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青岛市高三教学质量统一检测理数


青岛市高三教学质量统一检测

数学 (理科)

2011.03

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类 型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小

题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试题卷上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用涂改液、 胶带纸、 修正带. 不 按以上要求作答的答案无效. 参考公式:台体的体积公式为: V = 的高.

1 ( S1 + S 2 + S1S 2 )h ,其中 S1 , S2 分别为台体的上、下底面积, h 为台体 3

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
小题. 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 选择题:本大题共 求的. 求的. 1. 已知复数 z = A. 1 + i

2i ,则复数 z 的共轭复数为 i ?1 B. ?1 + i C. 1 ? i

D. ?1 ? i

2 2. 已知全集 U = R ,集合 A = {x | x ? 2 x > 0} , B = {x | y = lg( x ? 1)} ,则 (? A) I B 等于 U

A. {x | x > 2 或 x < 0}

B. {x |1 < x < 2}

C. {x |1 < x ≤ 2}

D. {x |1 ≤ x ≤ 2}

3. 下列四个函数中,在区间 (0,1) 上为减函数的是 A. y = log 2 x B. y =

1 x

C. y = ?( )

1 2

x

D. y = x 3

1

4. 已知直线 l 、 m ,平面 α 、 β ,且 l ⊥ α , m ? β ,则 α // β 是 l ⊥ m 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件
2

D.既不充分又不必要条件

5. 二项式 ( x ? ) 的展开式中, x 项的系数为
6

2 x

A. 15

B. ?15

C. 30

D. 60

2 2 6. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x + y ? 2 x + 6 y + 9 = 0 圆心的抛物线方程是

A. y = 3x 2 或 y = ?3x 2

B. y = 3x 2 C. y 2 = ?9 x 或 y = 3x 2 D. y = ?3x 2 或 y 2 = 9 x 长
正视图 侧视图

7. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底 分别为 2 和 4 ,腰长为 2 的等腰梯形,则该几何体的体积是

高三数学(理科) 第 1 页(共 9 页)
第7题

俯视图

A.

28 π 3

B.

7 π 3

C. 28π

D. 7π

?x ? y ≤ 0 ? 8. 若 ? x + y ≥ 0 ,若 z = x + 2 y 的最大值是 3 ,则 a 的值是 ?y ≤ a ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点,且 ON = a15 OM + a6 OP (直 线 MP 不过点 O ),则 S 20 等于 A. 15 10. 定义运算: B. 10 C. 40 D. 20

uuur

uuuu r

uuu r

a1 a3

a2 a4

= a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ( x) =

3 1

? sin x cos x

向左平移 m 个单位 ( m > 0) ,所得图象对应

的函数为偶函数,则 m 的最小值是 A.

π
6

B.

π
3
a 0

C.

5 π 6

D.

2π 3

11. 下列四个命题中,正确的是 A. 已知函数 f ( a ) =



sin xdx ,则 f [ f ( )] = 1 ? cos1 ; 2

π

? B. 设回归直线方程为 y = 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位;
C. 已知 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,且 P ( ?2 ≤ ξ ≤ 0) = 0.4 ,则 P (ξ > 2) = 0.2 ; D. 对于命题 p : ?x ∈ R ,使得 x + x + 1 < 0 ,则 ?p : ?x ∈ R ,均有 x + x + 1 > 0
2 2

12. 若 f ( x ) + 1 = 数 m 的取值范围是 A. [0, )

1 ,当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = x ,若在区间 (?1,1] 内 g ( x ) = f ( x ) ? mx ? m 有两个零点,则实 f ( x + 1)
B. [ , +∞ )

1 2

1 2

C. [0, )

1 3

D. (0, ]

1 2

网第Ⅱ卷(非选择题 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题 13. 某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区, 分布直方图如右图所示,则时速超过 60 km/h 的 为_____________;
0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

共 90 分)
时速频率 汽车数量

频率 组距

14. 14. 执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为

30

40

50

60

70

80 时速

16 , 图 中

高三数学(理科) 第 2 页(共 9 页)

判断框内?处应填的数为 15. 15. 若不等式 2a ? 1 ≤ x + 则实数 a 的取值范围
2



1 对一切非零实数 x 恒成立, x


开始

a = 1, b = 1

16.点 P 是曲线 y = x ? ln x 上任意一点,则点

P 到直线 y = x ? 2 的距离的最小值是

a≤?





