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2013-2014学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷


填空题 5 已知集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},则 A∩B=______. {3} 直接利用集合的交集的求法,求出交集即可. 因为集合 A={1,2,3},集合 B={3,4}, 所以 A∩B={3} 故答案为:{3}. 点评:本题考查交集的求法,考查计算能力,送分题.

填空题 5 集合 A={0,1,x},B={x2,y,﹣1},若 A=B

,则 y=______. 0 根据集合关 A=B,得到两个集合元素之间的关系,从而确定 y. ∵A={0,1,x},B={x2,y,﹣1},且 A=B, ∴x=﹣1, 此时集合 A={0,1,﹣1},B={1,y,﹣1}, ∴y=0. 故答案为:0. 点评: 本题主要考查集合关系的应用, 利用集合关系相等确定元素关系是解决此类问题的关 键.

填空题 5 函数 f(x)=ax 1+1(a>0 且 a≠1)恒过定点____________.


(1,2) 令 x﹣1=0,求得 x 和 y 的值,从而求得函数 f(x)=ax 1+1(a>0 且 a≠1)恒过定点的坐标. 令 x﹣1=0,求得 x=1,且 y=2, ﹣ 故函数 f(x)=ax 1+1(a>0 且 a≠1)恒过定点(1,2), 故答案为(1,2). 点评:本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.


填空题 5

函数 f ( x) ? lg x 的定义域为__________________(以区间作答)

[1,+∞) 欲使函数 f ( x) ? lg x 要有意义只需偶次根式下大于等于 0,对数的真数大于 0,建立不等 式组,解之即可. 函数 f ( x) ? lg x 要有意义 则?

?lg x ? 0 ?lg x ? lg1 即? ?x ? 0 ?x ? 0

∴函数 f ( x) ? lg x 的定义域为{x|x≥1} 故答案为:[1,+∞) 点评:本题主要考查了偶次根式函数、对数函数的定义域,以及利用单调性解对数不等式, 属于基础题.

填空题 5

?2 x , x ? 0 1 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( )) =______. 3 ?log3 x, x ? 0
1 2

求出 f(

1 1 )的值,然后求解 f ( f ( )) 的值即可. 3 3

?2 x , x ? 0 因为函数 f ( x) ? ? , ?log3 x, x ? 0
所以 f(

1 1 )= log 3 =﹣1, 3 3 1 3
1 . 2

﹣ 所以 f ( f ( )) =f(﹣1)=2 1=

故答案为:

1 . 2

点评:本题考查函数值的求法,注意分段函数的定义域,考查计算能力.

填空题 5 如果 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,则当 x<0 时,f(x)=____________. ﹣x2+2x 将 x<0 转化为﹣x>0,利用 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,即可求得答案. ∵x<0, ∴﹣x>0, ∵x≥0 时,f(x)=x2+2x, ∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣2x=x2﹣2x, 又 f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x), ∴﹣f(x)=x2﹣2x, ∴f(x)=﹣x2+2x. 故答案为:﹣x2+2x. 点评: 本题考查函数解析式的求解及常用方法, 将 x<0 转化为﹣x>0 是关键, 属于中档题.

填空题 5 已知函数 f(x)=x3+2x+5,f(a)=3,则 f(﹣a)=______. 7 计算 f(﹣a)+f(a)的值,即可得出. ∵函数 f(x)=x3+2x+5, ∴f(﹣a)+f(a)=(﹣a)3﹣2a+5+(a3+2a+5)=10. 而 f(a)=3, ∴f(﹣a)+3=10,解得 f(﹣a)=7. 故答案为 7. 点评:本题考查了函数的奇偶性和计算能力,属于基础题.

填空题 5 已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,那么将这三个数从小到大排列为____________. b<a<c 可根据指数函数与对数函数的性质把 a、b、c 与 0、1 进行比较即可.

