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同角三角函数基本关系


§1.2.2 同角三角函数的基本关系

一、问题导学
1.单位圆中任意角的三角 函数是怎样定义的?

sin ? ? ____ cos ? ? ____ tan ? ? ____ 2. sin ? , cos?和 tan?之间有什么关系?
这个关系对于任意角都 成立吗?
3.设P(x, y)是角?终边与单位圆

的交点, x和y之间有什么关系? sin ?和 cos?之间有什么关系?这个 关系对于任意角都成立 吗?
角? 的终边
P(x,y) A(1,0) M o x y

二、探讨新知

同角三角函数的基本关系
平方关系: 商数关系:

2 同一个角 ? 的正弦、余弦的平方 和等于1,商等于角 ? 的正切。

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ? ? (? ? k? ? , k ? Z )

基本变形 2 2 思考1:对于平方关系 sin ? ? cos ? ? 1
可作哪些变形?

sin ? ? 1 ? cos ? ,
2 2

cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2

(sin a - cos a ) = 1 - 2 sin a cos a ,
(sin a + cos a ) = 1 + 2 sin a cos a ,
1 + cos a sin a = , sin a 1 - cos a
2

2

1 + sin a cos a = . cos a 1 - sin a

sin ? 思考2:对于商数关系 ? tan ? 可作 cos ?

哪些变形?

sin ? ? cos ? tan ? ,

sin ? cos ? ? . tan ?

思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式?
1 cos a = , 2 1 + t an a
2

t an a sin a = . 2 1 + t an a
2

2

三、应用示例
1 例1、已知 sin ? ? ,并且 ?是第二象限角,求 cos ? , tan ?的值。 3 2 8 ?1? 2 2 2 2 解:由sin ? ? cos ? ? 1得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? 9 ? 3?

又??是第二象限角, ? cos? ? 0
1 2 2 sin ? 2 ? cos? ? ? ? t an? ? ? 3 ?? 3 cos? 4 2 2 ? 3

三、应用示例
3 例2.已知 sin ? ? ? , 求 cos ? , tan ?的值。 5 解:因为 sin ? ? 0, sin ? ? ?1, 所以? 是第三或第四象限角.


sin ? ? cos ? ? 1 得
2 2
2 2

? 3 ? 16 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? 5 ? 25 16 4 ? 如果 是第三象限角,那么 cos? ? ? ??
25 5
sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 ? ?? ???? ? ? 从而 tan? ? cos? ? 5 ? ? 4 ? 4

2

4 3 如果? 是第四象限角,那么 cos ? ? , tan ? ? ? 5 4

8 例3.已知 cos? ? ? ,求sinα、tanα的值. 17

分析:∵cosα<0

∴α是第二或第三象限

角.因此要对α所在象限分类讨论.
解:当α是第二象限角时,
8 2 15 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? , 17 17 15 sin ? 15 17 tan ? ? ? ?? . cos ? ? 8 8 17
2

当α是第三象限角时,
8 2 15 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? , 17 17
2

15 ? sin ? 15 17 tan ? ? ? ? . cos ? ? 8 8 17

练习
1.(1)已知

4 (2)已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? 5 2 2 解:(1)∵sin ? ? cos ? ? 1 ∴ cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (12 ) 2 ? ( 5 ) 2 13 13 5 又∵? 是第二象限角,∴ cos ? ? 0,即有cos ? ? ?
从而 tan ? ? sin ? ? ? 12
cos ? 5
2 2 (2)∵ sin ? ? cos ? 4 cos ? ? ? ? 0∴ 又∵ 在第二或三象限角。

cos ? , tan ? , cot ?

12 sin ? ? ,并且 ? 是第二象限角,求 13

3 当? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ?

5

?

