1.10982 , 1.10983......



对于数列①, an = 2 ≥2) .

n ?1

;

an a 1 1 =2(n≥2) .对于数列②, an = n ?1 ; n ? (n 2 a n ?1 2 a n ?1 an =20(n≥2) . a n ?1

对于数列③, an = 20

n ?1

;

共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数. 二、新课 1.等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同

一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母 q 表示(q≠0) , 即:

an =q(q≠0). a n ?1

思考: (1)等比数列中有为 0 的项吗? (2)公比为 1 的数列是什么数列? (3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗?(4)常数列都是等比数列吗? (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q; { an }成等比数列 ? q≠0. ) (2) 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 (3) q= 1 时,{an}为常数数列. (4) .既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.

a n ?1 ? =q( n ? N , an

2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? qn ?1 (a1, q均不为0) 观察法:由等比数列的定义,有: a 2 ? a1q ;

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ;

a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;? ? ? ? ? ? ?

an ? an?1q ? a1 ? qn ?1(a1,q ? 0) .
迭乘法:由等比数列的定义,有:

a a2 a a ? q ; 3 ? q ; 4 ? q ;?; n ? q a1 a3 a n ?1 a2

所以

a2 a3 a4 a ? ? ? n ? q n ?1 ,即 an ? a1 ? qn?1(a1,q ? 0) a1 a2 a3 an ?1

3.等比数列的通项公式 2: an ? am ? q n?m (am,q ? 0) 三、例题讲解 例 1.一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项. 解:?

18 3 3 ? ?q? 12 2 2

? a2 ?

a3 2 a 2 16 ? 12? ? 8, a1 ? 2 ? 8 ? ? . q 3 q 3 3

例 2.求下列各等比数列的通项公式:

(1) a1 ? ?2, a3 ? ?8;
解: (1) a3 ? a1q ? q ? 4 ? q ? ?2
2

(2) a1 ? 5, 且2an?1 ? ?3an

? an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2) n?1 ? (?2) n

(2) q ?

an ?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? )n ?1 2

例 3.教材 P50 面的例 1。 例 4.已知数列{an}满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 , (1)求证数列{an+1}是等比数列; (2)求 an 的表达式。 练习:教材第 52 页第 1、2 题. 三、课堂小结: 1.等比数列的定义; 2.等比数列的通项公式及变形式. 四、课外作业 1.阅读教材第 48~50 页; 2.《习案》作业十五.

2.4 等比数列(二)
教学目标 (三) 知识与技能目标 1. 等比中项的概念; 2. 掌握"判断数列是否为等比数列"常用的方法; 3. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用. (四) 过程与能力目标 1. 明确等比中项的概念; 2. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用. 教学重点 等比数列的通项公式、性质及应用. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题. 教学过程 一、复习 1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? qn?1(a1, q ? 0) ,
3. {an}成等比数列 ?

an ? am ? qn?m (am , q ? 0) ,

an ? ABn ( A, B ? 0)

an ?1 ? q (n ? N ? , q ? 0) an

4.求下面等比数列的第 4 项与第 5 项:

2 1 3 2 (1)5,-15,45,??; (2)1.2,2.4,4.8,??; (3) , . ,??; ( 4) 2 ,1, ,??. 3 2 8 2 二、讲解新课: 思考:类比等差中项的概念,你能说出什么是等比中项吗? 1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a, G,b 成等比数列,那么称这个数 G
为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) , 则

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G

反之,若 G =ab,则

2

G b 2 ? ,即 a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列 ? G =ab(a·b a G
王新敞
奎屯 新疆

≠0) 例 1.三个数成等比数列,它的和为 14,它们的积为 64,求这三个数. 解:设 m,G,n 为所求的三个数, 有已知得 m+n+ G =14, m ? n ? G ? 64 ,

?G2 ? mn,

?G3 ? 64 ? G ? 4,

?m ? n ? 10, ?? ? m ? n ? 16,

?m ? 8, ?m ? 2, ?? 或? ? n ? 2, ? n ? 8.
a , a, aq, 则 a3 ? 64,? a ? 4, q
解得 q ? 2, 或q ?

