浙江省杭州二中2013-2014学年高二上学期期末数学理试卷

2013 学年第一学期 杭州二中高二年级数学（理科）期末试卷
考试时间 100 分钟 满分 100 分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1．直线 x ? 3 y ? 1 的倾斜角为（ （A） ） （C）

? 3

（B）

5? 6

? 6

（D）

2? 3

2．命题 p : “直线 l 上不同的两点 A, B 到平面 ? 的距离为 1 ”，命题 q : “ l // ? ”，则 p 是 q 的 （ ）条件 （A）充分不必要

（B）必要不充分

（C）充要

（D）既不充分也不必要 ）

3．直线 ? x ?1? a ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 3 的位置关系是（

（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）与实数 a 的大小有关 4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 5．已知实数 x, y 满足： x 2 ? y 2 ? 1，则 x ? y 的取值范围是（ （A） ? ? 2, 2 ? ）

）

?

?

（B） ??1,1?

（C） ?1, 2 ?

?

?

（D） 1, 2 ?

?

?
）

6．对于平面 ? 和两条不同的直线 m 、n ,下列命题是真命题的是（ （A）若 m, n 与 ? 所成的角相等,则 m// n

// ? ,n // ? ,则 m// n （B）若 m ? ? ,n ? ? （D）若 m ,则 m// n

? ? ,m ? n （C）若 m ,则 n//?

1 2 x2 2 7．已知双曲线 2 ? y ? 1 (a ? 0) 的一个焦点与抛物线 x ? y 的焦点重合,则此双曲线的 8 a
离心率为（ ） （A）

3 3 2

（B） 3

（C）

2 3 3

（D）

4 3 ks5u 3

8．过点 P ? 2,1? 的直线 l 与坐标轴分别交 A, B 两点，如果三角形 OAB 的面积为 4，则满足 条件的直线 l 最多有（ （A） 1 （B） 2 ）条 （C） 3 （D） 4

9．在空间直角坐标系中，已知 A ?1, 0, 0 ? , B ? ?1, 0, 0 ? , C 0,1, 2 , D 0, ?1, 2 ，则四面 体 ABCD 的体积为（ ）

?

? ?

?

D A D1 A1 B1 B

C

C1

（A）

2 2 3

（B）

2 3

（C）

4 3

（D）

4 2 3

10．如图，棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ，点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上 运动，点 N 在三角形 ACB1 的外接圆上运动，则线段 MN 长度的最小值是（ ）

（A）

3 ?1 2

（B）

2 ?1 2

（C）

3? 2 2

（D） 3 ? 2

二．填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.把答案填写在题中的横线上. 11．命题 P ：直线 y ? 2 x 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直；命题 Q ：异面直线在同一个平面上的射 影可能为两条平行直线，则命题 P ? Q 为 命题（填真或假）.

12．若圆 C 以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆 的标准方程是__ ___.

C A N C1 A1 B M B1

13．如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 ,

AA1 ? 4 ，若 M , N 分别是 BB1 , CC1 的中点，则异面直线 AM 与 A1 N 所成的
角的大小为 14．椭圆 . ks5u .

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ，则实数 m 的值为 2 m 4
2

15. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点 , 则 AF BF 的最小值是 _ . 的面上有四点 ,则球 17.已知椭圆 , 平面 , ,

16. 如图,已知球

的体积与表面积的比值为__________.

x2 y 2 b ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ，过 F 作斜率为 的直线与 2 a a b
.

椭圆交于 A, B 两点，若 FB ? 2 FA ，则椭圆的离心率 e 的取值范围是

2013 学年第一学期 杭州二中高二年级数学（理科）期末答卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 答案 二．填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.把答案填写在题中的横线上. 11. 14. 12. 15 13. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17. 三、解答题：本大题共 4 小题，共 42 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18． （本大题满分 10 分）已知直线 l : mx ? y ? 2 ? m ?1? ? 0 与曲线 C : y ? 1 ? x 2 . （Ⅰ ）若直线 l 与直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直，求实数 m 的值； （Ⅱ ） 若直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点，求实数 m 的取值范围.

19． （本大题满分 10 分）已知四面体 ABCD ， ?ADB ? ?CDB ? 120 ，且平面 ABD ? 平 面 BCD . （Ⅰ ）若 AD ? CD ，求证： BD ? AC ； （Ⅱ ）求二面角 B ? CD ? A 的正切值.