∵0<a=log0.70.8<log0.70.7=1,b=log1.10.9<log1.11=0,c=1.10.9>1.10=1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c. 点评:本题考查不等式的比较大小,着重考查指数函数与对数函数的性质,关键在于将 a、 b、c 与 0、1 进行比较,属于基础题.

填空题 5 若函数 y=x2﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 ____________. 2≤a≤8. 先配方,再计算当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2)2﹣4=32,利用定义域为[﹣4, a],值域为[﹣4,32],即可确定实数 a 的取值范围. 配方可得:y=(x﹣2)2﹣4 当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2)2﹣4=32; ∵定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32], ∴2≤a≤8 ∴实数 a 的取值范围为 2≤a≤8 故答案为:2≤a≤8 点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查函数的定义域与值域,正确配方是关键.

填空题 5 函数 y=|log2x|的单调递减区间是____________. (0,1]. 由题,函数 y=|log2x|与函数 y=log2x 图象的关系是可由函数 y=log2x 的图象 X 轴下方的部分 翻到 X 轴上面, X 轴上面部分不变而得到, 结合函数 y=log2x 的性质, 即可得到函数 y=|log2x| 的单调递减区间 由对数函数性质知,函数 y=log2x 是一个增函数,当 x∈(0,1]时,函数值小于等于 0 函数 y=|log2x|的图象可由函数 y=log2x 的图象 X 轴下方的部分翻到 X 轴上面, X 轴上面部分 不变而得到 由此知,函数 y=|log2x|的单调递减区间是(0,1] 故答案为(0,1] 点评: 本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化, 解题的关键是理解绝对值函数与原来 的函数图象间的关系,其关系是:与原函数 X 轴上方的部分相同,X 轴下午的部分关于 X 轴对称,由此关系结合原函数的性质得出此绝对值函数的单调性递减区间

填空题 5

已知函数 f ( x) ? ?

??( x ? 1)2 , ( x ? 1) ?(3 ? a) x ? 4a, ( x ? 1)

为增函数,则实数 a 的取值范围是____________.

﹣1≤a<3. 根据分段函数单调性的定义可知,必须保证每个函数单调递增,且当 x=1 时,f(1)≥0,解不 等式即可. ∵当 x<1 时,函数 f(x)=﹣(x﹣1)2 为增函数,且此时 f(x)<0. ∴要使 f(x)在 R 上是增函数,则当 x≥1 时,f(x)=(3﹣a)x+4a,为增函数, 且此时函数 f(x)的最小值 f(1)≥0,(如图) 即?

?3 ? a ? 0 , ? f (1) ? 0

即?

?a ? 3 , ?3 ? a ? 4a ? 0

∴?

?a ? 3 ,解得﹣1≤a<3. ?a ? ?1

故答案为:﹣1≤a<3.

点评: 本题主要考查分段函数的单调性的性质的应用, 分段函数递增要求每个函数都必须满 足单调递增,且在端点处数值大小也存在相应的大小关系.

填空题 5 已知 a>0,且 a≠1,f(x)=x2﹣ax,当 x∈(﹣1,1)时均有 f(x)< ____________.

1 ,则实数 a 的取值范围是 2

[

1 ,1)∪(1,2]. 2

由 f ( x) ? x ? a , 当x ? (?1,1)时, f ( x) ?
2 x

1 1 1 得 : x 2 ? a x ? ,变形为: x 2 ? ? a x 构造 2 2 2

函数,由函数图象与性质可以得出结论. (1)由 f ( x) ? x ? a , 当x ? (?1,1)时, f ( x) ?
2 x

1 1 1 得 : x 2 ? a x ? 变形为: x 2 ? ? a x ,构 2 2 2

造函数: g ( x) ? x ?
2

1 , h( x) ? a x ,其中 x ? (?1,1) ,a>0,且 a≠1 2

(2)由函数图象知,当 x∈(﹣1,1)时, g(x)的图象在 h(x)的图象下方. 如图:①当 a>1 时,有 h(﹣1)≥g(﹣1), 即a
?1

? (?1) 2 ?

