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数学:3.1.2《用二分法求方程的近似解(一)》课件(新人教A版必修1) (2)


3.1.2 用二分法 求方程的近似解

一元二次方程可以用公式求根, 一元二次方程可以用公式求根 但没有 的根. 公式可用来求方程 ln x + 2 x ? 6 = 0 的根 联系函数的零点与相应方程根的关系, 联系函数的零点与相应方程根的关系 能否 利用函数的有关知识来求它的根呢? 利用函数的有关知识来求它的根呢 我们已经知道, 我们已经知道,函数 f ( x ) = ln x + 2 x ? 6 在 (2,3)内有零点。那么进一步的 如何找出 , )内有零点。那么进一步的,如何找出 函数的零点呢? 函数的零点呢

创设情境

游戏规则: 游戏规则:
给出一件商品,请你猜出它的准确价格。 给出一件商品,请你猜出它的准确价格。每猜一 次价格后,我们给出 高了” 给出“ 低了”的提示。 次价格后,我们给出“高了”或“低了”的提示。 某款商品价格在 价格在200~ 1000元之间,允许误差范围 元之间, 某款商品价格在 元之间 不超过20元 不超过 元。
思考:该以什么样的规律猜测才能提高猜测的效率? 思考:该以什么样的规律猜测才能提高猜测的效率?

方案1:随机猜测 方案 : 方案2:每次增加50元猜测。如250、300、350。。。 、 、 。。。 方案 :每次增加 元猜测。 元猜测 方案3:每次取价格范围的中间价格进行猜测 方案 :

这能提供确定 函数零点的思路吗

商品的价格 价格范围 取中间价格 逐步缩小价 格范围,逼 近真实价格 高了,低了的提示 误差不超过 20元

函数f(x)=lnx+2x-6的零点 零点所在大致区间 取区间中点 逐步缩小区 间长度,逼 近零点 零点的存在性定理 精确度 ε

对于函数 f (x) = ln x + 2x ? 6

区 间 (2, 3)
(2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5, 2.625)

端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(2.625)>0 f(2.5)<0, f( 2.5625)>0

中点 的值
2.5 2.75 2.625 2.5625

中点函数 值的符号
f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)>0

(2.5, 2.5625)

2.53125 f(2.53125)<0

区 间

端点的符号

中点 的值

中点函数 值的符号

(2.53125, 2.5625)

f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 (2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875) f(2.546875)>0

2.546875

f(2.546875)>0

2.5390625 f(2.5390625)>0

(2.53125, f(2.53125)<0, 2.5351565 f(2.53515625)>0 2.5390625) f(2.5390625)>0
由于|2.53906252.53125|=0.0078125<0.01, 当精确度为0.01时,由于 精确度为 时 由于 , 所以我们可以将x=2.53125作为函数 f ( x) = ln x + 2x ? 6 的零点 所以我们可以将 作为函数 近似值,也即方程 ln x + 2x ? 6 = 0 的根的近似值。 近似值, 根的近似值。

y

二分法定义
a 0 b x



y = f (x) ,通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区

对于在区间[a, b]上连续不断且f (a) ? f (b) < 0 的函

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.

二分法的一般步骤:

近似解的步骤如下: 近似解的步骤如下
⑵求区间 ( a , b ) 的中点 ⑶计算 f (c) ; ①若 f ( c ) = 0 , 则

2. 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f (x) 零点 用二分法求函数

⑴确定区间 [ a , b ] , 验证 f (a)? f (b) <0 , 给定精确度 ε ;

c



c 就是函数的零点 就是函数的零点;

②若 f ( a ) ? f (c ) < 0 ,则令 b= c (此时零点 x 0 ∈ ( a , c ) ); 则令 此时零点 ③若 f (c ) ? f (b ) < 0 , 则令 a = c (此时零点 x 0 ∈ (c , b )); 此时零点 ⑷ 判断是否达到精确度 ε ,即若 a ? b < ε , 则得到零点近似值 判断是否达到精确度 即若 为 a (或 b ); 否则重复⑵~⑷ . 或 否则重复⑵ ⑷

例1: 下列函数的图象中能用二分法求其零点的是 (B ) y y y y o
(A)

x

o
(B)

x

o
(C)

x

o
(D)

x

利用二分法求函数零点的条件是什么? 请思考:利用二分法求函数零点的条件是什么? 利用二分法求函数零点的条件是什么 注:函数存在零点,并且可以找出包含 该零 函数存在零点, 点的一个区间。该函数在区间上连续不断, 点的一个区间。该函数在区间上连续不断,且 在端点处取值异号! 在端点处取值异号!

例2: 用二分法求方程 2 x + 3x = 7的近似解(精确度 : 0.1). x f ( x) = 2 x + 3x ? 7 , 用计算机作 解:原方程即 2 + 3x ? 7 = 0 , 令 原方程即 x 出函数 f ( x) = 2 + 3x ? 7 的对应值表
x
0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 8

f(x)

142 273

f (1) 观察上表可知, ? f (2) < 0 说明这个函数在区间 说明这个函数在区间 区间(1,2)内有零 观察上表可知, 内有零 点x0. 取区间( , ) 取区间(1,2)的中点 x1 = 1.5 ,用计算器算得 f (1.5) ≈ 0.33 用计算器算得 因为 f (1) ? f (1.5) < 0 ,所以 x0 ∈ (1,1.5) .

再取( , ) 再取(1,1.5)的中点 x 2 = 1.25 ,用计算器算得 所以 因为 f (1 .25 ) ≈ ? 0 .87 .因为 f (1.25) ? f (1.5) < 0 ,所以 x0 ∈ (1.25,1.5) .

x 同理可得, 同理可得, 0 ∈ (1.375,1.5) , x0 ∈ (1.375,1.4375) .
由于 练习 1.设f(x)=3x+3x-8用二分法求方程3x+3x-8 =0在区间[1,2]内近似解 +3x- 用二分法求方程3 +3x- =0在区间[1,2]内近似解 在区间[1,2] 1.设 的过程中得到(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0则方程的根落在区间( B ) 的过程中得到(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0则方程的根落在区间( (1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0则方程的根落在区间 A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 2、某函数有零点在区间(a,b)之内,且|b-a|=2若用二分法求此 某函数有零点在区间(a,b)之内, |b-a|=2若用二分法求此 (a,b)之内 根的近似值,要求精确度为0. 1,则至多将要等分的次数为 根的近似值,要求精确度为0. 1, (A ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
1.375 ? 1.4375 = 0.0625 < 0.1

所以,原方程的近似解可取为 所以,原方程的近似解可取为1.4375.

基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 二分法求方程近似解的口诀 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.


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