A

B
20 ． （ 本 大 题 满 分 10 分 ） 已 知 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ，

D C

?BAD ? 60 ， 四边形 BDEF 是矩形， 平面 BDEF ? 平 ABCD G 、 H CE 、 CF 面 ， 分别是 的中点. (Ⅰ )求证：平面 AEF / / 平面 BDGH ；
0

(Ⅱ )若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60 ， 求直 线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值.

0

E F D A B H G C

21. （本大题满分 12 分）设点 ，并记点 (Ⅰ )求曲线 (Ⅱ )设 由四点 斜率的取值范围 的轨迹为曲线 .

到直线

的距离与它到定点

的距离之比为

的方程； ，过点 的直线 l 与曲线 相交于 两点，当线段 的中点落在

构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 的

高二理科期末答案
1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．C 11．真
2 12． ? x ? 1? ? y ? 4 2

? 2 16 14． 或 3 3
13． 15． 4 16．

3 ks5u 3
? 5 ? ,1? ? 5 ? ?
1 2
4分

17． ?

18． （Ⅰ ）直线 l 的斜率 k ? ?m ，直线 l1 的斜率 k ' ? 2 ? k ? ?

m? ∴

1 2

l 恒过点 P ? 2,2? （Ⅱ ）∵ l : m( x ? 2) ? y ? 2 ? 0 ，∴
又∵ 曲线 C : y ? 1 ? x 2 是单位圆在 x 轴的上方部分 且直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点，先求直线 l 与曲线 C 相切时的斜率与点

P ? 2,2? 与点 Q ? ?1,0? 连线的斜率
当直线 l 与曲线 C 相切，即

2m ? 2 1? m
2

? 1 ? 3m2 ? 8m ? 3 ? 0 ? m ?

?4 ? 7 3

经检验知 m ?

?4 ? 7 3
? 2 ?4 ? 7 ? 2 ，所以 m ? ? ? , ? ? 3 3 ? 3 ?
10 分

而 k PQ ?

19． （Ⅰ ）∵ AD ? DC, ?ADB ? ?CDB ? 120 , BD ? BD

?ADB ? ?CDB ∴ AB ? BC ，取 AC 中点 M ， ∴
则 MB ? AC, DM ? AC

A M B D C

AC ? 平面 BDM ， ∴ AC ? BD ∴

4分

（Ⅱ ）过点 A 作 AH ? BD 交 BD 延长线于 H 。过 H 作 HG ? CD 于 G ，连结 GA AH ? 平面 BCD ， ∵ 平面 ABD ? 平面 BCD ， ∴ AH ? CD ∴ 根 据 三 垂 线 定 理 知 ， ?AGH 为 二 面 角 A? C D ? H 的平面角 由 已 知 可 知 ?ADH ? 60 ， 设 A D ? 2 a ， 则

A

AH ? 3a, HD ? a
3 在 Rt ?HDG 中， ?HDG ? 60 ? HG ? a， 2

B

D G

H C

tan ?AGH ? 2 ∴ ∴ 二面角 B ? CD ? A 的正切值为 ?2 分 注：用空间向量做，酌情给分。
20．解: (Ⅰ ) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / / GH ------------①

10

连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 是 AC 的中点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 OG / / AE ---------② 由① ② 知,平面 AEF / / 平面 BDGH 4分 (Ⅱ ) BF ? BD, 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 BF ? 平面 ABCD 取 EF 的中点 N , ON / / BF ? ON ? 平面 ABCD , 建系 {OB,OC,ON} 设 AB ? 2，BF ? t ,

， 0， 0 ? , C 0，3, 0 , F ?1， 0，t ? 则 B ?1
?1 3 t ? H? ?2, 2 ,2? ? ? ? ?1 3 t ? BDGH 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? ?2, 2 ,2? ? 设平面 ? ?

?

?

? n1 ? OB ? x ? 0 ? ,所以 n1 ? 0, ?t , 3 ? 1 3 t y? z ?0 ?n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2

?

?

平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0,0,1?

| cos ? n1 , n2 ?|?

3 3?t
2

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ?

?

?

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?

6 3 3 13 ? 13 13 ? 2 3

10 分

注：用几何法做酌情给分 21．解:(Ⅰ )由题意 ,

整理得

,所以曲线

的方程为

4分

(Ⅱ )显然直线的斜率 存在,所以可设直线的方程为

.

设点

的坐标分别为

线段

的中点为

,

由

ks5u

得

由

解得

.(1)

由韦达定理得

,于是

=

,

因为

,所以点 的方程分别为

不可能在

轴的右边,

又直线 所以点

ks5u

在正方形内(包括边界)的充要条件为

即

亦即

解得

,(2)

由(1)(2)知,直线斜率的取值范围是

12 分