? 这三个数为 8,4,2 或 2,4,8.
解法二:设所求三个数分别为



a 4 ? a ? aq ? 14, ? ? 4 ? 4q ? 14 q q

1 , 2

? 这三个数为 8,4,2 或 2,4,8.
2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak 在等比数列中,m+n=p+q, am , an , a p , ak 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q m?1
2

an ? a1q n?1

a p ? a1q p?1
2

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
则 am a n ? a p ak

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2

例 2. 已知{ an }是等比数列,且 an ? 0 ,

a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25, 求 a3 ? a5 .
2

解: ∵{ an }是等比数列,∴ a2 a4 +2 a3 a5 + a4 a6 =( a3 + a5 ) =25, 又 an >0, ∴ a3 + a5 =5; 3.判断等比数列的常用方法:定义法,中项法,通项公式法 例 3.已知 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,求证 ?an ? bn ? 是等比数列. 证明:设数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q2 ,那么数列

?an ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别
a1 ? q1
n ?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1(q1q2 )n?1与a1b1(q1q2 )n
n n

n ?1

?

an?1 ? bn?1 a b (q q ) n ? 1 1 1 2 n?1 ? q1q2 . an ? bn a1b1 (q1q2 )

它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列. 思考; (1) {an}是等比数列,C 是不为 0 的常数,数列 ?can ?是等比数列吗? (2)已知 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列, ?

? an ? ? 是等比数列吗? ? bn ?

4.等比数列的增减性:当 q>1, a1>0 或 0<q<1, a1<0 时, {an}是递增数列; 当 q>1, a1<0,或 0<q<1, a1>0 时, {an}是递减数列; 当 q=1 时, {an}是常数列;当 q<0 时, {an}是摆动数列. 思考:通项为 an ? 2 n?1 的数列的图象与函数 y ? 2 三、例题讲解 例 4. 已知无穷数列 10 ,10 ,10 ,??10 求证: (1)这个数列成等比数列; (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的
0 5 1 5 2 5 n ?1 5
x ?1

的图象有什么关系?

,?? ,
1 ; 10

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
n ?1 1 证: (1) a n ? 10 5 ? 10 5 (常数)∴该数列成等比数列. n?2

a n ?1

10

5

(2)

an 1 10 1 ? n ? 4 ? 10?1 ? ,即: a n ? a n ? 5 . 10 a n ?5 10 10 5
p ?1 5

n ?1 5

(3) a p aq ? 10

10

q ?1 5

? 10

p ? q ?2 5

,∵ p, q ? N ,∴ p ? q ? 2 .

∴ p ? q ? 1 ? 1 且 ? p ? q ? 1? ? N , ∴ 10
p ?q ?2 5 ?1 ? n5 ? ? ?10 ? , (第 p ? q ? 1项) . ? ?

四、练习:教材第 53 页第 3、4 题. 五、课堂小结: 1.等比中项的定义; 2.等比数列的性质; 3.判断数列是否为等比数列的方法. 六、课外作业 1.阅读教材第 52~52 页; 2.《习案》作业十六.

2.5 等比数列的前 n 项和(一)
教学目标 (五) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (六) 过程与能力目标 3. 等比数列前 n 项和公式及其获取思路; 4. 会用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. (七) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2. 培养学生应用意识. 教学重点 等比数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程 一、复习引入: 1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 3. { an }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

an ≠0

4.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 二、讲解新课: (一)提出问题 :关于国际相棋起源问题 62 63 例如:怎样求数列 1,2,4,?2 ,2 的各项和? 即求以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263
由②—①可得: S 64 ? 2 64 ? 1



2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 263 ? 264



这种求和方法称为“错位相减法” , “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. (二)怎样求等比数列前 n 项的和? 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 由?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

得?

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 由 定 义 ,

∴当 q ? 1 时,S n ?

a ? an q a1 (1 ? q n ) ① 或 Sn ? 1 1? q 1? q



a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1















a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an


S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

Sn ?

a1 ? a2 ? a3 ? ?an



a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )



a1 ? qSn?1



a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利 用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决. (三)等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1

思考:什么时候用公式(1) 、什么时候用公式(2)? (当已知 a1, q, n 时用公式①;当已知 a1, q, an 时,用公式②.) 三、例题讲解 例 1:求下列等比数列前 8 项的和. (1)

1 1 1 , , ,? 2 4 8

(2) a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243

解:由 a1=

1 1 1 1 , q ? ? ? , n ? 8, 得 4 2 2 2

8 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? ?2? ? ? 255 S8 ? ? . 1 256 1? 2

例 2:某商场第一年销售计算机 5000 台,如果平均每年的售价比上一年增加 10%,那么从 第一年起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个位)?