1 ,得 a≤2,即 1<a≤2; 2
2

②当 1 ? a ? 0 时,有 h(1) ? g (1) ,即 a ? 1 ?

1 1 1 ,得 a ? 即 ? a ? 1 2 2 2

有①、②知:实数 a 的取值范围是[

1 ,1)∪(1,2]. 2

答案为[

1 ,1)∪(1,2]. 2

点评: 本题借助二次函数的图象与性质, 指数函数的图象与性质, 考查函数的恒成立问题. 合 理构造函数,用数形结合的方法容易解答.

填空题 5

已知关于 x 的函数 y=

(1 ? t) x ? t 2 (t∈R)的定义域为 D,存在区间[a,b]?D,f(x)的值域也是 x

[a,b].当 t 变化时,b﹣a 的最大值=____________.

2 3 . 3
由函数的单调性可得 a=f(a), 且 b=f(b), 故 a、 b 是方程 x2+(t﹣1)x+t2=0 的两个同号的实数根. 由判别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1,

1 2 2 ).由韦达定理可得 b﹣a= (t ? 1) ? 4t ? 3

?3t 2 ? 2t ?1 ,
利用二次函数的性质求得 b﹣a 的最大值. 关于 x 的函数 y=

(1 ? t) x ? t 2 t2 =(1﹣t)﹣ 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞), x x

且函数在(﹣∞,0)、(0,+∞)上都是增函数.

(1 ? t )a ? t 2 (1 ? t )b ? t 2 故有 a=f(a),且 b=f(b),即 =a, =b. a b
即 a2+(t﹣1)a+t2=0,且 b2+(t﹣1)b+t2=0, 故 a、b 是方程 x2+(t﹣1)x+t2=0 的两个同号的实数根. 由判别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1,

1 ). 3 1 ?3t 2 ? 2t ?1 ,故当 t=﹣ 时,b﹣a 取得最大值 3

2 2 由韦达定理可得 b﹣a= (t ? 1) ? 4t ?



2 3 , 3 2 3 . 3

故答案为

点评:本题主要考查求函数的定义域,以及二次函数的性质,求函数的最值,属于中档题.

填空题 5 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D,且 f(x+k)> f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x >0 时,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若 f(x)为 R 上的“2013 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 __________________.

(??,

671 ). 2

利用奇函数的性质可得 f(x)的解析式, 再利用新定义对 x 分类讨论和绝对值的意义即可得出. ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x<0,则﹣x>0.∴f(﹣x)=|﹣x﹣a|﹣2a=|x+a|﹣2a, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣|x+a|+2a.

?| x ? a | ?2a, x ? 0 ? ∴ f ( x) ? ?0, x ? 0 . ?? | x ? a | ?2a, x ? 0 ?
分类讨论: ①当 x>0 时,由 f(x+2013)>f(x),可得|x+2013﹣a|﹣2a>|x﹣a|﹣2a,化为|x﹣(a﹣2013)|> |x﹣a|,由绝对值的几何意义可得 a+a﹣2013<0,解得 a ?

2013 . 2

②当 x<0 时,由 f(2013+x)>f(x), 分为以下两类研究:当 x+2013<0 时,可得﹣|x+2013+a|+2a>﹣|x+a|+2a,化为|x+2013+a| <|x+a|,由绝对值的几何意义可得﹣a﹣a﹣2013>0,解得 a ?

2013 . 2

当 x+2013>0,|x+2013﹣a|﹣2a>﹣|x+a|+2a,化为|x+2013﹣a|+|x+a|≥|2013﹣2a|>4a,a≤0 时成立;当 a>0 时, a ?

2013 2013 671 ? ,因此可得 a ? . 6 6 2

③当 x=0 时,由 f(2013)>f(0)可得|2013﹣a|﹣2a>0,当 a≤0 时成立,当 a>0 时,a<671. 综上可知:a 的取值范围是 a ?

671 . 2

故答案为 ( ??,

671 ). 2

点评:本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能 方法,属于难题.

