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上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)


2012 学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 命题: 审卷: 打印: (完卷时间:90 分钟 满分:100 分) 一填空题 二选择题 三解答题 题号 1~12 13~16 17 18 19 20 21 应得分 实得分 一、填空题 1 若 sin ? ? cos ? ? 1,则 cos ? ? sin ? ? _______________. 2. 设 x1 , x2 是方程

1. x ? x sin
2

2013.6

总分 100 分

36 分

16 分

8分

8分

10 分

10 分

12 分

3 3 ? ? cos ? ? 0 的两解, 则 arctan x1 ? arctan x2 ? ________. 5 5
.

3. sin 20 ? sin 40 ? sin 80 ?
0 0 0

4. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值等 于 . x 5. 解方程 x+log2(2 -31)=5 __________________。 6. 若 tanθ=-2,则 7. 函数 y=arcos(
cos 2? ? sin 2? =______________ 1 ? cos2 ?

1 -x2)的值域是_______________. 2

8. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 9. 已知函数 f ( x) ?

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_____ 4 4 x
1 ,则 a ? _____________. 2
有解的 k 的取值范围是___。
r s t

a2 ? b2 = c2

.

10. 设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? 11. 已知 a>0 且 a? 1, 试求使方程

12. 设 r , s , t 为整数,集合 {a | a ? 2 ? 2 ? 2 ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列

{an } : 7,11,13,14,? ,则 a36 ?
二、选择题 13. 设 f(x)=x2-?x, ?=arcsin



1 5 1 5 , ?=arctan , ?=arcos(- ), ?=arccot(- ),则( 3 4 3 4



A.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) B.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) 14. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|<

1 的最小整数 n 是( 125
B.6

) C.7 D.8

A.5

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 1 页

15. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则

16. ?ABC 中,边 a, b, c 成等比数列,则 sin A cot C ? cos A 的取值范围是(
sin B cot C ? cos B

b cos c 的值等于( ) a 1 1 A. ? B. 2 2

C. ?1

D. 1 )

A. (0, ??) C. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2
B. (0,

三、解答题 17. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?

?
2

,求 f ( x) 的取值范 围.

18. 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1,a3;

n(an ? a1 ) . 2

(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 2 页

19. 已知 f ( x) ? sin x ? a sin x ?
2

a2 ? b ?1 . a

(1)若 b ? ?2 ,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (2)设 a ? 2 ,若存在 x ? R ,使 f ( x) ? 0 成立,求 a ? b ? 8a 的最小值;当取得最小值
2 2

时,求 a , b 的值.

20. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; ( 2 )在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足

3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;
(3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log
2

,问是否存在正实数 m , m) ( n ? N * )

使得数列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 3 页

21. 已知函数 y ? f ( x),

x ? D, y ? A ; g ( x) ? x 2 ? (4 7 tan? ) x ? 1,

(1)当 f ( x) ? sin( x ? ? ) 为偶函数时,求 ? 的值。 (2)当 f ( x) ? sin( 2 x ? 值范围。 ( 3 ) 当 f ( x) ? a1 s i n ?( x ? ?1 ) ? a2 s i n ?( x ? ? 2 ) ? ? ? an s i n ?( x ? ? n ) 时 ,( 其 中 ,若 f ai ? R, i ? 1,2,3,?, n , ? ? 0 )
2

?
6

) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 时, g ( x) 在 A 上是单调递增函数,求 ? 的取

?0? ?

? ? ? f 2? ? ? 0 ,且函数 f ( x) 的图像关于点 ? 2? ?

?? ? ? ,0 ? 对称,在 x ? ? 处取得最小值,试探讨 ? 应该满足的条件。 ?2 ?

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 4 页

2012 学年度第二学期高一年级数学期末考试答案 二、填空题 1. 若 sin ? ? cos ? ? 1,则 cos ? ? sin ? ? _______________. 0 2. 设 x1 , x2 是方程 x ? x sin
2

2013.6

3 3 ? ? ? cos ? ? 0 的两解,则 arctan x1 ? arctan x2 ? ___ __. 5 5 5 3 0 0 0 3. sin 20 ? sin 40 ? sin 80 ? . 8
4. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值等 于 18 . 5. 解方程 x+log2(2x-31)=5 ____ x=5______。 1 cos 2? ? sin 2? 6. 若 tanθ=-2,则 =_____ ___ 2 6 1 ? cos ? 7. 函数 y=arcos(

1 ? -x2)的值域是____[ ,??_____. 2 3

8. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 9. 已知函数 f ( x) ?

a2 ? b2 = c2

3 .

