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数学:2.5《等比数列的前N项和》课件(新人教版A必修5)(1)


2.5等比数列的前n项和
(第一课时)

授课人:张瑞平 2013/9/17

1.记住等比数列的前n项和公式,能 够利用公式求等比数列的前n项和. 2.会用错位相减法求数列的和.

复习回顾
上节课我们学习了等比数列的有关知识,现在请同 学们首先回顾一下等比数列的有关内容:
等 比 数



定义式 (递推公 式) 通项公式

an ?q a n ?1

(n≥2,q≠0)

a 2 a3 a 4 a ? ? ? … = n ? q (n≥2,q≠0) 即: a n ?1 a1 a 2 a3

an= a1qn-1 (a1≠0且q≠0)

情境导入 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有 这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问 他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张棋盘的 第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内 给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里 放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍, 直到第64个格子填满为止.把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧.”国王觉得这 并不是很难办到的事,就欣然同意了他的要求.你 认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王有能 力满足发明者的要求吗?

即求: 1

1 + 22 + 23+ …+ 263 +2

=?

问题探究:求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和

S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 262 ? 2 63.
两边同乘公比2, 得

2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 263 ? 264.


将上面两式列在一起,进行比较

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,
2 3 63

2S64 ?
② - ①,得
64

2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264.
S64 ? 2 ? 1
64
19



说明: ? 1 超过了1 .84 ?10 ,假定千粒麦子的质量为 2 40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王是不 可能同意发明者的要求。

类比探究

求等比数列的前n项和公式

提出问题:已知等比数列{an},公比为q,

求 Sn=a1+a2+…+an Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1


从第二项起,每一项为 前一项的q倍

我们注意观察相邻两项的结构,有何特点?
如果将等式①两边同乘q,则得到一个新的等式

qSn=

a1q+a1q2+a1q3 + … +a1qn



Sn=a1+a2+…+ an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ……①

qSn=
① - ②得

a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……②
Sn-qSn=a1-a1qn

a1 ? a1q n a1 ?1 ? q n ? 公式一:⑴当q≠1时 Sn= 1 ? q ? 1 ? q Sn=na1 ⑵当q=1时
? a1 (1 ? q n ) ? 即: S n ? ? 1 ? q ?na ? 1 ( q ? 1) ( q ? 1)

(1-q)Sn=a1-a1qn

公式二:当q≠1时

a1 ? a1q Sn ? 1? q

n

a1 ? a1q q ? 1? q
a1 ? an q ? 1? q

n ?1

an= a1qn-1

等比数列的前n项和公式为:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) 或 S n ? ? 1 ? q (2) ?na (q ? 1) ? 1

以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”

以下问题你能回答吗? 等比数列的前n项和公式可不只有上面 这种方法啊!它的推导方法还有好多种,有 是 公式中的qn的n是项数n吗? 兴趣的同学可别忘了下去研究啊!

等比数列求和公式之初体验
例1.求数列1,-3,3 , ?3 ,...的前n项和
2 3

分析:先观察规律求出通项再对应求和
解:an ? 1? (?3)
n ?1

? (?3)

n ?1

其中a1 ? 1, q ? ?3的等比数列

1 ? ( ?3) n 1 ( ?3) n Sn ? ? ? 1 ? ( ?3) 4 4

例2、求下列等比数列的 前8项的和 1 1 1 ( ) , , ,? 1 2 4 8 1 (2)a1 27,a9= = ,q ? 0 243 1 1 1 1 n=8,得 解: (1)由 a1 ? , q ? ? ? , 4 2 2 2

8 8 ? ? ? 1 1 ?1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? S8 ? ? 1 1 1? 2 2 8 255 ?1? ? 1? ? ? ? 256 ?2?

1 1 ?2?由a1 ? 27, a9 ? , 可得 =27 ? q 8 243 243 1 又由q ? 0, 可得q ? ? 3

? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 1640 于是当n ? 8时,S8 ? 81 ?? 1? 1? ? ? ? 3?
8

练习


根据下列条件,只需列出等比数列 ?an ? 的 前n项和

sn
3 1 ? 26 Sn ? 1? 2

a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;

?

?

1 1 ?2.7 ? ? (? ) 90 3 1 1 ; Sn ? 1 ⑵ a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? 1? 3 90 3
⑶等比数列 1,2,4, ? 从第5项到第10项的和为

S?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q (q ? 1) (q ? 1) ? ? Sn ? ? 1 ? q 或S n ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ?na (q ? 1) ? 1 ? 1

通过上面例题与习题的求解,可以看出,在公式 中涉及到了五个量,我们只要知道其中的三个量,利 用等比数列的通项公式,及等比数列的前n项和公式 就可以求出另外两个量。即“知三求二”。

四、小结: 1、两个公式:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) 或 S n ? ? 1 ? q (2) ?na (q ? 1) ? 1

2、方法:
错位相减法

3、两种思想:
分类讨论的思想(q=1和q≠1)
方程思想(知三求二)

五、 作业:P61

1、4、5、


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