是 输出 b

小题,共 三、解答题:本大题共 6 小题 共 74 分,解答时应写出必要的 解答题: 解答时应写出必要的 证明过程或演算步骤. 证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m = (sin x, ?1) , 向量 n = ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x ) = ( m + n) ? m . (Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期 T ;

b=2

b

文字说明、 文字说明 、

ur

a = a +1

结束
第 14 题图

r

1 2

ur r ur

(Ⅱ) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, A 为锐角, a = 2 3, c = 4 ,且 f ( A) 恰是 f ( x ) 在 [0, 最大值,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 18. ( 18. 本小题满分 12 分)如图, PDCE 为矩形,

π
2

] 上的

ABCD 为梯形,平面 PDCE ⊥ 平面 ABCD ,

P

E

M D A B
18 题图

C

1 ∠BAD = ∠ADC = 90o , AB = AD = CD = a , PD = 2a . 2
(Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE ; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的 余弦值.

19. ( 19. 本小题满分 12 分)某单位实行休年假制度三年以来, 50 名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表 所示:
休假次数

0

1

2

3

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人数

5

10

20

15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ) 从该单位任选两名职工,用η 表示这两人休年假次数之和,记 “函数 f ( x ) = x ? η x ? 1 在区间 (4, 6) 上有且只
2

有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P ; (Ⅱ) 从该单位任选两名职工,用 ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 20. (本小题满分 20. 本小题满分 12 分)已知数列 {bn } 满足 bn +1 = (

1 1 7 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2

(Ⅰ)求证: 数列 {bn ? } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)如果对任意 n ∈ N ,不等式
*

1 2

12k ≥ 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. (12 + n ? 2Tn ) 2 3 x + 2ax 2 + 3 x . 3

( 21. 本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ? (Ⅰ)当 a =

1 ,求函数 f ( x ) 在 [ ?2, 2] 上的最大值、最小值; 4 1 (Ⅱ)令 g ( x ) = ln( x + 1) + 3 ? f ′( x ) ,若 g ( x ) 在 (? , +∞ ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 2 2 2 22. 本小题满分 14 分)已知圆 C1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 C2 (1, 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动, 22. (
QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P .
(Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ) 设 M , N 是曲线 W 上的两个不同点,且点 M 在第一象限,点 N 在第三象限,若

uuuu r uuur uuuu r OM + 2ON = 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 k ;
(Ⅲ)过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定点 D ,使以 AB 为直径的圆 ... 恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

1 3

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2011. 2011.03 11

理科) 高中数学 (理科)参考答案及评分标准
小题. 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. 选择题: ACBBD DBABA AD 填空题 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

高三数学(理科) 第 4 页(共 9 页)

13. 13.

38

14. 14. 3

15. 15. [?

1 3 , ] 2 2

16.

2

小题, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 17. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = ( m + n) ? m = sin x + 1 + 3 sin x cos x +
2

ur r ur

1 …………2 分 2

=

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 +1+ sin 2 x + = sin 2 x ? cos 2 x + 2 2 2 2 2 2

= sin(2 x ? ) + 2 …………5 分 6 2π 因为 ω = 2 ,所以 T = = π …………6 分 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: f ( A) = sin(2 A ?

π

π

π π π 5π x ∈ [0, ] 时, ? ≤ 2 x ? ≤ 2 6 6 6
由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

6

)+2

π

π
6

=

π
2
2

,A=
2

π
3

6

=

π
2

时 f ( x ) 取得最大值 3

…………8 分
2 2

由余弦定理, a = b + c ? 2bc cos A ∴ 12 = b + 16 ? 2 × 4b × 从而 S =

1 ∴ b = 2 ………10 分 2

1 1 bc sin A = × 2 × 4sin 60o = 2 3 …………12 分 2 2

18. ( 18. 本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN , ?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中 点 ∴ MN // AC …………2 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE …………4 分 (Ⅱ) 设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 θ ,以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA, DC , DP 所在直 线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系, 则 P (0, 0, 2a ), B ( a, a, 0), C (0, 2a, 0)

z

uuu r uuu r PB = (a, a, ? 2a ), BC = (? a, a, 0) …………6 分 ur 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 , ur 则可设 n1 = (0,1, 0) …………7 分 uu r 设面 PBC 的法向量 n2 = ( x, y,1) ,应有

P

E

M D A

N C

y

uu r ?n2 ? r ? uu ?n2 ?

uuu r PB = ( x, y,1) (a, a, ? 2a ) = 0 uuu r BC = ( x, y,1) (? a, a, 0) = 0

x

B

高三数学(理科) 第 5 页(共 9 页)

? ?x = ? ? ?ax + ay ? 2a = 0 即: ? ,解得: ? ?? ax + ay = 0 ? ?y = ? ?

