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吉林省实验中学2011届高三第二次模拟考试数学试题(文)


吉林省实验中学 2011 届高三第二次模拟考试 数 学 试 题(文)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中 ,只 有一个符合题目要求。 ) 1.设全集 U ? R, A ? {x | x( x ? 3) ? 0}, B ? {x | x ? ?1}, 则下图中 阴影部分表示的集合为 A. {x | ?3 ? x ?

?1} C. ?x | x ? 0? 2.已知角 ? 是第二象限角,且 sin ? ? A. ( )

B. {x | ?3 ? x ? 0} D. {x | x ? ?1}

4 5

B. ?

12 13

5 ,则 cos? ? 13 12 C. 13

( D. ?



4 5

3.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初 级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法, 从中抽取容量为 40 的样本.则从 上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8, 16, 10, 6 4.已知两条不同直线 l1 和 l 2 及平面 ? ,则直线 l1 // l 2 的一个充分条件是 A. l1 // ? 且 l 2 // ? C. l1 // ? 且 l 2 ? ?
?





B. l1 ? ? 且 l 2 ? ? D. l1 // ? 且 l2 ? ? ( )

5.若向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a= ( 2,0) , |b|=1, 则 a·b =

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D. 3

[来源:Zxxk.Com]

6.若 f ( x) ? ?

?? x ? 3a, x ? 0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则 (a ? 0, 且 a ? 1) ,在定义域 R 上满足 x x1 ? x2 ?a , x ? 0
( 1 B.[ ,1) 3 1 C. (0, ] 3 2 D. (0, ] 3 ( ) )

a 的取值范围是
A. (0,1)

7.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

2

2 1

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

A.2

B.

3 3

C.

2 3


D.

4 3

8.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是( A.

1 2
3 4
a b

B.

2 3
4 5
n

C.

D.

9.设 a ? 0, b ? 0. 若 35 是 3 与 3 的等比中项, 则

1 1 ? 的最小值为 a b 8 A. 3

( B.

) D.

4 5
2 2

C. 4

1 4


10.过点 (3,1) 作直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 9 相交于 M、N 两点,则 MN 的最小值为( A. 2 5 B.2 C.4 D.6

2 11.若函数 f (x) 的导函数 f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间是(



A. (??,2)

B. (??,1)

C. (1,3)

D. (0,2)

12.已知函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的定义域及值域均为 [?a, a](常数a ? 0) ,其图象如图所 示,则方程 f [ g ( x)] ? 0 根的个数为 ( )

A.2 B.3 C .5 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
2

D.6

13. 若命题 “存在实数 x, x ? ax ? 1 ? 0 ” 使 的否定是假命题, 则实数 a 的取值范围为



14.设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 f (x ) 的最小正周期为 3,且 f (1) ? 1 ,

f (2) ?

2m ? 3 , 则m 的取值范围是 m ?1



15.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是

y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) =
2



y2 16.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 b
于 A, B 两点,且 | AF2 |, | AB |, | BF2 | 成等差数列,则 | AB | 的长为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 2010 年夏舟曲发生特大泥石流,为灾后重建,对某项工程进行竞标,现共有 6 家企 业参与竞标,其中 A 企业来自辽宁省,B、C 两家企业来自福建省,D、E、F 三家企业 来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同。 (Ⅰ)列举所有企业的中标情况; (Ⅱ)在中标的企业中,至少有一家来自福建省的概率是多少?

18. (本小题满分 12 分) 2010 年 11 月在广州召开亚运会,某小商品公司开发一种亚运会纪念品,每件产品 的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件,通过改进工艺,产品的成本不变, 质量和技术含金提高,市场分析的结果表明:如果产品的销售价提高的百分率为

x(0 ? x ? 1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 x 2 ,记改进工艺后,该公司销售纪念
品的月平均利润是 y(元) 。 (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使该公司销售该纪念品的月平均利润最大。

19. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱锥 P-ABC 中, PA⊥底面 ABC, AB⊥BC, 垂直平分 PC, DE 且分别交 AC、 PC 于 D、E 两点,又 PB=BC,PA=A B. (Ⅰ)求证:PC⊥平面 BDE; (Ⅱ)若点 Q 是线段 PA 上任一点,求证:BD⊥DQ; (Ⅲ)求线段 PA 上点 Q 的位置,使得 PC//平面 BDQ.
[来源:学科网]

P

Q D

E

A

C B

20. (本小题满分 12 分) 设 函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 上的奇函数。 (1)若 f (1) ? 0, 试求不等式f ( x2 ? 2x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集; (2) f (1) ? 若

3 , 且g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x)在[1, ??) 上的最小值为—2, m 的值。 求 2

[来源:Z.xx.k.Com]

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 ( a

? 0 )的单调递减区间是 ?1,2? ,且满足

( f ?0? ? 1 . ( Ⅰ )求 f ? x ? 的 解 析 式 ; Ⅱ ) 对任 意 m? ? 0,2? , 关 于 x 的 不 等 式

f ( x) ?

