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高中数学易做易错题:平面向量部分教师版


高考冲刺 2014

高中数学易做易错题精选:平面向量部分
一、选择题:
1.在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为 A 20 B ( )

? 20

C

20 3

D

? 20 3

错误分析:错误认为 BC ,CA ? C ? 60 ? ,从而出错. 答案: B

略解: 由题意可知 BC ,CA ? 120 ? , 故 BC ? CA = BC ? CA ? cos BC , CA ? 5 ? 8 ? ? ?

? 1? ? ? ?20 . ? 2?

2.关于非零向量 a 和 b ,有下列四个命题: (1)“ a ? b ? a ? b ”的充要条件是“ a 和 b 的方向相同”; (2)“ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 的方向相反”; (3)“ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 有相等的模”; (4)“ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 的方向相同”; 其中真命题的个数是 ( A 1 B 2 C 3 ) D 4

?

?

? ? ? ?

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?

?

?

错误分析:对不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b 的认识不清. 答案: B.

?

?

?

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?

?

3.已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3),是 P 线段 AB 上且 AP =t AB (0≤t≤1)则 OA ? OP 的最大值为 ( A.3 正确答案:C 最大。 4. 若向量 B.6 ) C.9 D.12

错因:学生不能借助数形结合直观得到当?OP?cos?最大时, OA ? OP 即为

a =(cos?,sin?) , b = ?cos ? , sin ? ? , a 与 b 不共线, a 与 b 一定满足 则 (
B. a ∥ b



A. a 与 b 的夹角等于?-?

高考冲刺 2014

C.( a + b )?( a - b ) 正确答案:C 题。 5.已知向量 a =(2cos?,2sin?),??( A. ? -?
2 3

D. a ⊥ b

错因:学生不能把 a 、 b 的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问

?
2

, ? ), b =(0,-1),则 a 与 b 的夹角为(

)

B.

? +? 2

C.?-

? 2

D.?

正确答案:A 错因:学生忽略考虑 a 与 b 夹角的取值范围在[0,?]。 6 . O 为 平 面 上 的 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若 )

( OB - OC )?( OB + OC -2 OA )=0,则?ABC 是( A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形

B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

正确答案:B 错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2 OA 不能拆成( OA + OA )。 7.已知向量 M={ a ? a =(1,2)+?(3,4) ??R}, N={ a ? a =(-2,2)+ ?(4,5) ??R },则 M?N= ( ) A {(1,2)} B

?(1,2), (?2,?2)?
????

C

?(?2,?2)?

D

?

正确答案:C

错因:学生看不懂题意,对题意理解错误。

8.已知 k ? Z , AB ? (k ,1), AC ? (2, 4) ,若 ( C ) A.

??? ?

AB ? 10 ,则△ABC 是直角三角形的概率是

???? ?

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7
??? ? ????

分析:由

AB ? 10 及 k ? Z 知 k ? ??3, ?2, ?1,0,1,2,3? ,若 AB ? (k ,1)与 AC ? (2, 4) 垂
??? ? ??? ???? ? ??? ?

???? ?

直,则 2k ? 3 ? 0 ? k ? ?2 ;若 BC ? AB ? AC ? (k ? 2, ?3) 与 AB ? ( k ,1) 垂直,则

3 k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? ?1或3 ,所以△ABC 是直角三角形的概率是 . 7
9. a0 为单位向量, 若 a 为平面内的某个向量, a=|a|? 0;(2)若 a 与 a0 平行, a=|a|? 0; 设 (1) 则 a 则 a (3)若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0。上述命题中,假命题个数是( A.0 正确答案:D。 B.1 C.2 D.3 )

高考冲刺 2014

错误原因:向量的概念较多,且容易混淆,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 10.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a?b= 正确答案:。±15。 错误原因:容易忽视平行向量的概念。a、b 的夹角为 0°、180°。 11. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 。

OP ? OA ? ? (
(A)外心

AB | AB |

?

