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高二数学期末测试题(理)


高二数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定是( ) A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 D.所有不能被 5

整除的整数都不是奇数 1 1 2.若 ? ? 0 ,则下列结论不正确 的是 ... a b
A. a 2 ? b 2 B. ab ? b
2

C.

b a ? ?2 a b

D. | a | ? | b |?| a ? b |

3.在等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 45 , a2 ? a5 ? a8 ? 29 ,则 a3 ? a6 ? a9 等于 A. 13 B. 18 C. 20 D.22 4.在△ABC 中,已知 a ? 4 , b ? 6 , C ? 120? ,则 sin A 的值是 A.
57 19

B.

21 7

C.

3 38

D. ?

57 19

5.抛物线 y ? x2 的焦点坐标是 A. ?1,0 ?
?1 ? B. ? , 0 ? ?4 ? ? 1? C. ? 0, ? ? 8? ? 1? D. ? 0, ? ? 4?

6.已知 O 为坐标原点, A ( 1 , 2 , ?1 ) ,点 C 与点 A 关于平面 xOy 对称,点 B 与 点 A 关于 x 轴对称,则 BC = A. ( ?2 , 0 , 2 ) B. ( 0 , ?4 , 0 ) C. ( 0 , 4 , 0 ) D. ( ?2 , 4 , 2 ) 7.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 D C

A1B1 ? a , A1D1 ? b , A1 A ? c ,则下列向量中与 B1M 相等的向量是
1 1 A. ? a ? b ? c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2 1 1 B. a ? b ? c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
A1

M

A

B

D1 B1

C1

8.某双曲线的离心率为 e ?

5 ,且该双曲线与椭圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 有公共焦点,则 2
1

双曲线的方程是(
x2 A. ? y 2 ? 1 4


y2 B. ? x 2 ? 1 4 y2 ?1 C. x ? 4
2

x2 D. y ? ? 1 4
2

第Ⅱ 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.命题“ ?x ? N , x 2 ? x3 ”的否定是 10.抛物线 y ? 4x 2 的焦点到准线的距离是 11.已知 2 x ? 3 y ? 2 ,则 4 x ? 8 y 的最小值是 。 。 。

12.已知 a ? (? ? 1,0,2?),b ? (6,2? ? 1,2),若a // b, 则?与?的值分别为: _____________、_____________; 13.双曲线 tx2 ? y2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心 率为 。
1 , 则该数列的前 n 项和 Sn ? (n ? 1)(n ? 2)

14、 数列 {a n } 的通项公式为 an ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15. (本题 12 分) 在△ ABC 中,已知三边长分别为 a ? 32cm , b ? 23cm , c ? 37cm ,求△ ABC 的面 积。

16. (本题 12 分)

? 已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) 2
2

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos ? 的值 2

17. (本题 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 , BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

18. (本题 14 分) 围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口, 如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧 墙长度为 x (单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

19. (本题 14 分) 已知曲线 C 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2
3

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

(1)求曲线 C 的方程; (2)设过 ? 0, ?2? 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原 点) ,求直线 l 的方程.

20. (本题 14 分) 等 比 数 列 ?xn ? 各 项 均 为 正 值 , yn ? 2loga xn (a ? 0且a ? 1, n ? N ? ) , 已 知

y4 ? 17, y7 ? 11
(1) 求证:数列 ? yn ? 是等差数列; (2) 数列 ? yn ? 的前多少项的和为最大?最大值是多少? (3) 求数列 ? | yn | ? 的前 n 项和.

4

高二数学(理科)参考答案:
一:选择题 CDAA 二:填空题 DCAA
1 .11.4 8
1 1 、 5 2

2 3 9. ?x ? N ,使 x ? x

10、

12.

13.

5 2

14.

n 2(n ? 2)

三、解答题: 15.解: cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 322 ? 232 ? 372 1 ? ? ??????????4 分 2ab 2 ? 32 ? 23 8
2

则 sin A ? 1 ? cos C ?

3 7 ????????????????????8 分 8

所以 S?ABC ?

1 1 3 7 ab sin C ? ? 32 ? 23 ? ? 138 7cm2 ???12 分 2 2 8

(注:最后没有写单位的扣 2 分) 16.解: (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ???????2 分 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? ??????4 分 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ? ????????????6 分
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? ??????????????????????8 分
?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,
即 cos ? ?
2

1 ??????????10 分 2

又 0 ?? ?