1 3 7 m ? m ln m ? mt ? 在 x ? ?? ?,1? 上恒成立,求实数 t 的取值范围. 2 2

注意;考生在第 22、23、24 三道题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分,选修 4—1 几何证明选讲) 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 是⊙O 上的点,OC 垂直于直径 AB,过 F 点作⊙O 的切线交 A B 的延长线于 D.连结 CF 交 AB 于 E 点. (1)求证: DE ? DB ? DA ;
2

(2)若⊙O 的半径为 2 3 ,O B= 3 OE,求 EF 的长.

C

A

E O F

B

D

23. (本小题满分 10 分,选修 4—4 坐标系与参数方程选讲) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 , 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

(1)求曲线 C 的直角坐标方程. (2)若 P( x, y )是曲线 C 上的一动点,求 x ? 2 y 的最大值。

24. (本小题满分 10 分 4—5 不等式选讲) 已知对于任意非零实数 m ,不等式 | 2m ? 1 | ? | 1 ? m |?| m | (| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |) 恒 成立,求实数 x 的取值范围。

参考答案
一、ABDBB BCCBC DD 二、13. a ? ?2 ,或 a ? 2 ; 14. ? 1 ? m ?

2 4 ; 15.2 ; 16. 3 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)从这 6 家企业中选出 2 家的选法有(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A, , , , , F)(B,C),(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F )(D,E)(D, , , , , , , , , F)(E,F) , ,共有 15 种 ??6 分 (Ⅱ)在中标的企业中,至少有一家来自福建省选法有(A,B)(A,C)(B,C)(B, , , , D ),( B , E ),( B , F ),( C , D ),( C , E ),( C , F ), 共 9 种. ????????? 9 分 则“在中标的企业中,至少有一家来自福建省”的概率为 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1 ? x) 元,月平均销售量为 a(1 ? x 2 ) 件, 则月平均利润 y ? a(1 ? x2 ) ? [20(1 ? x) ? 15] (元) ,

9 3 ? ?????12 分 15 5

? y与x 的函数关系式为 y ? 5a(1 ? 4x ? x2 ? 4x3 )(0 ? x ? 1) ???? 5 分
(2)由 y ? ? 5a (4 ? 2 x ? 12 x ) ? 0得x1 ?
2

1 2 , x2 ? ? (舍) ,????6 分 2 3
????9 分

1 1 ?当0 ? x ? 时, y ? ? 0;当 ? x ? 1时, y ? ? 0. 2 2

?函数 y ? 5a(1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x3 )(0 ? x ? 1)在x ?
故改进工艺后,纪念品的销售价为 20(1 ?

1 处取得最大值。 ????11 分 2
P

1 ) ? 30 元时, 2

该公司销售该纪念品的月平均利润最大。 ??????12 分 19. (本小题满分 12 分) Q (Ⅰ)证明:由等腰三角形 PBC,得 BE⊥PC 又 DE 垂直平分 PC,∴DE⊥PC A ∴PC⊥平面 BDE,???? 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,有 PC⊥BD 因为 PA⊥底面 ABC ,所以 PA⊥BD

E D C B

BD⊥平面 PAC,所以点 Q 是线段 PA 上任一点都有 B D⊥DQ ?????????? 8 分 (Ⅲ)解:不妨令 PA=AB=1,有 PB=BC= 2

计算得 AD= 即 AQ=

1 3 1 ? AC 所以点 Q 在线段 PA 的 处, 3 3 3
????????? 12 分

1 AP 时,PC//QD,从而 PC//平面 BDQ . 3

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f ( x) 是定义域为 R 上的奇函数,

? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1
? f (1) ? 0,? a ?