解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第一年起,每年的销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5000, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 ,
n

于是得到

5000(1 ? 1.1n ) ? 30000 . 1 ? 1.1

整理得 1.1 ? 1.6. 两边取对数,得 n lg1.1 ? g1.6 答:约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台. 例 3.求数列 1 , 2 , 3 , 4

用计算器算得 n ? 5 (年).

1 2

1 4

1 8
2

1 ,....前 n 项的和。 16
3 n ?1

例 4:求求数列 1, 3a, 5a , 7a ,....,(2n ? 1)a 练习:教材第 58 面练习第 1 题. 三、课堂小结: 1. 等比数列求和公式:当 q = 1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

的前 n 项的和。

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方 程法)推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 四、课外作业: 1.阅读教材第 55~57 页; 2.《习案》作业十七.

2.5 等比数列的前 n 项和(二)
教学目标 (八) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (九) 过程与能力目标 综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前 n 项和公式解决相关的问题. 教学重点 进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点 灵活应用相关知识解决有关问题. 教学过程 一、复习引入:

1.等比数列求和公式:

?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

2.数学思想方法:错位相减,分类讨论,方程思想 3.练习题: 求和: 1 ? a ? a ? a ? ? ? a
2 3 n ?1

二、探究 1.等比数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系? {an}是等比数列 ? Sn ? Aqn ? B 其中 A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0 . 练习: 若等比数列{an}中, Sn ? m3n ? 1, 则实数 m= .

2.Sn 为等比数列的前 n 项和, Sn ? 0 ,则 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k (k ? N * ), 是等比数列. 解:设等比数列 ?an ? 首项是 a1 ,公比为 q, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ∵此时, S k ? S 2k ? S k ? S 3k ? S 2k =0. (例如:数列 1,-1,1,-1,?是公比为-1 的等比数列, S 2 ? S 4 ? S 2 ? S 6 ? S 4 S2=0 ) ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k = a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ? 0
k S 2k ? S k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0 2k S3k ? S 2k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0

? S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )成等比数列.
评述:①注意公比 q 的各种取值情况的讨论, ②不要忽视等比数列的各项都不为 0 的前提条件. 练习: ①等比数列中,S10= 10,S20= 30,则 S30= 70 ②等比数列中,Sn= 48,S2n= 60,则 S3n= 63 3.在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S q . 练习:
* 偶

. . 与 S


分别为偶数项和与奇数项和,则

S偶 S奇

?

等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q = 综合应用:

2 .

例 1: 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn ?1, Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为 -2 .

解: Sn ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? Sn

? ?an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? ?2an ?1 ? q ? ?2 .
例 2:等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,3,3 ,?,3 项组成数列{bn}, 求数列{bn}的通项和前 n 项和 Sn. 解:由题意 an =2n-1, 故 bn ? a3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 1, Sn=b1+b2+?+bn =2(1+3+3 +?+3 )-n =3 -n-1. 三、课堂小结: 1.{an}是等比数列 ? S n ? Aq n ? B 其中 A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0 . 2.Sn 为等比数列的前 n 项和,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 一定是等比数列. 3.在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S 偶与 S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则 四、课外作业: 1.阅读教材第 59~60. 2. 《习案》作业十八.
* n 2 n-1 2 n-1

S偶 S奇

?q.

第一课时

3.1 不等关系与不等式(一)

一、教学目标 1. 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 在学生了解了一些不 等式(组)产生的实际背景的前提下,能列出不等式与不等式组. 2. 学习如何利用不等式表示不等关系,利用不等式的有关基本性质研究不等关系; 3.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背 景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生的学习方式,提高学 习质量。 二、教学重、难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系 的问题,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 难点:正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式(组)正确表示出不等关系。

三、教学过程 (一)[创设问题情境] 问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d≤ AB 。 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。根据市场调查,若单 价每提高 0.1 元, 销售量就可能相应减少 2000 本。 若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元? 分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 ? 8 ?

? ?

x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x 万元。那么不等 0.1 ? ? ? x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x ≥ 0.1 ?

关系 “销售的总收入不低于 20 万元” 可以表示为不等式 ? 8 ?

20 问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要 求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足上述所有不 等关系的不等式呢? 分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)解得两钟钢管的数量都不能为负。

?500 x ? 600 y ? 4000 ?3 x ? y ? 由以上不等关系,可得不等式组: ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
[练习]:第 74 页,第 1、2 题。 提问:除了以上列举的现实生活中的不等关系,你还能列举出你周围日常生活中的不 等关系吗? 归纳: 文字语言与数学符号间的转换. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 > < ≥ ≤ 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤

(二)典例分析 例 1:某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每 100 克含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位;米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位.某快餐公司给学生 配餐, 现要求每盒至少含 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉. 设每盒快餐需面 食 x 百克、米饭 y 百克,试写出 x, y 满足的条件.

