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2009高考数学试题汇编 圆锥曲线方程(文科)部分


2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
x2 y 2 1.(2009 浙江文)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭 a b ??? ? ??? ? 圆上,且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
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<

br />A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交 汇,也体现了数形结合的巧妙应用. 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ?
2

??? ?

??? ?

1 2

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2.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

). D. y ? 8 x
2

B. y ? ? 8 x
2
2

C. y ? 4 x
2

a a 4 4 a 1 a a 与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程 2 2 4 2
【解析】: 抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它 为 y ? ? 8 x ,故选 B.
2

答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发 的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二 为一.

3.(2009 安徽卷文)下列曲线中离心率为

的是

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A. 【解析】依据双曲线 【答案】B

B.

C.

D.

x2 y2 c 6 c ? 2 ? 1 的离心率 e ? 可判断得. e ? ? .选 B。 2 a 2 a b a

4.(2009 安徽卷文)直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是
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A. C.

B. D.

【解析】可得 l 斜率为 ? ? l : y ? 2 ? ? 【答案】A 5.(2009 天津卷文)设双曲线 线的渐近线方程为( ) A y ? ? 2x 【答案】C 【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 近线方程为 y ? ? B y ? ?2 x

3 2

3 ( x ? 1) 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲 a2 b2

C y??

2 x 2

Dy??

1 x 2

3 , a ? c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐

b 2 x?? x a 2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理 能力。 6. 2009 辽宁卷文) ( 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 【答案】B 7. (2009 宁夏海南卷文) 已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1, C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 圆
2 2

对称,则圆 C2 的方程为 (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2
2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2
2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B

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? a ?1 b ?1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ?a ? 2 ? 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? , ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
对称圆的半径不变,为 1,故选 B。. 8.(2009 福建卷文)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 2 32

A. 2 C.

B. D. 1

3

3 2

解析解析 由

x2 y 2 c a2 ? 3 ? ? 1可知虚轴b= 3,而离心率e= ? ? 2 ,解得 a=1 或 a=3, a2 3 a a

参照选项知而应选 D. 9.(2009 年广东卷文)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

25 2
| 2 ? 1? 6 | 5 ,所以圆的方程为 ? 1?1 2

【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ?

25 2

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2 2 2 2 10. 2009 天津卷文) ( 若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,

则 a=________. 【答案】1 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 ,利用圆心(0, a

1 | a 为 2 2 ? 3 2 ? 1 ,解得 a=1 0)到直线的距离 d ? 1 |
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察 了同学们的运算能力和推理能力。 11.(2009 宁夏海南卷文)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物 线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2, 2 ? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 【答案】 y ? 4 x
2



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【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx=0, x1 ? x2 =k=2 ×2,故 y ? 4 x .
2

12.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2 2

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上 2

一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 C k : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由.

【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ? K , 2 ?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

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1 1 SV AK F1F2 ? ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
(3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,
2 2

若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;
2 2

?不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
13.(2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其
2

焦点的距离为

17 . 4

(I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 点 M ,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

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解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ?

p ,根据抛物线定义 2 p 17 1 ,解得 p ? ? 2 4 2

点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ?

?抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2
(Ⅱ)由题意知,过点 P (t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。 则 l PQ : y ? t ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ?
2

2

? t 2 ? kt , k
2

则M(

? t 2 ? kt ,0) 。 k

联立方程 ?

? y ? t 2 ? k (x ? t) ? x ?y
2

,整理得: x ? kx ? t (k ? t ) ? 0

即: ( x ? t )[ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而 QN ? QP ,?直线 NQ 斜率为 ?

1 k

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? l NQ

1 ? 1 ? y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] : y ? (k ? t ) ? ? [ x ? (k ? t )] ,联立方程 ? k k 2 ? x ?y ?
2

整理得: x ?
2

1 1 x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 ,即: kx2 ? x ? (k ? t )[ k (k ? t ) ? 1] ? 0 k k k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t k

[kx ? k (k ? t ) ? 1][ x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?

? N (?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1] , ) ,? K NM k k2
2

[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
? ? 2k ( k ? t ) ? 2 k
整 理 得

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ?

k ( k ? t ) ?1 x?? k

? MN 是 抛 物 线 的 切 线 , ?
k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0

(k 2 ? k t ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 ? , k k (t 2 ? k 2 ? 1)

2 2 2 ? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ? (舍去) t ? ,?t min ? ,或 3 3 3
14. (2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动点

?

?

?

?

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M ( x, y) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?
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1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 4

A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 4
? ? ?
2

B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ? 1) , 所以 a ? b ? mx ? y ? 1 ? 0 ,
2

?

? ?

即 mx ? y ? 1 .
2 2

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当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

x2 1 时, 轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方 4 4

? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 程组 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?

??? ??? ? ? 要使 OA ? OB ,
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1,
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

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所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t 4 2 5 所以圆的半径为 r ? ,r ? ? ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k 2
t
2

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

x2 2 2 2 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 ,与 5) 或 4 5 5 5

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? 且 OA ? OB . (3)当 m ?

4 , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 5

??? ?

??? ?

x2 1 时,轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 4 4
2

C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?
2 2

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , R2 ?1 2 ?k ? ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

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8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x2 ,所以, x1 ? , 1 ? 4k 2 3R 2 4t 2 ? 4 ? xx ? ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2

1 2 4 ? R2 4 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 4 3R R

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在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1B1 |2 ?| OB1 |2 ? | OA1 |2 ? 5 ?

