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高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)


一.正弦、余弦、正切函数图象和性质
函 数 有 界 性 定 义 域 有界 正弦函数 y ? sin x, x ? R 余弦函数 y ? cos x, x ? R 正切函数 y ? tan x, x ? k? ?

?
2

有界

无界

(??,??)

(?

?,??)

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

[?1,1]

[?1,1]

当x? 值 域 当

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时,y max ? 1

当 x ? 2k? (k ? Z ) 时, y max ? 1 当
x ? ? ? 2k? (k ? Z )

(??,??)

x??

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时 ,





y min ? ?1

y min ? ?1

周 期 性 奇 偶 性

是周期函数,最小正周期 T ? 2? 奇函数,图象关于原点对称

是周期函数,最小正周期 T ? 2? 偶函数,图象关于 y 轴对称

T ??
奇函数,图象关于原点对称

在 [? 单 调 性

?

2 2 上是单调增函数


? 2k? ,

?

? 2k? ], (k ? Z )

在 [? ? 2k? ,2? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 是单调增函数 在 [2k? , ? ? 2k? ], (k ? Z ) 上 是 单 调减函数

在 (?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), ( k ? Z )

上是单调增函数

3? ? 2k? ], (k ? Z ) 2 2 上是单调减函数 [ ? 2k? , x ? k? ?

?

对 称 轴 对 称 中 心

?
2

, (k ? Z )

x ? k? , (k ? Z )

(k? ,0) (k ? Z )

(k? ?

?
2

,0) (k ? Z )

(

k? , 0) ( k ? Z ) 2

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

(一) 三角函数的性质

1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性 (2) (ⅰ)g(x)= g(x)为偶函数

奇函数:y=sinx,y=tanx;

偶函数:y=cosx.

型三角函数的奇偶性 (x∈R)

由此得 同理, (ⅱ) 为偶函数 . 3、周期性 (1)基本公式 (ⅰ)基本三角函数的周期 的周期为 (ⅱ) . 型三角函数的周期

; 为奇函数 .



为奇函数

y=sinx,y=cosx 的周期为



y=tanx,y=cotx

的周期为



的周期为 (2)认知 (ⅰ) 型函数的周期

.

的周期为



的周期为 (ⅱ) 的周期 的周期为

.



的周期为 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 y= 数的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为

. 的解析式施加绝对值后,该函

型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.

(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究 (ⅰ)y=tanx-cotx 的最小正周期为 ;

(ⅱ)

的最小正周期为



(ⅲ)y=sin4x+cos4x 的最小正周期为

.

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性 (1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的 一个周期; ②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数 的增区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. (2)y= 型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解:令 u= ,将所给函数分解为内、外两层:y=f(u),u= ;

②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f(u)的单调性,而后利用(1)中公 式写出关于 u 的不等式; ③还原、结论:将 u= 形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

代入②中 u 的不等式,解出 x 的取值范围,并用集合或区间

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

(A、 ? >0) R

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

奇函数

? ? ? 0 , 当 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 (k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k ?Z )

y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地, 注意:①


若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增). ② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
y ? sin( ?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ③
y ? tan x 2
2?
O

y

x

?

.

的周期为 2 ? ( T ? ?

?

? T ? 2?

,如图,翻折无效).
?

o c ?x ? ? ) 的对称轴方程 y ? sin( ?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? ( k ? Z ) ④ ,对称中心( k? ,0 ) ; y ?(s

2

是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) ; y ?n a ( t
2

?x ? ? ) 的对称中心(

k? ,0 ). 2

y ? cos2x ?原点对称 ?? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x

⑤ 当 tan? ·tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) .
2 2

?

?

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则
? 2 ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦ 函数 y ? tan x 在 R 上为增函数( . ×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,y ? tan x 为增函数,同样也是错误的]. ⑧ 定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域 关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ?
f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) )

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? 1 ? ) 是非奇非偶.(定义域不
3

关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)


⑨ ; y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x y ? cos x 是周期函数(如图)
1 y ? cos 2 x ? 2

y

x

为周期函数( T ? ? ) ;
y=cos|x|图象

的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如:


y

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .
1/2

b ⑩ 有 a 2 ?b 2 ? y . y ? a cos? ? b sin ? ? a ?b sin( ? ? ? ) ? cos? ? a
2 2

x

y=|cos2x+1/2|图象

二、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: 1 1、几个物理量:A―振幅; f ? ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; T 2、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确 ? | ? |? ) 的图象如图所示, 定, 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , 则 f ( x) Y 2 2 15 ? 3 2? =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 9 2 3
X

(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

-2 23题 图

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ? 频率是 f ?