例 2:配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克,乙料 5 毫克,配一剂 B 药需甲料 5 毫克,乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克,乙料 25 毫克, 若 A, B 两种药至少各配一剂,则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系 (三)知识拓展 1.设问:等式性质中:等式两边加(减)同一个数(或式子) ,结果仍相等。不等式是 否也有类似的性质呢? 从实数的基本性质出发, 实数的运算性质与大小顺序之间的关系: 对于任意两个实数 a,b, 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a-b 等于 0. 它们的逆命题也是否正确?

(1)a ? b ? a ? b ? 0; (2) a ? b ? a ? b ? 0; (3) a ? b ? a ? b ? 0
2.例 3、比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小. 例 4、已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小. 归纳:作差比较法的步骤是: 1、作差; 2、变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等; 3、判断符号; 4、作出结论. (四)课堂小结 1.通过具体情景,建立不等式模型; 2.比较两实数大小的方法——求差比较法. (五)作业:?《 习案》作业

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 )的大小 b?m b a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? 解: , b?m b b(b ? m) b(b ? m) a?m a m(b ? a ) ? . ? 0 ,所以 ∵ b ? a ? 0 , m ? 0 ,∴ b?m b b(b ? m) a?m a ? ( b ? a ? 0 , m ? 0 )在生活中可以找到原型:b 克糖水中有 a 克 说明:不等式 b?m b 糖( b ? a ? 0 ) ,若再添加 m 克糖( m ? 0 ) ,则糖水便甜了.
比较

第一章
一、基本知识复习: 知识结构: 正弦定理 解三角形 余弦定理

复习

应用举例

二、举例分析 例 1、在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 , tan B ? . 4 5

1 3 ? 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 ? AB 边最大,即 AB ? 17 . (Ⅱ)? C ? ? , 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,

? ?

?? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , 17 ?tan A ? ? π? 由? . cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? 17 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
AB BC sin A ? ? 2. 得: BC ? AB ? 所以,最小边 BC ? 2 . sin C sin A sin C ? 例 2、在 △ ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
由 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知 AC ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC ,所以 y ? 4sin x ? 4sin ? (2) 因为

? ? ? 1 ?? ? 5? ? ? ?? y ? 4? x ? ?? 2 3? ? x? ? ? , ? sin x ? ? cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

例 3、在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;

CA ? (2)若 CB ? sin C ?3 7 cos C

??? ? ??? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2
2 2

? tan C ? 3 7, ? 解: (1)

又? sin C ? cos C ? 1

解得 cos C ? ?

1 . 8

? tan C ? 0 ,? C 是锐角.

CA ? (2)? CB ?
又? a ? b ? 9

??? ? ??? ?

1 ? cos C ? . 8
? ab ? 20 .

5 5 ? , , ? a bc o s C 2 2

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.
?c ? 6 .

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .

例 4、已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

BC ? AC ? 2 AB ,

1 1 1 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .
?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2

三、作业: 《习案》作业八

课题:数列、等差数列复习
教学目标 (十) 知识与技能目标 4. 知识的网络结构; 5. 重点内容和重要方法的归纳. (十一) 过程与能力目标

5. 熟练掌握数列、等差数列及等差数列前 n 项和等知识的网络结构及相互关系. 6. 理解本小节的数学思想和数学方法. (十二) 情感与态度目标 培养学生归纳、整理所学知识的能力,从而激发学生的学习兴趣、求知欲望,并培养 良好的学习品质. 教学重点 1. 本章知识的网络结构,及知识间的相互关系; 2. 掌握两种基本题型. 教学难点 知识间的相互关系及应用. 教学过程 一、知识框架图 基本概念 定义 分类 通项公式 递推公式 图象法

数列

一般数列

特殊函数——等差数列

定义 通项公式 等差中项 前项和公式 性质

二、 基本题型 1.题型一:求数列通项公式的问题. 例 1. 已知数列{an}的首项 a1=1,其递推公式为 an ?1 ? 并归纳出通项公式. 解法一: a1=1, a2 ?

2an (n ? N *且n ? 2) .求其前五项, an ? 2

2a1 2 2a2 1 2a3 2 2a4 1 ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 归纳得 a1 ? 2 3 a2 ? 2 2 a3 ? 2 5 a4 ? 2 3

an ?

