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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第六节 对数与对数函数突破热点题型 文


第六节

对数与对数函数

考点一

对数式的化简与求值

[例 1] (1)已知 loga2=m,loga3=n,求 a (2)计算 -log6 +log62·log618 ; log64
2

2m+n



(3)计算(log32+log92)·(log43+log83). [自主解答] (1)法一:∵loga2=m,loga3=n, ∴a =2,a =3,∴a
m n
2m+n

=(a ) ·a =2 ×3=12.

m 2

n

2

法二:∵loga2=m,loga3=n, ∴a
2m+n

=(a ) ·a =(aloga2) ·aloga3=2 ×3=12.
6

m 2

n

2

2

1-2log63+ (2)原式= = = = 1-2log63+ 1-2log63+ -log6 2log62
2 6

6 +log6 ·log6 3 log64
2

+ -log6 log64 +1-
2 6

+log6

2 6

log64 log66-log63 log62 = = =1. log62 log62

(3)原式=? =? =

?lg 2+lg 2?·?lg 3+lg 3? ? ? ? ?lg 3 lg 9? ?lg 4 lg 8?

?lg 2+ lg 2 ?·? lg 3 + lg 3 ? ? ? ? ?lg 3 2lg 3? ?2lg 2 3lg 2?
3lg 2 5lg 3 · 2lg 3 6lg 2

5 = . 4

【互动探究】 在本例(1)的条件下,求 loga36 的值.

1

解:loga36=loga4+loga9=2(loga2+loga3)=2(m+n).

【方法规律】 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂 的底数最 简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为 同底对数真数的积、商、幂的运算.

1 ? 1 ? 1.计算?lg -lg25?÷100- =________. 2 ? 4 ? 解析:原式=?lg 答案:-20 1 1 a b 2.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

? 1 ?÷ 1 =-20. ? ? 100? 10

a b

解析:∵2 =5 =m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m =10,∴m= 10. 答案: 10
2

a

b

考点二

对数函数的图象及其应用

[例 2] (1)函数 y=logax 与 y=-x+a 在同一坐标系中的图象可能是(

)

A

B

C
x

D

(2)已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关系

2

是(

)

A.0<a <b<1 B.0<b<a <1 C.0<b <a<1 D.0<a <b <1 [自主解答] (1)当 a>1 时,函数 y=logax 的图象为选项 B,D 中所示过(1,0)点的曲 线,此时函数 y=-x+a 的图象与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 a>1,选项 B,D 中所示的 图象都不符合要求; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 的图象为选项 A,C 中所示过(1,0)点的曲线,此时函数 y =-x+a 的图象与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 0<a<1,选项 A 中所示的图象符合要求, 选项 C 中所示的图象不符合要求. (2)令 g(x)=2 +b-1,这是一个增函数,而由图象可知函数 f(x)=logag(x)是单调递 增的,所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间,即-1<f(0)<0,所以- 1<logab<0,故 a <b <1,因此 0<a <b<1. [答案] (1)A (2)A 【方法规律】 对数函数与指数函数的图象特征 (1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降,即 a>1 时,图象上升;0<a<1 时,图象 下降. (2)底数的大小决定了图象的高低, 即在 y 轴右边, 指数 函数 y=a 的图象“底大图高”; 在 x 轴上方,对数函数 y=logax 的图象“底大图低”.
x
-1 -1 -1 -1 -1 -1

-1

x

1.已知函数 f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线 y=a(a<0)与这三个函数 的交点的横坐标分别是 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是( A.x2 <x3 <x1 C.x1 <x2<x3 B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1 )

解析:选 A 在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线 y=a(a<0)(图略),易知 x1 >x3>x2,故选 A. 2.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为________,单调递增区间为________.

3

解析:作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y=log2|x|的图象,再 将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数

y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).
答案:(-∞,-1) (-1,+∞)

高频考点

考点三 对数函数的性质及其应用

1.对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难 度低、中、高档都有. 2.高考对对数函数性质的考查主要有以下两个命题角度: (1)考查对数函数的定义域; (2)考查对数函数的单调性在比较大小、解不等式 、求最值等问题中的应用. [例 3] (1)(2013·广东高考)函数 y= A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞)

x+ x-1

的定义域是(

)

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) )

(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

log2x,x>0, ? ? (3) (2014·杭州模拟)设函数 f(x)=? 1 log -x ,x<0, ? ? 2 数 a 的取值范围是( )

若 f(a)>f(-a),则实

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) (4)(2014·中山模拟)已知函数 f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若 f(x)>1 在区间 [1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为________.

4

[自主解答] (1)要使

x+ x-1

有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1 且

x≠1.
(2)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,∴log3 3<log32<log33,log51<log52<log5 5 , log23>log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1. 2 2 ∴c>a>b. (3)由题意可得
? ?a>0, ? ?log2a>-log2a, ?

a<0, ? ? 或? 1 log -a ? ? 2

2

-a

解得 a>1 或-1<a<0. (4)当 a>1 时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由 f(x)>1 恒成立,则 f(x)min =loga(8-2a)>1, 8 解得 1<a< . 3 若 0<a<1 时,f(x)在 x∈[1,2]上是增函数, 由 f(x)>1 恒成立, 则 f(x)min=loga(8-a)>1, 且 8-2a>0,∴a>4,且 a<4,故不存在.

? 8? 综上可知,实数 a 的取值范围是?1, ?. ? 3? ? 8? [答案] (1)C (2)D (3)C (4)?1, ? ? 3?

对数函数的性质及其应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数的定义域. 要注意对数函数的底数和真数的取值范围, 列出对应的不等式(组) 求解即可. (2)比较对数式的大小. ①若底数为同一常数, 则可由对数函数的单调性直接进行判断; 若底数为同一字母,则需对底数进行分 类讨论. ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. ③若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. (3 )解对数不等式.形如 logax>logab 的不等式,借助 y=logax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论;形如 logax>b 的不等式,需先将 b 化
5

为以 a 为底的对数式的形式.

?1? 1.已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?log30.3,则( ?5?
A.a>b>c C.a>c>b B.b>a>c D.c>a>b

)

10 ?1? 解析:选 C a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?log30.3=5log3 . 3 ?5? 10 又∵log23.4>log3 >1,0<log43.6<1, 3

?1? ∴5log23.4>? ?log30.3>5log43.6,即 a>c>b. ?5?
2.(2014·嘉兴模拟)已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1? 如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)∵a>0 且 a≠1,设 t=3-ax,则 t=3-ax 为减函数,x∈[0,2]时,t 最小值为 3-2a.当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0,即 a< . 2 又 a>0 且 a≠1,

? 3? ∴a∈(0,1)∪?1, ?. ? 2?
(2)t=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)在 R 上为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数.∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小 值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), 3 a< , ? ? 2 即? 3 ? ?a=2,

? ?3-2a>0, ∴? ? -a =1, ?loga

故这样的实数 a 不存在.

——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 种关系——指数式与对数式的 互化

a =N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0).
个注意点——解决对数问题应注意的两点 解决与对数有关的问题时: (1)务必先研究函数的定义域; (2)对数函数的单调性取决 于底数 a,应注意底数的取值范围.
6

b

个关键点——对数函数图象的 画法

?1 ? 画对数函数 y=logax 的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),? ,-1?. ?a ?
种方法——对数值的大小比较方法 (1) 化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量 (0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较.

7


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