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 4 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_ __ 4 4 5 x
1 ,则 a ? 2

10. 设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? 11. 已知 a>0 且 a? 1,试求使方程 (-∞,-1)∪(0,1)。

?2 ? 3



有解的 k 的取值范围是

12. 设 r , s , t 为整数,集合 {a | a ? 2 ? 2 ? 2 ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列
r s t

{an } : 7,11,13,14,? ,则 a36 ?
二、选择题 13. 设 f(x)=x2-?x, ?=arcsin

131



1 5 1 5 , ?=arctan , ?=arcos(- ), ?=arccot(- ),则( B ) 3 4 3 4

A.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) B.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) 14. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|<

1 的最小整数 n 是( C ) 125
B.6 C.7 D.8

A.5

15. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则

b cos c 的值等于( C ) a 1 1 A. ? B. 2 2

C. ?1

D. 1

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 5 页

16. ?ABC 中,边 a, b, c 成等比数列,则 sin A cot C ? cos A 的取值范围是( C
sin B cot C ? cos B



A. (0, ??) C. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2
B. (0,

三、解答题 17. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?

?
2

,求 f ( x) 的取值范 围.

解:(1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 当 2x ?

?
6

) f ( x) 的最小正周期等于 ? .

?
6

? 2k? ?

?
2

, x ? k? ?

?
?
6

(k ? z ) 时, f ( x) 取得最大值 2.
? 7? 1 ? , ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

? 2x ?

6

f ( x) 的值域为 [? 1, 2]

18. 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1,a3;

n(an ? a1 ) . 2

(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; 解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0. 2 n(an ? a1 ) na (2)由 Sn ? ,即 Sn ? n , 2 2 )n ?1 ? nan . ②-①,得 (n ? 1a
于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 .

; ① 得

a3=2;

Sn?1 ?


(n ? 1a )n?1 . 2 ③



③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. )n ?1 ? nan . 法二②-①,得 (n ? 1a 于是,



a n ?1 a a a a ? n ,? n ? n ?1 ? ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 1
所以,an=n-1.

?

an ?1 n ?1

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 6 页

19. 已知 f ( x) ? sin x ? a sin x ?
2

a2 ? b ?1 . a

(1)若 b ? ?2 ,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (2)设 a ? 2 ,若存在 x ? R ,使 f ( x) ? 0 成立,求 a ? b ? 8a 的最小值;当取得最小值
2 2

时,求 a , b 的值.
2 解: (1)设 t ? sin x ,则 f ( x ) 转化为 g (t ) ? t ? at ? a ?

3 ,因此,对任意的 x ? R ,都有 a

f ( x) ? 0 ,等价于对任意 t ? [?1,1] ,都有 g (t ) ? 0 . 所以

3 ? 1 ? 2a ? ? 0 ? g ( ? 1) ? 0 ? ? a ?? ? 0 ? a ? 1. ? ? g (1) ? 0 ?1 ? 3 ? 0 ? ? a
b ?1 ) ? 0 , 因此, 存在 x ? R , 使 f (x a a 成立,等价于存在 t ? [?1,1] ,使 g (t) ?0 成立,又 a ? 2 ,所以 g (t ) 的对称轴 t ? ? ? ?1 , 2
2 i n x, (2) 设t ? s 则 f ( x ) 转化为 g (t ) ? t ? at ? a ?

在此条件下,当且仅当 g (?1) ? 0 时,满足题设要求.

b ?1 ? 0 及 a ? 2 ,得 b ? 1 ? a ? ?1 ,于是 a 5 23 23 a 2 ? b 2 ? 8a ? a 2 ? (1 ? a) 2 ? 8a ? 2(a ? ) 2 ? ?? , 2 2 2 5 3 23 当且仅当 a ? , b ? ? 时,原式取得最小值 ? . 2 2 2
由 g (?1) ? 1 ?

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 7 页

20. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; ( 2 )在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足

3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;
(3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log
2

,问是否存在正实数 m , m) ( n ? N * )

使得数列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. (1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时,由 S n ? 2(a n ? 1) , S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 , 即 a n ? 2a n ?1 ,所以 {a n } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以, a n ? 2 n ( n ? N * ) . (2)由题意, a n ?1 ? a n ? (n ? 1)d ,故 d ?

a n ?1 ? a n 2n ,即 d ? , n ?1 n ?1

因为 3 ? d ? 4 ,所以 3 ? 所以 d ?