2 n ?1

解法二: ? an ?1 ?

2an an ? 2

又 a1 ? 0,? an ? 0

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? an ?1 2 an an ?1 an 2
故{

1 1 1 1 1 n ?1 } 是以 1 为首项, 为等差的等差数列? ? ? (n ? 1) ? 2 an an a1 2 2

? an ?

2 2 1 2 1 .令 n=1,2,3,4,5 得 a1=1, a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? , n ?1 3 2 5 3

例 2.数列{an}中,已知 a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? N *且n ? 2).求此数列的通项公式. 解: ?an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? N *且n ? 2), 且a1 ? 1.

? a 2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1, a 3 ? a 2 ? 2 ? 3 ? 1, a 4 ? a 3 ? 2 ? 4 ? 1, ?? a n ? a n ?1 ? 2n ? 1.
把这 n-1 个式子两边分别相加可得

an ? a1 ? 2[2 ? 3 ? 4 ? ? ? n] ? (n ? 1).
故数列{an}的通项公式为

?an ? n2 (n ? 2, 且n ? N * ).而a1 ? 1也适合an ? n2. an ? n2 (n ? N * ).
例 3.数列{an}中, a1 ? 1,

an n ? (n ? N *且n ? 2), 求此数列的通项公式. an ?1 n ? 1

解: ?

an n ? (n ? N *且n ? 2)且a1 ? 1, an ?1 n ? 1

?

a2 2 a2 3 a2 4 a n ? , ? , ? , ?, n ? . a1 3 a1 4 a1 5 an ?1 n ? 1
把这 n-1 个式子两边分别相乘可得

2 an 2 3 4 n 2 , 而n ? 1也适合 . ? ? ? ? ?, ? . 即 an ? n ?1 a1 3 4 5 n ?1 n ?1
故{an}的通项公式为 an ?

2 . n ?1

2.题型二:等差数列的证明与计算. 例 4.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S1 =1,且 S n ?1 ? S n ? 2S n ? S n?1 (n ? 2), (1)求证 {

1 } 是等差数列; Sn

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明: ? n ? 2时, Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1,

?

1 1 ? ? 2( x ? 2), Sn Sn ?1

?{

1 1 } 是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn S1

(2)解:?

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1, Sn

? Sn ?

1 , 2n ? 1

? an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? (n ? 2), 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)

(n ? 1), ? 1 ? 2 ? an ? ? . ? (n ? 2) ? ? (2n ? 1)(2n ? 3)
五、课堂小结 从知识结构、数学思想、数学方法和题型变化等四个方面进行复习总结. 六、课外作业 1.阅读教材; 2. 作业: 《学案》P41---P42 面的双基训练。 思考题.设函数 f ( x) ? log2 x ? logx 2(0 ? x ? 1).数列{an}满足 f (2 n ) ? 2n(n ? N ).
a

(1)求数列{an}的通项公式; 解:(1) f (2 n ) ? 2n 得
a

(2)证明数列{an}为 n 的单调函数.

log2 2an ? log2an 2 ? 2n ,
2

即 an ?

1 ? 2n an

? an ? 2n ? an ? 1 ? 0.? an ? n ? n 2 ? 1.
又?0 ? x ? 1,0 ? 2
an

? 1 ? 20 ,

? an ? 0.

2 故{an}的通项公式 an ? n ? n ? 1.

(2)证明:? an ?1 ? an

? [n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1] ? (n ? n 2 ? 1) ? 1 ? n 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1 ? 1? ? 1?1 ? 0 (n ? 1) 2 ? 1 ? n 2 ? 1 ? an ?1 ? an .

? 数列{an}为 n 的单调递增数列.

等差数列复习
知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容?

定 等差数列 通

义 项

前n项和 主要性质

2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n≥2,an -an-1=d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何?结构有什么特点? an=a1+(n-1) d an=An+B (d=A∈R) 4. 等差数列图象有什么特点?单调性如何确定?

an n d<0

an n d> 0

5. 用什么方法推导等差数列前 n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前 n 项和公式结构有什么特点?