13 1 5 cot ? ? ?? tan ? 12 4 2 3 2 2 2 ? 1∴sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) 5 5
tan ? ? sin ? 3 ?? cos ? 4

当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0,从而

5 3 sin ? 3 sin ? ? ? tan ? ? ? 5 cos ? 4

变式训练:
? 已知,

3求 sin? ,cos? 的值。 tan ? ? 4 解:? tan ? ? y ? 3 ? 0 ?? ? I 或? ? III x 4 (1)当 ? ? I 时 x ? 0, y ? 0

不妨设x=4,y=3
y 3 sin ? ? ? r 5

r?

x2 ? y2 ? 5

(2)当 ? ? III
y 3 sin ? ? ? ? r 5

x 4 cos ? ? ? r 5 时 x ? 0, y ? 0
x2 ? y2 ? 5

不妨设x=-4,y=-3 r ?

分 类 讨 论

x 4 cos ? ? ? ? r 5

练习

1.已知 tan ?

? 2 , 求 sin ? , cos?

的值.

分类讨论

三、应用示例
例4、已知tan? ? 2, 求下面各式的值。 sin ? ? cos? ( 1 ) sin ? ? cos?

sin ? 解:方法 ?1?? tan ? ? ?2 ? sin ? ? 2 cos ? cos ? 2 cos ? ? cos ? 3 cos ? ? 原式 ? ? ?3 2 cos ? ? cos ? cos ? 方法?2?? cos? ? 0?原式分子分母同除以 cos? sin ? cos? ? tan ? ? 1 2 ?1 cos ? cos ? ?3 原式 ? ? ? sin ? cos? tan ? ? 1 2 ?1 ? cos? cos?

例4、已知t an? ? 2,求下面各式的值。

sin ? cos? (2) 2 sin ? ? cos2 ?

2 cos ? cos ? 方法1 : 将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?
2 2 cos2 ? ? ? 3 3 cos2 ?

sin ? cos? 2 2 cos ? 方法2 : 分子分母同除以 cos ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
tan ? 2 2 ? ? 2 ? 2 tan ? ? 1 2 - 1 3

例4、已知t an? ? 2,求下面各式的值。

sin ? cos? (3) 2 sin ? ? cos2 ?

2 cos ? cos ? 方法1将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?
2 2 cos2 ? ? ? 5 5 cos2 ?

sin ? cos? 2 2 cos ? 方法2分子分母同除以cos ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
tan ? 2 2 ? ? ? 2 2 tan ? ? 1 2 ? 1 5

例3、已知tan? ? 2,求下面各式的值。

2 (4) sin ? cos? ? 5

练习.已知: tan ? ? 5,求下列各式的值. 5 sin ? ? 3 cos ? 5 tan ? ? 3 (1) ? 7 sin ? ? 9 cos ? 7 tan ? ? 9 cos 2 ? (2) 4 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 (3) 2 sin 2 ? ? 3 cos ? sin ? ? 5 cos 2 ?
1的替换 — 3 ? 3 ?1 ? 3(sin ? ? cos ? )
2 2

1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13

1的替换 — 看作分母为 1 ? sin 2? ? cos 2?

练习

2sin ? ? 3cos ? (1)已知 tan ? ? 3求 sin ? ? 4cos ? 1 (2)已知 tan ? ? 3求 2 sin ? ? cos 2 ?

1换为sin ? ? cos ?
2 2

( 3) 已知 tan? ? 3求2 sin2 ? ? 3cos2 ?

1
注意:“1”的灵活代换,特别是关于sina 、 cosa齐次式

练习:1、已知tanα=4,求值:

sin ? ? 2 cos ? 2.已知 ? ?5, 求tan ?。 23 ? 3 sin ? ? 5 cos ? 1 ? tan? 1 7 16 3、已知 ?? , ( 1 ) 12;(2) 1 ? tan? 3 25
5sin? ? 2cos? 1 2 2 2 求( 1 ) ;(2) sin ? ? cos ?。 5cos? ? 3sin? 4 5

3cos ? ? sin ? 2 cos ? ? sin ?

