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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第22讲 三角函数的性质


1. 了 解 三 角 函 数 的 定 义 域 、 值 域 、 周 期 性 、 奇偶性、对称性等. 2. 理 解 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 在 区 间 [0 , 2 ? ] 上 的 性 质 (如 单 调 性 、 最 大 值 和 最 小 值 以 及 与 x 轴 的 交 点 等 ), 理 解 正 切 函 数 在 ( ? 内的单调性.

? ?

, ) 2 2

1. 基 本 三 角 函 数 的 性 质

 函 数 y ? A s in x ? b 和 y ? A c o s x ? b的 最 大 值 2. 为 A ? b, 最 小 值 为 ? A ? b . 3. 对 称 性

?1 ? y

? s in x的 对 称 中 心 为 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( k ? Z );

对 称 轴 为 x ? k? ?

?
2

( k ? Z ).

?2? y ?3? y

? c o s x的 对 称 中 心 为 ( k ? ?

?
2

, )( k ? Z ); 0

对 称 轴 为 x ? ② _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( k ? Z ). ? ta n x的 对 称 中 心 为 ③ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( k ? Z );

无对称轴.

【要点指南】 ① ( k ? , ); ② k ? ; ③ ( 0 k? 2 ,) 0

π 1.使函数 y=sin( -2x)(x∈[0, π])为增函数的区间是( 6 π A.[0, ] 3 π 5π C.[ , ] 3 6 π 7π B.[ , ] 12 12 5π D.[ ,π] 6

)

【解析】根据复合函数的单调性,同增异减判断. 11π π π 由 x∈[0,π],则- ≤ -2x≤ , 6 6 6 11π π 3π π 又 y=sinx 在[- , ]上的减区间为[- ,- ], 6 6 2 2 3π π π 所以- ≤ -2x≤- , 2 6 2 π 5π 所以 ≤x≤ ,选 C. 3 6

π π 2.函数 y=sin(x+ )cos( -x)的最大值, 最小正周期是( 3 6 A.1,π π C.1, 2 1 B. ,π 2 D.1,2π

)

2π 1-cos?2x+ ? π 3 2 【解析】原式=sin (x+ )= ,其最 3 2 大值为 1,最小正周期为 π.

π 3.下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x= 对称的 3 函数是( ) π B.y=sin(2x- ) 6 x π D.y=2sin( - ) 2 3

x π A.y=2sin( + ) 2 3 π C.y=2sin(2x+ ) 6

2π 【解析】根据 T= ,容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π, 然后可利用求对称轴的表达式 ωx+φ=kπ+ 2 (k∈Z),将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得 答案 B 符合题意.

4.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个 单位, 所得图象对应的函数为奇函数, φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )

π 【解析】 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),f(x)的图象 6 向右平移 φ 个单位所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的 5π 最小值为 ,故选 D. 6

5.给出下列命题: ①函数 y=sin|x|不是周期函数; ②函数 y=tanx 在定义域内为增函数; 1 π ③函数 y=|cos2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π ④函数 y=4sin(2x+ ), x∈R 的一个对称中心为(- , 0). 3 6

其中正确命题的序号为

①④

.

【解析】 本题考查三角函数的图象与性质.①由于函数 y= sin|x|是偶函数,作出 y 轴右侧的图象,再关于 y 轴对称即得 左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数; ②错,正切函数在定义域内不单调,整个图象具有周期性, π 1 但不单调;③错,由周期函数的定义 f(x+ )=|-cos2x+ 2 2 π π |≠f(x),故 不是函数的周期;④由于 f(- )=0,故根据对称 2 6 π 中心的意义可知(- , 0)是函数的一个对称中心, 故只有①④ 6 是正确的.



三角函数的奇偶性与对称性

【例 1】 (1)已知 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x-θ)为偶函数, 求 θ 的值; π (2)求 f(x)=sin(2x+ )的对称轴方程. 3

【解析】(1)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 则有 sin(-x+θ)+ 3cos(-x-θ)=sin(x+θ)+ 3cos(x-θ), 即 sin(x+θ)+sin(x-θ)= 3cos(x+θ)- 3cos(x-θ), 所以 2sinxcosθ=-2 3sinxsinθ. 3 因为该式对一切实数 x 都成立,所以 tanθ=- , 3 π 于是 θ=kπ- (k∈Z). 6

π π (2)由 2x+ =kπ+ (k∈Z), 3 2 kπ π 得 x= + (k∈Z),即为所求对称轴方程. 2 12

【点评】对于奇偶函数的问题,一般都要根据定义列出等式, 从而寻求解题途径,对于本题,列出的是含有 x、θ 的方程, 并不能立即求出 θ,解决这类问题的方法是边化简,边探究, 边求解.

素材1

1 π 函数 y=2cos( x- )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ+ ,0)(k∈Z) 4 .

1 π 【解析】令 2cos( x- )=0, 2 8 1 π π 得 x- =kπ+ (k∈Z), 2 8 2 5π 即 x=2kπ+ (k∈Z), 4 1 π 所以函数 y=2cos( x- )的图象的对称中心是(2kπ+ 2 8 5π ,0)(k∈Z). 4

【点评】正弦型函数、余弦型函数图象的对称中心即为 y= Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的图象与 x 轴的交点.



三角函数的值域与最值
2

π 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos x-1, x∈[0, ], 2 求 f(x)的值域; (2)求函数 y=sinxcosx+cosx+sinx 的最大值和最小值.

π 【解析】(1)f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6 π π π 7π 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 1 π 所以- ≤sin(2x+ )≤1,-1≤f(x)≤2, 2 6 故 f(x)的值域为 y∈[-1,2].