Sn ?

n(a1 ? a n ) n( n ? 1)d ? na1 ? 2 2

Sn=An2+Bn (A∈R) 注意: d=2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{an}中,(m、 n、p、q∈N+): ①an=am+(n-m)d ; ②若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq ; ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列; ④ 每 n 项和 Sn , S2n-Sn , S3n-S2n …组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列 (2)若{an} 为等差数列,则{an+an+1}也为等差数列 (3)若 an=1-3n,则{an}为等差数列. (4)若{an}的前 n 和 Sn=n2+2n+1, 则{an}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{an}前三项分别为 a-1,a+2, 2a+3, 则 an= 3n-2 . 3.等差数列{an}中, a1+a4+a7=39, a2+a5+a8=33, 则 a3+a6+a9=27 . 4.等差数列{an}中, a5=10, a10=5, a15=0 . 5.等差数列{an}, a1-a5+a9-a13+a17=10, a3+a15= 20 . 6. 等差数列{an}, S15=90, a8= 6 . 7.等差数列{an}, a1= -5, 前 11 项平均值为 5, 从中抽去一项,余下的平均值为 4, 则抽取的项 为 ( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 2 8.等差数列{an}, Sn=3n-2n , 则( B )

A. na1<Sn<nan B. nan<Sn <na1 C. nan<na1<Sn D. Sn<nan<na1 能力提高 1. 等差数列{an}中, S10=100, S100=10, 求 S110. 2. 等差数列{an}中, a1>0, S12>0, S13<0, S1、S2、… S12 哪一个最大? 课后作业《习案》作业十九.

等比数列复习
1、等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 注意(1)、q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即

(2)、由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0. (3)、公比 q 可为正数、负数,特别当 q=1 时,为常数列 a1,a1,……; q=-1 时,数列为 a1,-a1,a1,-a1,……. (4)、要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n∈N+, an+1÷an=q,或 an÷an-1=q(n≥2)都成立. 2、等比数列的通项公式 由 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳出 an=a1qn-1.此式对 n=1 也成立. 3、等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项. 4、等比数列的判定方法 (1)、an=an-1· q(n≥2),q 是不为零的常数,an-1≠0 (2)、an2=an-1· an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0) {an}是等比数列.

{an}是等比数列.

(3)、an=c· qn(c,q 均是不为零的常数) 5、等比数列的性质 设{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 q.

{an}是等比数列.

(1)、当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,{an}是递减数列;当 q=1 时,{an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列. (2)、an=am· qn
-m

(m、n∈N*).

(3)、当 m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有 am· an=ap· aq. (4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积. (5)、数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若{bn}是公比为 q′的 等比数列,则数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列;数列 是公比为|q|的等比数列. 是公比为 的等比数列;{|an|}

(6)、在{an}中,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列 且公比为 qk+1. (7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为 lgq 的等差数列. (8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列. (9)、若 m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap 成等比数列. 6、等比数列的前 n 项和公式

由此得 q≠1 时等比数列{an}的前 n 项和的公式

.

因为 an=a1qn 1,所以上面公式还可以写成


.

当 q=1 时,Sn=na1. 7、等比数列前 n 项和的一般形式 一般地,如果 a1,q 是确定的,那么

8、等比数列的前 n 项和的性质 (1)、若某数列前 n 项和公式为 Sn=an 1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.


(2)、若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qn· Sm.

(3)、在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 (4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列. 二、举例讲解 1、利用等比数列的通项公式进行计算. 【例 1】 在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ①求通项公式,②求 a1a3a5a7a9. 解析:①设公比为 q,则由已知得

【例 2】 有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和 37,中间两项和 36,求这 四个数.

解析 1:按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d,

,由已知得:

解析 2:按后三个数成等比可设四个数为 2a-aq,a,aq,aq2, 由已知得:

解析 3:依条件设四个数分别为 x,y,36-y,37-x,

2、利用等比数列的性质解题. 【例 3】等比数列{an}中, (1)、已知 a 2 ? 4, a5 ? ?

1 ,求通项公式.(2)、已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

3、如何证明所给数列是否为等比数列.

【例 4】 设{an}是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 ? ,求等差数 8 8

列的通项 an. 4、利用等比数列的前 n 项和公式进行计算. 【例 5】 若数列{an}成等比数列,且 an>0,前 n 项和为 80,其中最大项为 54,前 2n 项之和 为 6560,求 S100=? 5、利用 an,Sn 的公式及等比数列的性质解题. 【例 6】 数列{an}中,a1=1,且 anan+1=4n,求前 n 项和 Sn. 解析:由已知得 anan+1=4n an+1an+2=4n
+1

……①

……②

a1≠0,②÷①得 ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…;

.

a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比 q=4 的等比数列,a1=1,a2=4. ①当 n 为奇数时,

作业:《学案》P48 面双基训练

课题:数列复习(一)通项公式
教学目标 (十三) 知识与技能目标 数列通项公式的求法. (十四) 过程与能力目标 7. 熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系. 8. 掌握数列通项公式的求法.