AC | AC |

), ? ? [0,??) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
(D)垂心

)

(B)内心

(C)重心

正确答案:B。 错误原因:对 OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

), ? ? [0,??) 理解不够。不清楚

AB | AB |

?

AC | AC |

与∠BAC 的角平分线有关。

? ? ? ? ? ? 12.如果 a ? b ? a ? c, 且a ? 0 ,那么
B. b ? ? c

( )

A



? ? b?c

?

?

C.

? ? b?c

D. b, c 在 a 方向上的投影相等

? ?

?

正确答案:D。 错误原因:对向量数量积的性质理解不够。
?

13.向量 AB =(3,4)按向量 a=(1,2)平移后为 A、(4,6) 正确答案: C 错因:向量平移不改变。 B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8)

( )

14.已知向量 OB ? (2, 0), OC ? (2, 2),CA ? ( 2 cosa , 2 sina ) 则向量 OA, OB 的夹角范围是 ( ) A、[π /12,5π /12] 正确答案:A 错因:不注意数形结合在解题中的应用。
? ?

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ?

B、[0,π /4]

C、[π /4,5π /12] D、 [5π /12,π /2]

15.将函数 y=2x 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x+6 的图象,给出以下四个命题:① a 的坐标
? ? ?

可以是(-3,0) ② a 的坐标可以是(-3,0)和(0,6) ③ a 的坐标可以是(0,6) ④ a 的坐标可

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以 (

有 ) A、1































B、2

C、3

D、4

正确答案:D 错因:不注意数形结合或不懂得问题的实质。 16.过△ABC 的重心作一直线分别交 AB,AC 于 D,E,若 AD ? x AB, AE ? y AC ,( xy ? 0 ), 则

1 1 ? 的值为( ) x y
4 B 3 C 2 D 1

A

正确答案:A 错因:不注意运用特殊情况快速得到答案。 17. 设平面向量 a =(-2, b =(λ , 1), -1), a 与 b 的夹角为钝角, 若 则λ 的取值范围是 ( )

1 A、 (? ,2) ? (2,??) 2 1 C、 (? ,??) 2
答案:A

B、 (2,??)

1 D、 (??,? ) 2

点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况。 18.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列 a 与 b 共线的充要条件的有( ① 存在一个实数λ ,使 a =λ b 或 b =λ a ; ② | a ? b |=| a | | b |; ③ )

x1 y ? 1 ; ④ ( a + b )//( a - b ) x2 y 2
B、2 个 C、3 个 D、4 个

A、1 个 答案:C

点评:①②④正确,易错选 D。 19. 以原点 O 及点 A 5, 为顶点作等腰直角三角形 OAB, ?A ? 90 , AB 的坐标为 ( 2) 使 则 (
?

) 。

A、(2,-5) C、(-2,5) 正解:B

B、(-2,5)或(2,-5) D、(7,-3)或(3,7)

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设 AB ? ( x, y ) ,则由 | OA |?| AB |? 而又由 OA ? AB 得 5 x ? 2 y ? 0 ②

52 ? 22 ?

x2 ? y2



由①②联立得 x ? 2, y ? ?5或x ? ?2, y ? 5 。

? AB ? (2,?5)或 (-2, 5)
误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。 20.设向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 A、充要 C、充分不必要 正解:C 若

x1 y ? 1 是 a // b 的( x2 y 2

)条件。

B、必要不充分 D、既不充分也不必要

x1 y ? 1 则 x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0,? a // b ,若 a // b ,有可能 x 2 或 y 2 为 0,故选 C。 x2 y 2 x1 y ? 1 ,此式是否成立,未考虑,选 A。 x2 y 2
=

误解: a // b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ?