2?

?

,最小正周期 T ?

2? |? |

? ? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? (k ? Z ) ,凡 2? 2

是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

4、研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ? 的 符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如 ? 5 ? (1)函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的递减区间是______(答: [ k? ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; 3 12 12 3 3? x ? ]( k ? Z ) ) (2) y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______(答: [ 6k? ? ? , 6k? ? ; 4 4 3 4 2 5 、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法: ( 1 )利用“五点法”作函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R ( 其中
A ? 0, ? ? 0 )的简图,是将 ?x ? ? 看着一个整体,先令 ?x ? ? ? 0,

?
2

,? ,

3? ,2? 列表求出对应的 x 的值 2

与 y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。②图象变换法:这是作函数 简图常用方法===由 y ? sin x 图象推 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象 6.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:图象变换
(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换
y ?s i n x, x ? R y ?s i n x, x ? R y ?s i n x, x ? R
有点的纵坐标 伸 ?1) 长 或缩短 ? A ?1)到 原 来 A 的 倍 ?所 ? ????(A ? ? ?(0 ? ? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
1 所有点的横坐标 (? 缩 ?1) 短 或伸长 (0?? ?1)到 原 来 的 倍

y ? As i n x, x ? R

y ?s i n ?x, x ? R y?s i ( nx ? ? ), x ? R

(? ?0)或向右 (? ?0)平移|? |个 单 位 长 度 ?所有点向左 ??? ???????? ??

(4)上下平移(纵向平移变换): 是由 k 的变化引起的.k>0, 上移;k<0,下移

具体变换方法:三角函数图象的平移和伸缩 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与函数

y ? sin x 的图象之间可以通过变化

A,?,?,k

, ? 影响图象的形状,?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 来相互转化. A

A 引起的变换称振幅变换,由 ? 引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由 ? 引起的变换称

相位变换,由 k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平 移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. (一)先平移后伸缩

? 得 y ? sin( x ? ? ) y ? sin x 的图象 ??????? 平移 ? 个单位长度
y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1 得 y ? sin(? x ? ? ) 到原来的 (纵坐标不变)
?
横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

向左(? >0)或向右(? ?0)

?得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )
y ? A sin(? x ? ? ) 的图象
(二)先伸缩后平移

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

y ? A sin(? x ? ? )

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 图象 平移 k 个单位长度

? 得 y ? A sin x y ? sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1)

? 得 y ? A sin(? x) y ? A sin x 的图象 ????????? 1
到原来的 (纵坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

?

? y ? A sin x(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x) 的图象 ??????? 得 平移 个单位
?

向左(? ? 0)或向右(? ? 0)

y ? A sin x(? x ? ? )

的图象

向上 ( k ? 0或向下 ) k? ( 0 ??????? ? 平移 k 个单位长度

) 得

y ? A sin(? x ? ? ) ? k

图象无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变 化,而不是“角变化”多少。特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左 或向右平移应平移 |

? ? | 个单位,例如:函数 y ? 2sin(2x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 ? 4 ? ? y ? sin x 的图象?(答: y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向
4 4

? 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵 8 1 坐标缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ; 2 三、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: ? (1)定义域: {x | x ? ? k? , k ? Z } 。 (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; 2 (3) 周期性: 是周期函数且周期是 ? , 它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。 绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其 周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变, ? 其 它 不 定 。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的 周 期 都 是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的 周 期 为 ,而 2 ? 1 ? y ?| 2 s i n x (? 3 ? ) y ?| , | 2? x s i n? (3 ,y? ) | tan 2x | | 的周期不变; 6 2 6 ? k? ? (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切型函数的 ? 2 ? 对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是 ? ? ? ? 与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都 2 ? 2 ? 是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。三角函数图象几何性质 三角函数图象几何性质 y= ωx +x φ yA ?tan( A tan( ? ?)? ) y ?sin( A sin( ? ? yy =A ωx +x φ )? )
左平移
y O x

O

x

x3

x4
邻中心轴相距

x3

x4 x =x 1 x =x 2

x= Tx1
4

x =x 2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!


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