故 f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0, 且 a ? 1)

1 ? 0, 又a ? 0且a ? 1,? a ? 1. a

ln a 1 ? (a x ? x ) ln a x a a ? a ? 1,? ln a ? 0, f ?( x) ? a x ln a ?
而a ?
x

1 ? 0,? f ?( x) ? 0 ax

故 f ( x ) 在 R 上单调递增 原不等式化为: f ( x2 ? 2 x) ? f (4 ? x)

? x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x2 ? 3x ? 4 ? 0

? x ? 1或x ? ?4,?不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?4} ????6 分
(2)? f (1) ?

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

3 1 3 ,? a ? ? 2 a 2

即 2a ? 3a ? 2 ? 0,? a ? 2或a ? ?
2

1 (舍去) 2

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 2m(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2. ??8 分
令 t ? f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

,由(1)可知 f ( x) ? 2 ? 2 为增函数
x

?x

? x ? 1,? t ? f (1) ?

3 ,? g (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 ????9 分 2

3 时,当 t ? m 时, g (t )min ? 2 ? m2 ? ?2,? m ? 2 2 3 3 17 ? 3m ? ?2 , 当 m ? 时,当 t ? 时, g (t ) min ? 2 4 2 25 3 ? ,舍去?????11 分 解得 m ? 12 2 综上可知 m ? 2. ????12 分
当m ? 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知得, f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,

? 函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 的单调递减区间是 ?1,2? ,
? f ? ? x ? ? 0 的解是 1 ? x ? 2

? f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 的两个根分别是 1 和 2,且 a ? 0
从 f ? 0? ? a2 ? 1 且 a ? 0 可得 a ? 1 又?

? f ? ?1? ? 3 ? 2b ? c ? 0 9 ? 9 2 ? 3 得 ?b ? ? 2 ? f ? x ? ? x ? x ? 6 x ? 1 ????5 分 ? 2 ? f ? ? 2 ? ? 12 ? 4b ? c ? 0 ? ?
?c ? 6

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ? ? x ? ? 3x ? 9x ? 6 ? 3? x ?1?? x ? 2?

? x ? ?? ?,1?时, f ? ? x ? ? 0 , f (x) 在 ?? ?,1? 上是增函数
对 x ? ?? ?,1? ,当 x ? 1 时, f ( x ) max ? f (1) ? 要使 f ( x) ?

[来源:学科网 ZXXK]

7 2

1 3 7 m ? m ln m ? mt ? 在 x ? ?? ?,1? 上恒成立, 2 2 1 3 7 即 m ? m ln m ? mt ? ? f ( x) max 2 2 1 3 7 7 m ? m ln m ? mt ? ? , 2 2 2 1 3 即 mt ? m ? m ln m 对任意 m?? 0,2? 恒成立, 2 1 2 即 t ? m ? ln m 对任意 m?? 0,2? 恒成立, 2

设 h ?m? ?

1 2 m ? ln m, m ? ? 0, 2? , 2

则 t ? h ? m?min

1 m2 ? 1 ? m ? 1?? m ? 1? h? ? m ? ? m ? ? ? ,令 h? ? m? ? 0, 得m ? 1或m ? ?1 m m m
在 m ? ? 0,2? , h? ? m?的符号与h ? m?的单调情况如下表: m

? 0,1?
?

1 0 极小值

?1, 2?
+

2

h? ? m? h ? m?

?

?
1 2 ?t ? 1 2
?????12 分

? m ? 1 时, h ? m ? min ? h ? m ?极小值 ?

22. (本小题满分 10 分,选修 4—1 几何证明选讲) 解: (1)连结 OF.∵DF 切⊙O 于 F,∴∠OFD=90° .∴∠OFC+∠CFD=90° . ∵OC=OF,∴∠OCF=∠OF C.∵CO⊥AB 于 O,∴∠OCF+∠CEO=90° . 2 ∴∠CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE.∵DF 是⊙O 的切线,∴DF =DB· D A. ∴DE2=DB· D A.----------------------------------5 分 (2) OE ? 1 OB ? 2 ,CO= 2 3 ,
3

CE ? CO 2 ? OE 2 ? 4 .

∵CE· AE· EF= EB= ( 2 3 +2) 2 3 -2)=8, ( ∴EF=2. ????????10 分 23. (本小题满分 10 分,选修 4—4 坐标系与参数方程选讲) 解: (1)

x2 y2 ? ?1 4 3

??5 分; (x+2y)max=4 (2)

?????10 分

24. (本小题满分 10 分 4—5 不等式选讲) 解: x ? ?3, 或 x ? ?1 ?????10 分


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