OA 21. ? OAB 中, ? (2 cos? ,2 sin ? ), OB ? (5 cos ? ,5 sin ? ) , OA ? OB ? ?5 =-5, S ?B 在 若 则 O A
( A、 3 ) B、 正解:D。 ∵ OA ? OB ? ?5 ∴ | OA | ? | OB | ? cosV ? ?5 (LV 为 OA 与 OB 的夹角)

3 2

C、 5 3

D、

5 3 2

?2 cos? ?2 ? (2 sin ? ) 2 ?
∴ cosV ?

(5 cos ? ) 2 ? ?5 sin ? ? ? cosV ? ?5
2

3 1 5 3 1 ∴ sin V ? ∴ S ?OAB ? | OA | ? | OB | ? sin V ? 2 2 2 2

误解:C。将面积公式记错,误记为 S ?OAB ?| OA | ? | OB | ? sin V 22.(丁中)在 ?ABC 中, AB ? a , BC ? b ,有 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 的形状是 (D) A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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错解:C 错因:忽视 a ? b ? 0 中 a 与 b 的夹角是 ?ABC 的补角 正解:D

b (? 23.设平面向量 a ? (?2,1), ? (? ,?1), ? R) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是
(A) A、 ? , ? 2, ?) ( 2)( ? 错解:C 错因:忽视使用 a ? b ? 0 时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A

1 2

B、(2,+ ?)

C、(— , ?) D、(- ?, ) ? ?

1 2

1 2

2 24.已知 A(3,7),B(5,2),向量 AB 按 a ? (1, ) 平移后所得向量是
A、(2,-5), 答案:A 错解:B 错因:将向量平移当作点平移。 25.已知 ?ABC中 AB? BC ? 0, 则?ABC 中, A、锐角三角形 答案:C 错解:A 或 D 错因:对向量夹角定义理解不清 B、直角三角形
? ?

?

?



B、(3,-3),

C、(1,-7)

D、以上都不是

。 C、钝角三角形 D、不能确定

26.正三角形 ABC 的边长为 1,设 AB ? a, BC ? b, AC ? c ,那么 a ? b ? b ? c ? c ? a 的值是 ( A、 2 3 正确答案:(B) 错误原因:不认真审题,且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。 27 . 已 知 a ? c ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 0 , 且 a和b不 垂 直 则 a ? b与 a ? b ? c , ( ) A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反 ) B、 1 2 C、 ? 3 2 D、 ? 1 2

? ?

高考冲刺 2014

正确答案:(D) 错误原因:受已知条件的影响,不去认真思考 a ? b 可正可负,易选成 B。 28. 已知 a ? x ? b ? x ? c ? 0 是关于 x 的一元二次方程, 其中 a, b, c 是非零向量, 且向量 a和b 不
2

共线,则该方程 A、至少有一根 C、有两个不等的根 正确答案:(B) 错误原因:找不到解题思路。 B、至多有一根





D、有无数个互不相同的根

29.设 a, b, c 是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:

? ? ③ ?b ? c ?? a ? ?c ? a ?? b不与c垂直
① ( a ? b) ? c ? c ? a ? b ? 0 其中正确命题的个数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个

② a ? b ? a?b ④若 a ? b, 则a ? b与c 不平行 ( D、4 个 )

正确答案:(B) 错误原因:本题所述问题不能全部搞清。 二、填空题: 1. 若向量 a = ?x, 2 x ? ,b = ?? 3x, 2? , a ,b 的夹角为钝角, x 的取值范围是______________. 且 则 错误分析:只由 a , b 的夹角为钝角得到 a ? b ? 0, 而忽视了 a ? b ? 0 不是 a , b 夹角为钝角的充
? 要条件,因为 a , b 的夹角为 180 时也有 a ? b ? 0, 从而扩大 x 的范围,导致错误. 2 正确解法:? a , b 的夹角为钝角, ? a ? b ? x ? ?? 3x ? ? 2 x ? 2 ? ?3x ? 4 x ? 0

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

解得 x ? 0 或 x ?

又由 a , b 共线且反向可得 x ? ?

? ?