2 uu 2 ,所以 nr = ( 2 , 2 ,1) …………10 分 2 2 2 2 2

ur uu r 2 n1 ? n2 1 r ∴ cos θ = uur uu = 2 = …………11 分 | n1 || n2 | 1× 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值为 19. 本小题满分 12 分) ( 解 :(Ⅰ ) 函数 f ( x ) = x ? η x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只 有一个零点,则必有 ?
2

1 …………12 分 2

? f (4) < 0 即: ? f (6) > 0

?16 ? 4η ? 1 < 0 15 35 ,解得: <η < ? 4 6 ?36 ? 6η ? 1 > 0
所以,η = 4 或η = 5 …………3 分 当 η = 4 时, P = 1
2 1 1 C20 + C10C15 C 1 C 1 12 68 = ,当η = 5 时, P2 = 20 2 15 = …………5 分 2 C50 245 C50 49

η = 4 与η = 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式
所以 P = P + P2 = 1

68 12 128 + = …………6 分 245 49 245

(Ⅱ) 从该单位任选两名职工,用 ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ξ 的可能取值分别是

0,1, 2,3 ,…………7 分
于 是

P (ξ = 0 ) =

2 2 2 C52 + C10 + C20 + C15 2 = 2 C50 7



P (ξ = 1) =

1 1 1 1 1 1 C5C10 + C10C20 + C15C20 22 = 2 C50 49



P (ξ = 2) =

1 1 1 1 C5C20 + C10C15 10 C 1C 1 3 , P (ξ = 3) = 5 2 15 = …………10 分 = 2 C50 49 C50 49

从而 ξ 的分布列:

ξ
P
2 7

0

1

2

3

22 49

10 49

3 49
…………12 分

ξ 的数学期望: Eξ = 0 × + 1×
20. (本小题满分 20. 本小题满分 12 分) (

2 7

22 10 3 51 + 2 × + 3× = . 49 49 49 49

高三数学(理科) 第 6 页(共 9 页)

解: (Ⅰ) 对任意 n ∈ N ,都有 bn +1 =
*

1 1 1 1 1 bn + ,所以 bn +1 ? = (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 = 3 ,公比为 …………2 分 2 2

则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? 所以 bn ?

1 2

1 1 1 1 = 3 × ( )n ?1 , bn = 3 × ( ) n ?1 + …………4 分 2 2 2 2 1 2
n ?1

(Ⅱ) 因为 bn = 3 × ( )

+

1 2

1 3(1 ? n ) n 1 1 1 2 + n = 6(1 ? 1 ) + n …………6 分 所以 Tn = 3(1 + + 2 + ... + n ?1 ) + = 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 2n ? 7 * ≥ 2n ? 7 ,化简得 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立…………7 分 因为不等式 n (12 + n ? 2Tn ) 2
设 cn =

2n ? 7 2(n + 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn +1 ? cn = ? = n +1 …………8 分 n 2 2n +1 2n 2

当 n ≥ 5 , cn +1 ≤ cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ≤ n < 5 , cn +1 > cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 = c4 < c5 = ,所以, n = 5 时, cn 取得最大值 …………11 分 16 32 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立, k ≥ …………12 分 n 2 32
( 21. 本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) a =

1 2 3 1 2 时, f ( x ) = ? x + x + 3 x , f ′( x ) = ?2 x 2 + x + 3 = ?(2 x ? 3)( x + 1) 4 3 2 3 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ?1 或 x = …………2 分 2 3 3 3 (?2, ?1) (?1, ) ( , 2) x ?1 2 2 2 f ′( x)

?