解答题 14 已知集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)分别求:A∩B,A∪(?RB); (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. (1)∵A={x|1≤x<6}=[1,6),B={x|2<x<9}=(2,9),全集为 R,

∴A∩B=(2,6),?RB=(﹣∞,2]∪[9,+∞), 则 A∪(?RB)=(﹣∞,6)∪[9,+∞); (2)∵C={x|a<x<a+1},B={x|2<x<9},且 C?B, ∴列得 ?

?a ? 2 , ?a ? 1 ? 9

解得:2≤a≤8, 则实数 a 的取值范围是[2,8]. (1)由 A 与 B 求出 A 与 B 的交集,由全集 U 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可; (2)根据 C 为 B 的子集,由 C 与 B 列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的范 围. 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,以及集合关系中的参数取值问题,熟练掌握各 自的定义是解本题的关键.

解答题 14 计算: (1) (2 ) 2 ? (?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

? (1.5) ?2 ;
1 ? log 5 14 . 50

(2) log 5 35 ? 2 log 2

2 ? log 5

1 1 3 ?2 0 ?2 2 (1) (2 ) ? (?9.6) ? (3 ) 3 ? (1.5) 4 8
= ( ) 2 ?1 ? (

9 4

1

27 ? 2 3 ) 3 ? ( ) ?2 8 2

=

3 3 3 ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ?2 2 2 2
1 ; 2

=

(2) log 5 35 ? 2 log 2

2 ? log 5

1 ? log 5 14 50
1

= log5 35 ? log5 50 ? log5 14 ? 2log 2 2 2 = log 5

35 ? 50 1 ? 2 ? log 2 2 14 2

= log5 53 ? 1 =3+1 =4. (1)化带分数为假分数,化小数为分数,然后利用有理指数幂的运算性质化简求值; (2)首先对以 5 为底数的对数进行运算,把以 2 为底数的对数的真数化为分数指数幂,然后 利用对数的运算性质化简求值. 点评:本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.

解答题 14 某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火 车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每 日能来回 10 次,每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多?并求出每 天最多运营人数. 设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意,y=kx+b 当 x=4 时,y=16;当 x=7 时,y=10; 得方程组: ?

?16 ? 4k ? b ?10 ? 7k ? b

解得:k=﹣2,b=24; ∴y=﹣2x+24 由题意知,每日所拖挂车厢最多时,营运人数最多,现设每日营运 S 节车厢, 则 S=xy=x(﹣2x+24)=﹣2x2+24x=﹣2(x﹣6)2+72, 所以,当 x=6 时,Smax=72;此时 y=12. 所以,每日最多运营人数为 110× 6× 12=7920(人) (1)每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,由此可以求出火车每日来回次数 与所挂车厢个数的解析式; (2)每日营运人数=火车每日来回次数× 所挂车厢个数× 每节车厢所载乘客数. 由此建立函数解 析式,求出最大值. 点评:本题的关键是建立函数模型,求出函数解析式,由解析式求出最大值.这是应用题中 的基础题目.

解答题 16 已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,1]时,方程 f(x)=2x+m 有解,求实数 m 的取值范围;

(3)设 g(t)=f(2t+a),t∈[﹣1,1],求 g(t)的最大值. (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 代入 f(x+1)﹣f(x)=2x 和 f(0)=1,

?a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax 2 ? bx ? c ? 2 x ?2ax ? a ? b ? 2 x( x ? R) 得? ,化简得 ? ; ?c ? 1 ?c ? 1
∴a=1,b=﹣1,c=1,∴f(x)的解析式为 f(x)=x2﹣x+1; (2)当 x∈[﹣1,1]时,方程 f(x)=2x+m 有解, 即方程 x2﹣3x+1=m 在 x∈[﹣1,1]上有解; 令 g(x)=x2﹣3x+1,x∈[﹣1,1],则 g(x)的值域是[﹣1,5], 所以,m 的取值范围是[﹣1,5]; (3)∵g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a﹣2)t+a2﹣a+1,t∈[﹣1,1]; 对称轴是 x=

1 ? 2a , 4

∴①当

1 ? 2a 1 ≥0,即 a≤ 时, 4 2

g(t)max=g(﹣1)=4﹣(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2﹣5a+7; ②当

1 ? 2a 1 <0,即 a> 时, 4 2

g(t)max=g(1)=4+(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2+3a+3;

? 2 a ? 5a ? 7 ? ? 综上所述,g(t)max= ? ?a 2 ? 3a ? 3 ? ?