4 3 1 3
1? 3?

(1) (2)

由(1),(2)得 x 的范围是 ? ? ?, ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,?? ? ?

? ?

? 1 ? ? 3 ?

?4 ?3

? ?

答案: ? ? ?, ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,?? ? . ?

? ?

1? 3?

? 1 ? ? 3 ?

?4 ?3

? ?

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2.有两个向量 e1 ? (1, 0) , e2 ? (0,1) ,今有动点 P ,从 P0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e1 ? e2 相同的方向 作匀速直线运动,速度为 | e1 ? e2 | ;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ?1) 开始沿着与向量 3e1 ? 2e2 相同的方向作 匀速直线运动, 速度为 | 3e1 ? 2e2 | . P 、Q 在时刻 t ? 0 秒时分别在 P0 、Q0 处, 设 则当 PQ ? P0Q0 时,t ? 秒.正确答案:2 1、设平面向量 a ? ( ?2,1), b ? (? ,?1), 若 a 与 b 的夹角是钝角,则 ? 的范围是
? ?

??

?? ?

?? ?? ? ?? ?

?? ?? ? ?? ?

??

??

??? ?

????? ?

?

?



1 ,2) ? (2,??) 2 1 错解: (? ,??) 2
答案: (? 错因:“ a ? b ? 0 ”与“ a 和 b 的夹角为钝角”不是充要条件。
? ? ? ?

2 5 3. a, b 是任意向量, 给出: 1 a ? b , ○ a ? b , 3 a 与 b 方向相反, 4 a ? 0 或 b ? 0 , ○ a, b ○ ○ ○

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

都是单位向量,其中
1 3 4 答案:○○○ 1 3 错解:○○
?

是 a 与 b 共线的充分不必要条件。

?

?

错因:忽略 0 方向的任意性,从而漏选。 4.若 a ? ?2,3?, b ? ?? 4,7 ?, a ? c ? 0, 则c在b方向 上的投影为 正确答案: ?
65 5



错误原因:投影的概念不清楚。

5 . 已 知 o 为 坐 标 原 点 , om ? ?? 1,1?, nm ? ?? 5,5?, 集 合 A ? or | rn ? 2 , op, oq ? A , 且

?

?

mp ? ? mq ?? ? R, 且? ? 0?,则 mp ? mq ?
正确答案:46 错误原因:看不懂题意,未曾想到数形结合的思想。 三、解答题: 1.已知向量 a ? ? cos x, sin (1) a ? b 及 a ? b ;



?

? ?

3 2

3 ? ? ? x x? ? ?? x ?, b ? ? cos ,? sin ? ,且 x ? ?0, ?, 求 2 ? 2 2? ? ? 2?

? ?

?

?

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(2)若 f ? x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ?

? ?

?

?

错误分析:(1)求出 a ? b = 2 ? 2 cos2 x 后,而不知进一步化为 2 cos x ,人为增加难度; (2)化为关于 cos x 的二次函数在 ?0,1? 的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (2) (1)易求 a ? b ? cos 2 x ,

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

? ?

? ? a ? b = 2 cos x ;

? ? ? ? f ? x ? ? a ? b ? 2? a ? b = cos2x ? 2? ? 2 cos x = 2 cos2 x ? 4? cos x ? 1
= 2?cos x ? ? ? ? 2? ? 1
2 2

? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

? cos x ? ?0,1?

从而:当 ? ? 0 时, f ?x ?min ? ?1 与题意矛盾, ? ? 0 不合题意; 当 0 ? ? ? 1 时, f ?x ?min ? ?2? ? 1 ? ? ,? ? ?
2

3 2

1 ; 2

当 ? ? 1 时, f ?x ?min ? 1 ? 4? ? ? , 解得 ? ?