教学重点:掌握数列通项公式的求法. 教学难点:根据数列的递推关系求通项. 教学过程 一、基本概念 数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个 公式就叫做这个数列的通项公式. 二、数列的通项公式的求法 题型一:已知数列的前几项,求数列的通项公式. 例1 根据数列的前几项,写出下列个数列的一个通项公式: (1) ?

4 1 4 2 , ,? , ,?; 5 2 11 7

(2) 0.9,0.99,0.999,0.9999,?; (3) 1,0,1,0,1,0,?. 【解】 (1)注意到前四项中有两项分子均为4,不妨把分子都统一为4,即 ?

4 4 4 , ,? , 5 8 11

4 4 ,?观察符号是正负交替出现,因而有 an ? (?1) n . 3n ? 2 14 1 1 1 (2) 将数列中的项和1比较,就会发现, a1 =0.9=1=1- 2 a2 =0.99=110 10 100 1 1 1 =1- 3 ,因此就有 a n ? 1 ? n . a3 =0.999=110 10 1000 1 n?1 (3)数列中的奇数项为1, 偶数项为0, 注意 1 ? (?1) n?1 的值为2和0, 因此有 an ? ?1 ? (?1) ?. 2
题型二:已知递推公式,求特殊数列的通项公式. 例2 写出下面各数列一个通项公式. (1) a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (2) a1 ? 1 , a n ?

an (n ? 1); 2

练习1: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ; 练习2: a1 ? 1 , a n ?1 ? 练习3:

2a n ?1 (n ? 2) ; 2 ? a n ?1

3a n (n ? 1) ; 3 ? an

(3) a1 ? 1 , a n ? a n?1 ? 2n(n ? 2)

a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(4) a1 ? 1 , an?1 ?

n an (n ? 1) ; n ?1

练习4: a1 ? 1 , an ?1 ? 2n ? an (n ? 1)

【解】 (1)法一:∵ a1 ? 1 , an?1 ? 1 ?

an (n ? 1) 2

∴ a2 ? 1 ?

a1 1 3 ? 1? ? , 2 2 2
2n ?1 . 2 n ?1

a3 ? 1 ?

a2 3 7 ? 1? ? 2 4 4

a4 ? 1 ?

a3 7 15 ? 1? ? 2 8 8

故 an ?

法二:∵ an?1 ? 1 ?

an 1 (n ? 1) ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2) 2 2

∴{ a n ? 2 }是一个首项为-1,公比为

1 的等比数列, 2

1 1 ∴ a n ? 2 ? (?1)( ) n?1 ,即 a n ? 2 ? ( ) n?1 . 2 2
练习: ∵ a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) , ∴{ an ? 3 }是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以该数列的通项 an ? 2 (备用)∵ a n?1 ? 2a n ? 4 ,
n ?1

?3 .

∴ an?1 ? 4 ? 2(an ? 4)

∴数列{ a n ? 4 }是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴ an ? 4 ? 2 ? 2 n?1 ,即 an ? 2 n ? 4(n ? N ? ) . [点评]若数列{an}满足a1 =a,an+1 = pan +q (p≠1),通过变形可转化为

a n ?1 ?

q q q ? p(a n ? ) ,即转化为 {an ? } 是等比数列求解. 1? p 1? p 1? p
2a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 2) 得 ? ? ,即 ? ? ,又 ? 1 , 2 ? a n ?1 a n a n ?1 2 a n a n ?1 2 a1

解: (2)由 a n ?

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 2



1 1 1 n ?1 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,∴ an ? (n ? N ? ) . a n a1 2 2 n ?1
3a n 1 1 1 ? ? , 得 3 ? an a n ?1 a n 3


练习2:由 a n ?1 ?

1 a n ?1

?

1 1 1 ? ,又 ? 1 , an 3 a1

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 3



1 1 1 n?2 3 ? ? (n ? 1) ? ? ,∴ an ? (n ? N ? ) . a n a1 3 3 n?2

an ?1 ? [点评] 若数列 { an } 满足 a1 ? a ,

1 1 b ca n ? ? , (b, c ? 0) , 通过取倒可转化为 an ?1 an c ban ? c

即转化为{

1 }是等差数列求解. an

(3)∵ a1 ? 1 , a n ? a n?1 ? 2n(n ? 2)

∴ a 2 ? a1 ? 2 ? 2 ? ?

a3 ? a 2 ? 2 ? 3
a n ? a n?1 ? 2 ? n

a 4 ? a3 ? 2 ? 4

将上述(n-1)个式子相加,得 a n ? a1 ? 2 ? (2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) 即 an ? a1 ? 2 ?