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1 B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当R ?

2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通 过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 15.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)

已知椭圆

(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

圆与直线 y=x+2 相切, (Ⅰ)求 a 与 b;
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(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为 垂直, 交 与点 p..求线段 P 【思路】 (1)由椭圆



,直线 过

且与 x 轴垂直,动直线 与 y 轴

垂直平分线与 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。

x2 y2 c 3 建立 a、b 等量关系,再根据直线 ? 2 ? 1中a 2 ? b2 ? c 2 及e ? ? 2 a 3 a b 与椭圆相切求出 a、b. (2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。

【 解 析 】 1 ) 由于 e ? (

3 3

∴ e2 ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 3 a2 a2



b2 2 ? a2 3

又b?

2 1?1

? 2



b =2,a =3 因此, a ? 3 . b= 2 .
2 2

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(2)由(1)知 F1,F2 两点分别为(-1,0)(1,0) , ,由题意可设 P(1,t).(t≠0).那么线 t 段 PF1 中 点 为 N (0, ) , 设 M(x 、 y) 是 所 求 轨 迹 上 的 任 意 点 . 由 于 2 ???? ???? ? ? ? ? ?? t ? ? ? ? ? MN ? PF1 ? 2 x ? t ( y ? t ) ? 0 ? 消去参数 t 得 y 2 ? ?4 x( x ? 0) M N? ( ? x ? ) 1. P F ? (则 ? t , y ? 2 ) 2 ? , 2 ?y ? t ? ,其轨迹为抛物线(除原点) 16.(2009 江西卷文) (本小题满分 14 分) 如图,已知圆 G : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 为椭 16

圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ; (2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点, 证明:直线 EF 与圆 G 相切.

y M A B F
. G

0
E

x
C

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解: (1)设 B 2 ? r , y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H ( 由

y r GD HB 得 ? 0 , ? 2 6?r AD AH 36 ? r
y0 ? r 6?r 6?r
2



(1)

(2 ? r ) 2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) 而点 B 2 ? r , y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ? ( ? ?? 16 16 16
由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ?
2

(2)

2 6 或 r ? ? (舍去) 3 5
(3)

(2) 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx 9
(4)



2k ? 1 2 2 ? ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 2 3 1? k

解得 k1 ?

?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

将(3)代入

x2 32k ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x 2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 16 16k 2 ? 1
32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

则直线 FE 的斜率为: k EF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ? 即y?

32k12 32k1 3 ?1 ? (x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16
故结论成立. 17.(2009 天津卷文) (本小题满分 14 分)

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已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 过 点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c
(Ⅰ求椭圆的离心率 (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的

外接圆上,求

n 的值。 m
c 3 2 n 2 2 ? (2) k ? ? (3) ? m 5 a 3 3
| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

【答案】 (1) e ?

【解析】 (1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

a2 ?c c 3 1 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 a 3 2 a ?c c
(2)解:由(1)知, b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2 x ? 3 y ? 6c
2 2 2 2
2 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c
? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c
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由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?
2 2 2 2 2 2

消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ? 18k cx ? 27 k c ? 6c ? 0 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,?
2 2

3 3 ?k? 3 3

而 x1 ? x 2 ?

18k 2 27 k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x 2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

x1 ? 3c ? 2 x2
联 立 三 式 , 解 得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , x2 ? ,将结果代入韦达定理中解得 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

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k??

2 3 2 3c ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C (0,? 2c) 3 2
2c 2 c c ?? ( x ? ), 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0) 是 2 2 2 2

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ?

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

c c ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2
? c 2 9c 2 2 ?(m ? ) ? n ? 直线 F2 B 的方程为 y ? 2 ( x ? c) ,于是点 H (m, n) 满足方程组 ? 2 4 ?n ? 2 ( m ? c ) ?
由 m ? 0 ,解得 m ?

5c 2 2c n 2 2 ,n ? ,故 ? 3 2 m 5

当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基础 知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。 18.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (22)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

x2 y2 ? 2 ? 1。 1 ? b 2 4b

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 。 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 =3, b 2 = ? (舍去) 2 1 ? b 4b 4
... 分 ...4

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

x2 y2 3 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ? ,代入 4 3 2
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2

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设E( xE , y E ) ,F( xF , y F ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ?k 代 k ,可得

....8 分 ...

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ?kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 k EF ?

y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? 。 xF ? x E xF ? xE 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2

....12 分 ...

19.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,

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所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ? ? ?4, 4? . 由已知得

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y

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而e ?

3 2 2 2 2 ,故 16( x ? y1 ) ? 9( x ? y ). 4
y12 ?
2



由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得 9 y ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

112 ? 7 x 2 , 16

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

20.(2009 福建卷文) (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

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的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

10 3

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

解法一: (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2,0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而

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10 16k M( , ) 3 3
? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

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2 ? 8k 2 4k 即 S( , ), 又 B(2,0) 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?

10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k
16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3
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| 又 k ? 0,? MN |?
当且仅当

16k 1 1 ,即 k ? 时等号成立 ? 3 3k 4 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

1 4
4 2 5

| 此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? BS |?

6 4 5 5

要使椭圆 C 上存在点 T , 使得 ?TSB 的面积等于

2 1 , 只须 T 到直线 BS 的距离等于 , 4 5

所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

2 的直线 l 上。 4

则由

|t ?2| 2 3 5 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 4 2 2 2
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