(2)令 t=sinx+cosx,则 t2=1+2sinxcosx, t2-1 所以 sinxcosx= . 2 π 又 t=sinx+cosx= 2sin(x+ ),所以|t|≤ 2, 4 1 2 1 所以 y= (t -1)+t= (t+1)2-1, 2 2 1+2 2 当 t=-1 时,ymin=-1;当 t= 2时,ymax= . 2

【点评】(1)利用三角函数公式将所给式子转化为 y= Asin(ωx+φ)的结构,再求其最值. (2)将求三角函数的最值,转化为求二次函数的最值,要 注意换元后变量的取值范围.

素材2

17 函数 f(x)=cos x+sinx+a-1,若 1≤f(x)≤ 对一切 x 4
2

∈R 恒成立,求 a 的取值范围.

【解析】f(x)=1-sin2x+sinx+a-1 =-sin2x+sinx+a 12 1 =-(sinx- ) +a+ . 2 4 17 12 1 17 由 1≤f(x)≤ ,得 1≤-(sinx- ) +a+ ≤ , 4 2 4 4 12 3 即 a-4≤(sinx- ) ≤a- , 2 4 12 9 12 又[(sinx- ) ]max= ,[(sinx- ) ]min=0. 2 4 2

17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立, 4
?a-4≤0 ? 只需? 3 9 ?a- ≥ 4 4 ?

?3≤a≤4,所以 a∈[3,4]为所求.



三角函数的单调性与周期性

1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y= sin( - )的最小正周期和单调区间; 2 4 3 (2)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( π 3π A.( , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2 B.(π,2π) D.(2π,3π) )

1 π 2x 1 2x π 【解析】(1)y= sin( - )=- sin( - ), 2 4 3 2 3 4 π 2x π π 由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 4 2 3π 9π 得 3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z). 8 8 π 2x π 3π 又由 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 4 2 9π 21π 得 3kπ+ ≤x≤3kπ+ (k∈Z). 8 8 3π 9π 所以递减区间为[3kπ- , 3kπ+ ](k∈Z), 递增区间为[3kπ 8 8 9π 21π + ,3kπ+ ](k∈Z). 8 8

(2)y′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 若 y=f(x)在某区间是增函数,只需在此区间内 y′≥0 即 可,故应选 B.

【点评】 (1)求三角函数的单调区间时, 首先要看 ω 是否为正, 若为负,则应先使用诱导公式化为正,然后再根据基本的三 角函数求解. (2)导数作为一个新的工具,在解决函数单调性、最值等 问题时有其独到之处.

素材3

1-x 求函数 y=tan 的递减区间. 2

1-x x-1 【解析】y=tan =-tan . 2 2 π x-1 π 由 kπ- < <kπ+ , 2 2 2 π 解得(2k-1)π+1<x<(2k+1)π+ , 2 所以递减区间为((2k-1)π+1,(2k+1)π+1)(k∈Z).

【点评】复合函数的单调性符合“同增异减”的规律,求复 合函数的单调区时,需要注意代换式(即内函数)的单调性.

备选例题

已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶 3π π 函数,其图象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是 4 2 单调函数,求 φ 和 ω 的值.

【解析】方法 1:由于 f(x)是 R 上的偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 即 sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ), 所以 sinφcosωx-cosφsinωx=sinωxcosφ+cosωxsinφ, 即 2sinωxcosφ=0 对?x∈R 恒成立, π 所以 cosφ=0,又 0≤φ≤π,所以 φ= . 2 π 所以 f(x)=sin(ωx+ )=cosωx. 2

3π 又 f(x)的图象关于点 M( ,0)对称, 4 3π 3π 即 f( -x)=-f( +x), 4 4 3π 3ωπ 取 x=0,得 f( )=0,即 cos =0. 4 4 3ωπ π 又 ω>0,所以 =kπ+ (k∈Z), 4 2 2 2x π 当 k=0 时,ω= ,f(x)=cos 在[0, ]上是减函数; 3 3 2

π 当 k=1 时,ω=2,f(x)=cos2x 在[0, ]上是减函数; 2 10 π 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=cosωx 在[0, ]不是单调函数. 3 2 π 2 所以 φ= ,ω= 或 2. 2 3 3ωπ 方法 2:以上同方法 1,cos =0, 4 π 2π π 由 f(x)在[0, ]上是单调函数,所以 T= ≥2× , 2 2 ω 2 即 0<ω≤2,所以 ω= 或 ω=2. 3

1. 三 角 函 数 奇 偶 性 的 判 断 与 其 他 函 数 奇 偶 性 的判断步骤一致:

?1 ? 首 先 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ; ? 2 ? 在 满 足 ?1 ? 后 , 再 看 f ? ? x ? 与 f ? x ? 的 关 系 .

2. 三 角 函 数 的 单 调 性

?1 ? 函 数 y

? A s in ( w x ? ? )( A ? 0, w ? 0 )的 单 调 区 间

的 确 定 , 其 基 本 思 想 是 把 wx ? F 看 作 一 个 整 体 , 由 2k? ?

?
2

? wx ? ? ? 2k? ?

?
2

( k ? Z ) 解 出 x的 范 围 ,

所 得 区 间 为 增 区 间 ; 由 2k? ?

?
2

? wx ? ? ? 2k? ?

3? 2

解 出 x的 范 围 , 所 得 区 间 即 为 减 区 间 .

? 2 ?比 较 三 角 函 数 的 大 小 的 一 般 步 骤 :
①先判断正负;②利用奇偶性或周期性转化为同 一单调区间上的两个同名函数;③利用函数的单 调性导出结果.


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