(2 ? n)(n ? 1) , an ? n 2 ? n ? 1(n ? N ? ) . 2

练习 3:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), ? a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
[点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求和的数列 ) ,则用累 n 加法求解,即 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . (4)∵ a1 ? 1 , an?1 ?

n an (n ? 1) , n ?1



a n ?1 n ? , an n ?1



a 2 1 a3 2 a 4 3 ? , ? , ? ,?, a1 2 a 2 3 a 3 4

an n ?1 ? , a n ?1 n

将上述(n-1)个式子相乘,得

an 1 1 ? ,即 an ? (n ? N ? ) . a1 n n


练习4:∵ an ?1 ? 2n ? an ,∴

a n ?1 ? 2n an

a2 a a a ? 2 , 3 ? 2 2 , 4 ? 23 ,?, n ? 2 n ?1 , a2 a3 an ?1 a1
n ( n ?1) 2 (n ? N ? )

将上述(n-1)个式子相乘,得

an ? 21? 2 ? 3??? ( n ?1) ,即 an ? 2 a1



) ,则用迭 [点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求积的数列 n

乘法求解,即 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ??? n . a1 a2 an?1

三、课堂小结: 1. 已知数列的前几项,求数列的通项公式的方法:观察法. 2. 已知递推公式,求特殊数列的通项公式的方法: 转化为等差、等比数列求通项;累加法;迭乘法. 四、课外作业: 《习案》作业二十.

课题:数列求和
教学目标 (十五) 知识与技能目标 数列求和方法. (十六) 过程与能力目标 数列求和方法及其获取思路. 教学重点:数列求和方法及其获取思路. 教学难点:数列求和方法及其获取思路. 教学过程 1.倒序相加法:等差数列前 n 项和公式的推导方法:

?Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2S ? n(a ? a ) n 1 n ?Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1 12 22 32 102 ? ? ??? 2 2 例 1.求和: 2 1 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 10 ? 1
(1) ? 分析:数列的第 k 项与倒数第 k 项和为 1,故宜采用倒序相加法. 小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前 n 项和. 2.错位相减法:等比数列前 n 项和公式的推导方法: (2) ?

?Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (1 ? q) Sn ? a1 ? an ?1 ?qSn ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1
2 3 n

例 2.求和: x ? 3x ? 5x ? ? ? (2n ? 1) x ( x ? 0) 3.分组法求和 例 3 求数列 1 ,2 ,3 ,4

1 2

1 4

1 8

1 ? 的前 n 项和; 16
1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 2

例 4 . 设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ?

210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。 例 5.求数列 1, 1 ? a, 1 ? a ? a ,?,1 ? a ? a ? ? ? a
2 2 n ?1

,?的前 n 项和 Sn.

解 : 若a ? 1, 则a n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n, 于是S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
n ?1

n(n ? 1) ; 2

1? an 1 若a ? 1, 则a n ? 1 ? a ? ? a ? ? (1 ? a n ) 1? a 1? a 2 n 1? a 1? a 1? a 1 1 a(1 ? a n ) 于是S n ? ? ??? ? [n ? (a ? a 2 ? ? ? a n )] ? [n ? ] 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a
4.裂项法求和 例 6.求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

2 1 1 ? 2( ? ), n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 2n ? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
解:设数列的通项为 an,则 an ? 例 7.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ? 和)

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 三、课堂小结: 1.常用数列求和方法有: (1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题; (3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和; (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和; (5) 并项求和法: 将相邻 n 项合并为一项求和; (6) 分部求和法:将一个数列分成 n 部分求和; (7) 裂项相消法: 将数列的通项分解成两项之差, 从而在求和时产生相消为零的项的求和方 法. 四、课外作业: 1. 《学案》P62 面《单元检测题》 2.思考题

1 1 1 ? 4 ? 6 ? ?前n项的和. 4 8 16 1 2 n 2 ? ? ??? ? (2) .在数列{an}中, an ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1 2 ( 1). 求数列:

项的和. (3) . 在各项均为正数的等比数列中, 若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 殊性质项) 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得 (找特

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
(合并求和) = (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10


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