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2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系


2.1.3-2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系

一、研究新知 如图,线段A B所在直线与长方体 ABCD-A?B?C?D?的六个面所在平面有几种 位置关系?
D? A? B? D A B



C?

C

如图所示,在长方体ABCD-A?B

?C?D?中,
(1)A?B所在的直线与平面A?A B B?有 无数个公共点; (2) A?B所在的直线与平面A?A D D?有 1 个公共点; A?B所在的直线与平面ABCD有 1 个公共点; A?B所在的直线与平面B?B C C?有 1 个公共点; A?B所在的直线与平面A?B?C?D?有 1 个公共点; (3)A?B所在的直线与平面C?CDD?有 0 个公共点;
D? A? B? D C C?

A

B

二、新课

1、直线与平面的位置关系有且只有三种:
①直线在平面内——有无数个公共点(交点); ②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③直线与平面平行——没有公共点;

2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?
a a

α


a

α
② a a

α


错误画法:

α


α


α


a

如何用符号语言表示直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

如图:

a

?
a

(2)直线在平面外:

a ??
?

①直线a和面α 相交 :

.

A

a ? ? ? A 如图:

②直线a和面α 平行 :

a

a // ?

如图:

?

例1、判断下列命题的正确: (1)若直线l上有无数个点不在平面 内, 则l// 。( ) (2)若直线l与平面 平行,则l与平面? 内的任 意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )

?



?

X

X

X

?

?

?

例2、若直线a不平行平面 ? ,且a ? ? 则下列结论成立的是( B )
(A ) (B ) (C ) (D )

? 内所有直线与a异面 ? 内不存在与a平行的直线 ? 内存在唯一的直线与a平行 ? 内的直线与a都相交

例3、已知直线a在平面α外,则( D ) (A)a∥α (B)直线a与平面α至少有一个公共点 (C)a?α=A (D)直线a与平面α至多有一个公共点。

平面与平面之间的位置关系
? 思考: 围成长方 体的六个面, A′ 两两之间的位 置关系有几种?
A
D′ B′

C′

D B

C

两个平面之间的位置关系有且只 有以下两种:
平行 相交
?

?
?
?
? // ?

? l

? ?? ? l

例 4、如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平 行,那么两个平面的位置关系一定是( A.平行 B.相交 C.平行或相交 )

C
D.不能确定

练 1、设 P 是异面直线 a、b 外的一点,则过 P 与 a、b 都 平行的平面( ) A.有且只有一个 C.没有或只有一个 B.恰有两个 D.有无数个

练 2、已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,则直线 a 与平面 β 的位置关系为________. a∥β

例 5、如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点, 则此直线和平面相交. 已知:A∈α,A∈a,B?α,B∈a. 求证:直线 a 与平面 α 相交.

[证明] 假设直线 a 和平面 α 不相交,则 a∥α 或 a?α 若 a∥α,则与 A∈α,A∈a 矛盾; 若 a?α,则与 B?α,B∈a 矛盾. ∴假设不成立 ∴直线 a 与平面 α 相交

巩固练习: 1、以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面) ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则 a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?, b??,则a∥b 其中正确命题的个数是( A )
(A )0 个 (B )1 个 (C )2 个 (D )3 个
王新敞
奎屯 新疆

2、已知a∥?,b∥?,则直线a,b的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有( D ) (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个

3.如果平面?外有两点A、B,它们到平面?的距 离都是a,则直线AB和平面?的位置关系一定是 ( C) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB ??
4.已知m,n为异面直线,m∥平面?,n∥ 平面?,?∩?=l,则l( C ) (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交

下列命题中,a、b、l 表示直线,α 表示平面. ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a?α,b?α,且 a,b 不相交,则 a∥b; ③若 a?α,b?α,a∩b=A,l?α,且 l 和 a,b 均不相交,则 l∥α

其中正确的命题有( A.0 个 C.2 个

A

) B. 1 个 D.3 个

已知:直线 a∥b,a∩平面 α=P 求证:直线 b 与平面 α 相交
证明:∵a∥b ∵a∩α=P
∴平面 α 和平面 β 相交于过 P 点的直线 l ∵在平面 β 内 l 和两条平行直线 a,b 中的一条直线 a 相交 ∴l 必和 b 相交于 Q,即 b∩l=Q 又因为 b 不在平面 α 内(若 b 在 α 内, 则 α 和 β 都过两相交直线 b 和 l,因此 α 和 β 重合,a 在 α 内,与已知矛盾) 故直线 b 和平面 α 相交

∴a 和 b 确定平面 β

四、小结:
1、空间中直线与平面的三种位置关系: 直线在平面内——有无数个公共点(交点);

相交——有且只有一个公共点;
直线在平面外 平行——没有公共点; 2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系: a a a A

α

α

α

① ② ③ 3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系: ① a? α ② a∩α=A ③ a∥ α

反 思 与 延 伸
? 问题1、平行于同一平面的两条直线一定是 两条平行直线吗? ? 问题2、两条平行线中的一条平行一个平面, 则另一条也一定平行于这个平面吗? ? 问题3、无公共点的两条直线一定是平行直 线吗? D′ C′
A′ D B′

C B

A

复习引入: 1、空间两直线的位置关系 (1)相交;(2)平行;(3)异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
王新敞
奎屯 新疆

4.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角? 什么是异面直线垂直?


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