? 2 , ∴ cos ? ? ??????????????????????12 分 2 2
5

17.解法 1: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,???????1 分 则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、 P(0,0,2) 、E(0,

1 ,1) , 2

????3 分

从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2).????4 分 设 AC与PB 的夹角为θ,则:

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , ????6 分 14

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 .????7 分 14
由 NE⊥面 PAC 可得,

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,????8 分 则 NE ? (? x,
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

1 ,1 ? z ) ,????9 分 2

1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

????12 分

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 ,0,1) ,????13 分 6
3 .????14 分 6

从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1,

解法 2: (Ⅰ)设 AC∩BD=O,连 OE,则 OE//PB, ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 在△AOE 中,AO=1,OE=

1 7 PB ? , 2 2

AE ?


1 5 PD ? , 2 2
1?

7 5 ? 4 4 ?3 7. cos EOA ? 14 7 2? ?1 2

即 AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 . 14

(Ⅱ)在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则 ?ADF ? 连 PF,则在 Rt△ADF 中 DF ?

?
6

.

AD 2 3 3 ? , AF ? AD tan ADF ? . cos ADF 3 3

设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE//DF, ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面 PAC,从而 NE⊥面 PAC.
6

∴N 点到 AB 的距离 ?

1 1 3 AP ? 1 ,N 点到 AP 的距离 ? AF ? . 2 2 6

18.解: (Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为 a m,??????????????????2 分 则 y ? 45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360??????????????4 分 由已知 xa=360,得 a=

360 ,????????5 分 x

3602 ? 360( x ? 2) ??????7 分 所以 y=225x+ x
(注:没有写定义域扣 1 分) (Ⅱ)

x ? 0,? 225 x ?

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 ??????????9 分 x

? y ? 225x ?

3602 ? 360 ? 10440.????????????????11 分 x

3602 当且仅当 225x= 时,等号成立.??????????????????13 分 x
即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.????????14 分 19.解: (1) 根据椭圆的定义, 可知动点 M 的轨迹为椭圆, 设椭圆方程:
2 2 其焦距为 2c , 则 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? a ? c ? 1.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

所以动点 M 的轨迹方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 4

?????????5 分

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ?????????6 分

∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . (1) ?????????8 分

7

? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
2

得.

?1 ? 4k ? x
2

2

? 16kx ? 12 ? 0

由 ? ? ? ?16k ? ? 48 1 ? 4k 则 x1 ? x2 ?

?

2

??0

得 k ?

3 2
?????????11 分

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12 16k 2 ? 2k ? ?4?0. 代入①,得 ?1 ? k ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 即 k ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 . 经验证 ? ? 0 。

?????????13 分 ?????????14 分

所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 20(1)

?xn ? 是等比数列,设其公比为 q ,则

an ?1 ? q (定值) an

yn ?1 ? yn ? log a xn ?1 ? log a xn ? log a
所以数列 ? yn ? 是等差数列. (2)由(1)知 ? yn ? 是等差数列,

xn ?1 ? log a q (是定值) xn
4?

y7 ? y4 ? 3d

即 11 ? 17 ? 3d

? d ? ?2
6?

yn ? 17 ? (n ? 4)d ? 25 ? 2n
由 25 ? 2n ? 0得n ?

25 2
所以数列 ? yn ? 的前 12 项和最大;

当 n ? 12 时 yn ? 0; 当 n ? 13 时,yn ? 0

y1 ? 23
9′

12 ?11 (?2) ? 144 2 n(n ? 1) (3) Sn ? 23n ? (?2) ? 24n ? n2 2

?最大值 S12 ? 12 ? 23 ?

设{| yn |}的前n项和为 Tn ,

当 n ? 12 时 yn ? 0 ;

当 n ? 13 时,yn ? 0
11′

当 1 ? n ? 12 时 Tn = Sn ? 24n ? n2 当 n ? 13 时, Tn = a1 ? a2 ?

? a12 ? a13 ?

? an
8

? S12 ? (Sn ? S12 ) ? 2S12 ? Sn ? 2 ?144 ? 24n ? n2
所以 Tn ? ?

13′
14?

?24n ? n2 (1 ? n ? 12) ? 2 ? ?n ? 24n ? 288 (n ? 13)

(n ? N ? )

9


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