1 2

5 4、已知tanα =2,求下列各式的值 . (1) ,(2) 10

1 1 1 (1) sin a ×cos a ;(2)1 - sin a + 1 + sin a

2

cos x 1 ? sin x ? 例5 求证 1 ? sin x cos x

恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简 可以从左边往右边证,

可以从右边往左边证,
也可以证明等价式。

同角关系式的应用

(3)证明恒等式 作差法

cos ? 1 ? sin ? ? p19例5.求证: 1 ? sin ? cos ? cos ? 1 ? sin ? 证明: ? 1 ? sin ? cos ?

比较法

cos2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? (1 ? sin ? ) cos? cos2 ? ? cos2 ? ? ?0 (1 ? sin ? ) cos?

因此

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

证法二: 因为 (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? 1 ? sin

2

?

? cos2 ? ? cos? ? cos?
由原题知:

1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0
cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

恒等变形 的条件

因此

分析法

证法三: 由原题知:

cos ? ? 0 则 sin ? ? ?1
恒等变形 的条件

cos? ? (1 ? sin ? ) 原式左边= (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

cos ? ? (1 ? sin ? ) cos ? ? (1 ? sin ? ) ? ? 2 1 ? sin ? cos 2 ? 1 ? sin ? ? =右边 cos ?
因此

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

练习. 求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1;
cos ? 1 ? sin ? (2) 1 ? sin ? ? cos ?

证明:(1) 原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α-cos2α =sin2α-(1-sin2α) =2sin2α-1=右边. 所以原等式成立.

cos ? 1 ? sin ? (3) 1 ? sin ? ? cos ?

cos x ? cos x 2 证明:左边 ? 1?x sin xx (1 ? sin )cos ?

(1 ? sin x) ? cos x 1 ? sin x ? cos x

=右边 ∴原等式成立.

1.化简 (1) cos? tan?

2 cos2 ? ? 1 (2) 1 ? 2 sin 2 ?

2.求证
(1) sin 4 ? ? cos4 ? ? sin 2 ? ? cos2 ?

(2) sin 4 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1

1? 3 (0 ? x ? ? ),求 sin x, cos x 例6. 已知sin x ? cos x ? 2 解:由 sin x ? cos x ? 1 ? 3 (0 ? x ? ? ) 等式两边平方: 2 1? 3 2 2 2 sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? ( ) ? 2 1? 3 sin x ? cos x ? ? 3 2 ∴sin x cos x ? ? (*),即 ? ? 4 ?sin x cos x ? ? 3 ? ? 4 1? 3 3 2 sin x, cos x 可看作方程 z ? z? ? 0 的两个根,解得 2 4 1 3 z1 ? , z2 ? ? 2 2

构 造 方 程 组 的 方 法

又∵0 ? x ? ?,∴sin x ? 0.又由(*)式知 1 3 sin x ? , cos x ? ? 因此, 2 2

cos x ? 0

同角关系式的应用
例3.化简
解:原式 ?

(2)化简
?
2 ? ?

1 ? sin 440
2
2 ?
2

1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80
? ?

? cos 80 ? cos80
例4.化简 解:原式

1? 2sin40 cos40
?

?

? sin 40 ? cos 40 ? 2sin40 cos40
2 ? 2 ? ?

?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40?

四、达标测试
1、 sin 2 2011? cos2 2011? ? A ?
D、不能确定 C、 2011 3 2、已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,则 tan ?的值为 ?C ? 4 3 7 7 3 7 7 A、 D、 C、 ? B、 7 4 7 4

2 A、 1 B、

3、已知 t an? ? 4, sin ? ? 2 cos? 2 求(1) ? 2 sin ? ? 5 cos? 13 1 17 ( 2) 2 ? sin ? ? 2 sin ? cos? 24

五、课堂小结:
1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系. 发现规律 验证规律

2.同角三角函数关系的基本关系的应用
规律的应用


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