3 2

5 ,不满足 ? ? 1 ; 8

综合可得: 实数 ? 的值为

1 . 2

2.在 ?ABC 中,已知 AB ? ?2,3?, AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若 ?BAC ? 90?, 即 AB ? AC , 故 AB ? AC ? 0 ,从而 2 ? 3k ? 0, 解得 k ? ? (2) 若

2 ; 3
, 也 就 是

?BCA ? 90?,



BC ? AC

BC ? AC ? 0 , 而

BC ? AC ? AB ? ?? 1, k ? 3?, 故 ? 1 ? k ?k ? 3? ? 0 ,解得 k ?

3 ? 13 ; 2

(3) 若 ?ABC ? 90?, 即 BC ? AB , 也 就 是 BC ? AB ? 0, 而 BC ? ?? 1, k ? 3? , 故

? 2 ? 3?k ? 3? ? 0 ,解得 k ?

11 . 3
3 ? 13 2 11 或k ? 或k ? . 2 3 3

综合上面讨论可知, k ? ?

? ? ? ? 3 3.已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m ? n =-1, 4

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(1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为
?
?

?

?

?

? ? 2 c ,向量 p =(cosA,2cos ),其中 A、C 为?ABC 的内角, 2 2

且 A、B、C 依次成等差数列,试求? n + p ?的取值范围。 解:(1)设 n =(x,y)
? ? x? y 2 ? 3 ?? 则由< m , n >= ? 得:cos< m , n >= m n = ? ? 2 4 2 ? x2 ? y2 m? n ? ?

?

?

?



由 m ? n =-1 得 x+y=-1 ② 联立①②两式得 ?
?

?

?

?x ? 0 ? ? y ? ?1 ?

或?

? x ? ?1 ? ?y ? 0 ?

∴ n =(0,-1)或(-1,0) (2) ∵< n , q >= 得 n ? q =0 若 n =(1,0)则 n ? q =-1?0 故 n ?(-1,0) ∴ n =(0,-1) ∵2B=A+C,A+B+C=? ?B=
? ? ?
? ?
?

?

?

? 2

?

?

? 3

∴C=

2? ?A 3
2

n + p =(cosA,2cos

?

c ?1) 2

=(cosA,cosC) ∴? n + p ?= cos2 A ? cos2 C =
cos 2 A ? cos( 4? ? 2 A) 3 ?1
?
?

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C cos 2 A ? cos 2C = ? ?1 2 2 2

=

2

cos 2 A ?

=

cos 2 A 3 ? sin 2 A 2 2 ?1 2

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=

1 3 cos 2 A ? sin 2 A 2 2 ?1 2

cos(2 A ? ) 3 ?1 = 2

?

∵0<A<

2? 3 4? 3

∴0<2A<

?
3

? 2A ?

?
3

?

5? 3

∴-1<cos(2A+ ∴? n + p ??(
?
?

1 ? )< 2 3

2 5 ) , 2 2

? ? ? ? 1 4. 已知函数 f(x)=m?x-1?(m?R 且 m?0)设向量 a ? (1, cos 2? ), ? ( 2,1) , ? (4 sin ? ,1) , ? ( sin ? ,1) , b c d 2

当??(0,

? ? ? ? ? )时,比较 f( a ? b )与 f( c ? d )的大小。 4 ? ? ?
2

解: a ? b =2+cos2?, c ? d =2sin ?+1=2-cos2? f( a ? b )=m?1+cos2??=2mcos ?
2

?

?

?

f( c ? d )=m?1-cos2??=2msin ?
2

?

?

于是有 f( a ? b )-f( c ? d )=2m(cos ?-sin ?)=2mcos2?
2 2

?

?

?

?

∵??(0,

? ) 4

∴2??(0,

? ) 2
?

∴cos2?>0
? ? ?