2n ? 4 ,即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ,解得 n ? 4 , n ?1

16 16 .所以所得等差数列首项为 16 ,公差为 ,共有 6 项. 5 3 6 ? (16 ? 32) 所以这个等差数列所有项的和 T ? ? 144 . 2 所以, n ? 4 , T ? 144 .
(3)由(1)知 f (n) ? 2 , 所以 c n ? n ? f (n ? log
n
2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n .
由题意, c n ?1 ? c n ,即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立,

n 1 对任意 n ? N * 成立. ? 1? n ?1 n ?1 1 1 因为 g (n) ? 1 ? 在 n ? N * 上是单调递增的,所以 g ( n) 的最小值为 g (1) ? . n ?1 2 ? 1 2? ?. 所以 m 2 ? .由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? ? 2 2 ? ?
所以,当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时,数列 {c n } 是单调递减数列. 2 ? ?

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 8 页

21. 已知函数 y ? f ( x),

x ? D, y ? A ; g ( x) ? x 2 ? (4 7 tan? ) x ? 1,

(1)当 f ( x) ? sin( x ? ? ) 为偶函数时,求 ? 的值。 (2)当 f ( x) ? sin( 2 x ? 值范围。 ( 3 ) 当 f ( x) ? a1 s i n ?( x ? ?1 ) ? a2 s i n ?( x ? ? 2 ) ? ? ? an s i n ?( x ? ? n ) 时 ,( 其 中 ,若 f ai ? R, i ? 1,2,3,?, n , ? ? 0 )
2

?
6

) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 时, g ( x) 在 A 上是单调递增函数,求 ? 的取

?0? ?

? ? ? f 2? ? ? 0 ,且函数 f ( x) 的图像关于点 ? 2? ?

?? ? ? ,0 ? 对称,在 x ? ? 处取得最小值,试探讨 ? 应该满足的条件。 ?2 ? 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 为偶函数,所以 sin(x ? ? ) ? sin(? x ? ? ) ,
2 sin x ? cos? ? 0 , cos? ? 0 ,所以 ? ? k? ?
(2) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
2

,k ?Z

?
6

) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) ? 3 sin 2x ? 2 cos2x

? 7 sin(2x ? ?1 ) ? ? 7 , 7 ,其中 sin ?1 ?
g ( x) ? x 2 ? (4 7 tan? ) x ? 1 ? x ? 2 7 tan ?
由题意可知:2 7 tan? ? ? 7 , tan ? ? ?

?

?

2 7
2

, cos?1 ?

3 7

,所以 A ? ? 7 ,

?

7 ,

?

?

?

? 1 ? 28 tan 2 ?

1 ? 1 ,所以 k? ? ? x ? k? ? arctan ,k ? Z 2 2 2

(3) f ( x) ? a1 sin(?x ? ?1 ) ? a2 sin(?x ? ? 2 ) ? ? ? an sin(?x ? ? n )

? a1 (sin ?x cos?1 ? cos?x sin ?1 ) ? a2 (sin ?x cos? 2 ? cos?x sin ? 2 ) ? ?

? an (sin ?x cos? n ? cos?x sin ? n )
? (a1 cos?1 ? a2 cos? 2 ? ? ? an cos? n ) sin ?x ? (a1 sin ?1 ? a2 sin ? 2 ? ? ? an sin ? n ) cos?x
因为 f
2

?0? ?

? ? ? f 2? ? ? 0, ? 2? ?

所以 a1 cos?1 ? a2 cos? 2 ? ? ? an cos? n ? 0 与 a1 sin ?1 ? a2 sin ? 2 ? ? ? an sin ? n ? 0 不能同时成立,不妨设 a1 cos?1 ? a2 cos? 2 ? ? ? an cos? n ? m ,

a1 sin ?1 ? a2 sin ? 2 ? ? ? an sin ? n ? n ,
所以 f ( x) ? m sin ?x ? n cos?x ? 由 f ( x) 的图像关于点 ?

m 2 ? n 2 sin(?x ? ? ? ) ,其中 m 2 ? n 2 ? 0 ;

T ? ?? ? ? 在 x ? ? 处取得最小值,(4n ? 3) ? ? ? ,n ? N , ,0 ? 对称, 4 2 ?2 ?
? 所以, ? ? 4n ? 3 , n ? N ??? ①

(4n ? 3) ?

? ? ? , 2? 2

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 9 页

? ? ?? ? ,0 ? 对 称 知 道 sin( ? ? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? ? k? , k ? Z , 2 2 ?2 ? ? 3? (4n ? 3) ? ? ? ? k? , k ? Z , ? ? ? k? ? ,k ? Z , 又因为 f ( x) 在 x ? ? 处取得最小值, 2 2 3? 3? ? 2k1? ? , k1 ? Z , 所以 sin(?? ? ?? ) ? ?1 , ?? ? k? ? 2 2
由 f ( x) 的 图 像 关 于 点 ? 所以 ? ? k , k ? N ? ??? ② 由①②可知, ? ? 4n ? 3 , n ? N ? 。

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 10 页


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