0 ? 11 6

+

0 27 8

?

f ( x)

可以看出在 x = ?1 取得极小值,在 x = 而 f ( ?2) =

3 取得极大值…………5 分 2

4 8 11 3 , f (2) = 由此, 在 [?2, 2] 上, f ( x) 在 x = ?1 处取得最小值 ? ,在 x = 3 3 6 2 27 …………6 分 处取得最小值 8
高三数学(理科) 第 7 页(共 9 页)

(Ⅱ) g ( x ) = ln( x + 1) + 3 ? f ′( x ) = ln( x + 1) ? 3 ? ( ?2 x 2 + 4ax + 3) = ln( x + 1) + 2 x 2 ? 4ax

g ' ( x) =
在 (?

1 4 x 2 + 4(1 ? a ) x + 1 ? 4a + 4 x ? 4a = …………7 分 x +1 x +1

1 , +∞) 上恒有 x + 1 > 0 2
2

考察 h( x ) = 4 x + 4(1 ? a ) x + 1 ? 4a 的对称轴为 x = ? (i)当

a ?1 1 ≥ ? ,即 a ≥ 0 时,应有 ? = 16(1 ? a ) 2 ? 16(1 ? 4a ) ≤ 0 2 2 解得: ?2 < a ≤ 0 ,所以 a = 0 时成立…………9 分 a ?1 1 1 1 (ii)当 < ? ,即 a < 0 时,应有 h(? ) > 0 即: 1 ? 4(1 ? a ) × + 1 ? 4a > 0 2 2 2 2
解得 a < 0 …………11 分 综上:实数 a 的取值范围是 a ≤ 0 …………12 分 22. 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P . 所以 PQ = PC 2

4 ? 4a a ? 1 = 8 2

PC 2 + PC1 = PC1 + PQ = QC1 = 2 2 > C1C 2 = 2
所以动点 P 的轨迹 ω 是以点 C1 ,C 2 为焦点的椭圆……………2 分 设椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1 a2 b2
2 2 2

则 2a = 2 2 ,2c = 2 , b = a ? c = 1 ,则椭圆的标准方程为 (Ⅱ) 设 M ( a1 , b1 ), N ( a2 , b2 ) ,则 a1 + 2b1 = 2, a2 + 2b2 = 2
2 2 2 2

x2 + y 2 = 1 ……4 分 2


因为 OM + 2ON = 2OC1

uuuu r

uuur

uuuu r


则 a1 + 2a2 = ?2, b1 + 2b2 = 0 由①②解得 a1 =

1 14 5 14 , b1 = , a2 = ? , b2 = ? ……………7 分 2 4 4 8

所以直线 MN 的斜率 k = (Ⅲ)直线 l 方程为 y = kx ?

b2 ? b1 3 14 = ……………8 分 a2 ? a1 14 1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3

高三数学(理科) 第 8 页(共 9 页)

1 ? ? y = kx ? 3 ? ? 2 ? x + y2 = 1 ?2 ?

得 9(1 + 2k 2 ) x 2 ? 12kx ? 16 = 0 …………9 分

由题意知:点 S (0,? ) 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点, 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ). 则 x1 + x2 =

1 3

4k 16 , x1 x2 = ? 2 3(1 + 2k ) 9(1 + 2k 2 )

假设在 y 轴上存在定点 D (0, m) ,满足题设,则 DA = ( x1 , y1 ? m), DB = ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则 DA ? DB = ( x1 , y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) = 0 ,即: x1 x2 + ( y1 ? m)( y2 ? m) = 0 因为 y1 = kx1 ? , y2 = kx2 ?

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

(*)

1 1 3 3 2 则(*)变为 x1 x2 + ( y1 ? m)( y2 ? m) = x1 x2 + y1 y2 ? m( y1 + y2 ) + m …………11 分

1 1 1 1 = x1x2 + (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? + kx2 ? ) + m2 3 3 3 3
1 2 1 = (k 2 + 1) x1 x2 ? k ( + m)( x1 + x2 ) + m2 + m + 3 3 9

=?

16(k 2 + 1) 1 4k 2 1 ? k ( + m) + m2 + m + 2 2 9(2k + 1) 3 3(2k + 1) 3 9

18(m2 ? 1)k 2 + (9m2 + 6m ? 15) = 9(2k 2 + 1)
由假设得对于任意的 k ∈ R , DA ? DB = 0 恒成立,

uuu uuu r r

?m 2 ? 1 = 0 ? 即? 2 解得 m = 1 ……13 分 ?9m + 6m ? 15 = 0 ?
因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………14 分

高三数学(理科) 第 9 页(共 9 页)


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