∴当 m>0 时,2mcos2?>0,即 f( a ? b )>f( c ? d ) 当 m<0 时,2mcos2?<0,即 f( a ? b )<f( c ? d ) 5.已知?A、?B、?C 为?ABC 的内角,且 f(A、B)=sin 2A+cos 2B- 3 sin2A-cos2B+2 (1)当 f(A、B)取最小值时,求?C (2)当 A+B=
? ? ? 时,将函数 f(A、B)按向量 p 平移后得到函数 f(A)=2cos2A 求 p 2
2 2 2

?

?

?

?

解:(1) f(A、B)=(sin 2A- 3 sin2A+ =(sin2A当 sin2A=

3 1 2 )+(cos 2B-cos2B+ )+1 4 4

3 2 1 2 ) +(sin2B- ) +1 2 2

3 1 ,sin2B= 时取得最小值, 2 2

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∴A=30?或 60?,2B=60?或 120? (2) f(A、B)=sin 2A+cos 2(
2 2

C=180?-B-A=120?或 90?
? A )- 3 sin 2 A ? cos 2( ? A) ? 2 2

?
2

?

= sin 2 2 A ? cos2 2 A ? 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2

? 3 = 2 cos(2 A ? ) ? 3 ? 2 cos(2 A ? )?3
3 3
?

p =(

?
3

? 2k? ,3)

6.已知向量 a ? (mx 2 ,?1), b ? (

1 , x) (m 为常数),且 a , b 不共线,若向量 a , b 的夹角 mx ? 1

落< a , b >为锐角,求实数 x 的取值范围. 解:要满足< a , b >为锐角 只须 a ? b >0 且 a ? ? b ( ? ? R )

a ? b =

mx 2 ?x mx ?1 mx 2 ? mx 2 ? x = mx ? 1 x = ?0 mx ? 1

即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0 时 x<0 或 x ? 2°m<0 时 x ( -mx+1) <0

1 m

x?

1 或x ? 0 m
只要 x<0

3°m=0 时

综上所述:x > 0 时, x ? (??,0) ? ( x = 0 时, x ? (??,0) x < 0 时, x ? (??,

1 ,??) m

1 ) ? (0,??) m

7.已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),a 与 b 之间有关系|ka+b|= 3 |a-kb|,其 中 k>0, (1)用 k 表示 a?b;

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(2)求 a?b 的最小值,并求此时 a?b 的夹角的大小。 解 (1)要求用 k 表示 a?b,而已知|ka+b|= 3 |a-kb|,故采用两边平方,得 |ka+b| =( 3 |a-kb|)
2 2 2 2 2 2

k a +b +2ka?b=3(a +k b -2ka?b) ∴8k?a?b=(3-k )a +(3k -1)b
2 2 2 2

2 2

(3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 a?b = 8k
∵a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), ∴a =1, b =1, ∴a?b =
2 2

3 ? k 2 ? 3k 2 ? 1 k 2 ? 1 = 4k 8k

k 2 ? 1 2k 1 (2)∵k +1≥2k,即 ≥ = 4k 4k 2
2

∴a?b 的最小值为

1 , 2

又∵a?b =| a|?|b |?cos ? ,|a|=|b|=1 ∴

1 =1?1?cos ? 。 2
错误原因:向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同,有时可以在含有向量的式子左右 两边平方,且有|a+b| =|(a+b) |=a +b +2a?b 或|a| +|b| +2a?b。 8.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值;
2 2 2 2 2 2

∴ ? =60°,此时 a 与 b 的夹角为 60°。

?

?

? ?

2 5 . 5

2 2 ? ? sin b sin 解(Ⅰ)? a ? ? cos ?, ? ?, ? ? cos ?, ? ? ,
? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, ? ? sin ? ? . sin

(Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

,?

?

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 的值. 13

? ? 2 5 ? a ?b ? , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

高考冲刺 2014



2 ? 2cos ?? ? ? ? ?

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

? ? ? 0,? 0 ? ? ? ? ? ? . 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? ,? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? ,? cos ? ? . 13 13 2 ,?

?

?

4 . 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

?sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? ?

? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

4 12 3 ? 5 ? 33 . ? ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65


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