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1.4.1正弦函数、余弦函数的图像 (1)


1.4.1正弦、余弦函数的

图象

教学目标: 1.掌握正弦函数、余弦函数图象的画法. 2.通过学习正弦函数、余弦函数图象的画 法培养学生分析问题、解决问题的能力. 教学重点与难点: 五点法画正弦函数的图象.

采取弧度制来度量角,实际上是在角的集合 与实数集R之间建立了一一对应关系

正角

r />零角 负角

正实数
零 负实数

描点法与几何法作正弦函数的图象的原理分析:
x的正弦线,巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x ? 3 查表 y ? sin 3 ? 0.8660 移动到直角坐标系内,从而确定对应的点 (x,sinx).
?

?

y
1

) 描点 ( ? 3 ,0.8660
?
2

y

P
?
3

0

?

-

-

-

2?

3? 2

x

?1 1 x

O

M

几何法: 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线 ? 如: x ? 3 作 ? 3 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)

用描点法作出函数图象的主要步骤: (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
1 2

x
y

0

?
3
3 2

?

6

2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

复习正余弦三角函数线::
三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM

三角函数线 正弦线MP 余弦线OM

余弦函数

y P ?
-1

O

M

x

利用单位圆中正弦线(表示正弦)来解决。

B

y

1

连线:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

y=sinx x?[0,2?]

sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y=sinx x?R

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1 -4? -3? -2? -?

正弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

o
-1

x

如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)?
y

? ( ,1) 2? 1 ( ,1) 2 ? ( ? ,0) ( 2? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) (0,0) ( ? ,0) ? 2 o ? x 3 ? ? 2? ? ? (0,0) ( ? ,0) 2 ( 2 ,1) 2 2 ( 2? ,0) (0,0) ? -1 ( ? ,0) (3? ,-1) ( ,1) ( 2? ,0) 3? 2 (0,0) ? ?3? ( ? ,0)2 ( 3,1) ( 2? ,0) 2 ( ,1) ( ( ,1) ( ? ,0) ,1) ( 2? ,0) 3 ? 2 2 (0,0) ? 2 3 ? ( ,1) (0,0) ( ? ,0) ( 2? ,0) 2 ? ( 2 ,1) ( 3? ,-1) (0,0) 3 ? 2 (? ,1) ( ? ,0) ( ,-1) ( 2? ,0) (0,0) 3? ( ,-1) 2 2 2 ( 2? ,0) ( ? ,0) ( ,-1) ( ,1) (0,0) 五点法— 2 2

五点画图法



x
sinx

0 0

?
2

? 0

3? 2

1

-1

2? 0

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)

x

方法2:用余弦线作余弦函数的图象
y
1P 1
/ p1

o1

y

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

-

M1

-1A

-

-

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

o1

y

(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

Q1

M1

-1A

Q2

o
-1 -

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
1-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

-

-

-

l

正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx

0 0 1
y 2 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1

1 2

-1 0

1+sinx

y=1+sinx,x?[0, 2?]
? 2

? ? 2

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx - cosx
y
1
? ? 2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

o
-1

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

正弦、余弦函数的图象
练习1:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y= cosx,x?[ ? 2 ,
?
3? 2

]的简图:
3? 22 ?

x
cosx sinx

? 0

?
2

?

0 2

?2 0 -1

?

3? ? 2

0 1 1 0 ? y 向左平移 个单位长度 2 2
1

-1 0

0 1

y=sinx,x?[0, 2?]
? ? 2

o -1

? 2

?
3? ] 2 2

3? 2

2?

x

y= cosx,x?[? ? ,

练习2:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
(1) y

x



1. 正弦曲线、余弦曲线的联系和区别



2.五点作图法:与x轴的交点,最高点, ? 3? 0 , , ? , ,2? 最低点,即x取
2 2
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

作业:
必做题:课本第习题1.4第1题 选做题:上网查询单位圆中的三角 函数线与正余弦函数的图像

课堂教学设计说明 这节课的教学设计可概括为: 1.复习相关知识. (1)以前学过的函数; (2)图象变换知识; (3)诱导公式. 2.新课. (1)正弦函数图象(代数描点法、几何描点 法);(2)余弦函数图象(代数描点法、几何 描点法、平移交换法). 3.重点突出“五点法”.


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