1 2 . 1 a? 2 a?

(1)设二次函数 f(x)的解析式,代入 f(x+1)﹣f(x)=2x 和 f(0)=1,可求 a、b、c 的值; (2)x∈[﹣1, 1]时, 方程 f(x)=2x+m 有解, 即 x2﹣3x+1=m 在 x∈[﹣1, 1]上有解; 求出 g(x)=x2 ﹣3x+1,x∈[﹣1,1]的值域即是 m 的取值范围; (3)由 g(t)=f(2t+a)是二次函数,图象是抛物线,对称轴是 x=

1 ? 2a ,讨论对称轴在闭区间[﹣ 4

1,1]的左侧还是右侧,从而确定函数的最值问题. 点评:本题考查了求二次函数的解析式与二次函数在闭区间上的最值问题,其中(1)是基础 题(2)是中档题(3)是难题.

解答题 16

已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

2x ? 1 是奇函数. a ? 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 ? 4 (1)由 f(1)+f(﹣1)=0,得 ? 2 ? 0? a ? 2. a ?1 a ?1
检验:a=2 时, f ( x) ?

2x ?1 2? x ? 1 2x (2? x ? 1) 1 ? 2x , f ( ? x ) ? ? ? 2 ? 2 x ?1 , 2 ? 2? x?1 2x (2 ? 2? x?1 ) 2 x?1 ? 2

∴f(x)+f(﹣x)=0 对 x∈R 恒成立,即 f(x)是奇函数. (2)判断:单调递增. 证明:设 x1∈R,x2∈R 且 x1<x2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ? ? ( ? ) 2 ? 2 x1 ?1 2 ? 2 x2 ?1 2 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

= [(1 ?

1 2

2 2 2 2 2 x1 ? 2 x2 , ) ? (1 ? )] ? ? ? 2x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

∵x1<x2? 2 1 ? 2 2 ,即 2 1 ? 2 2 ? 0 .
x x

又 2 1 ? 1 ? 0, 2 2 ? 1 ? 0 ,∴
x x

2 x1 ? 2 x2 ? 0, (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在 R 上是增函数. (3)∵f(x)是奇函数,∴不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0?f(mt2+1)>f(mt﹣1), ∵f(x)在 R 上是增函数,∴对任意的 t∈R,不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0 恒成立, 即 mt2+1>mt﹣1 对任意的 t∈R 恒成立, 即 mt2﹣mt+2>0 对任意的 t∈R 恒成立. m=0 时,不等式即为 2>0 恒成立,合题意; m≠0 时,有 ?

?m ? 0
2 ? ? ? m ? 8m ? 0

即 0<m<8.

综上:实数 m 的取值范围为 0≤m<8 (1)利用 f(1)+f(﹣1)=0,即可解得 a 的值,并利用定义检验即可; (2)判断:单调递增.设 x1∈R,x2∈R 且 x1<x2,只要证明 f(x1)﹣f(x2)<0,即可; (3)利用函数 f(x)的奇偶性和单调性可得:对任意的 t∈R,不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)>0 恒成 立?mt2+1>mt﹣1 对任意的 t∈R 恒成立.对 m 分类讨论和利用二次函数的性质即可得出.

点评:本题综合考查了函数的奇偶性和单调性、“三个二次的关系”、分类讨论等基础知识与 基本技能方法,属于难题.

解答题 16 已知 f (log2 x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? a ,a∈R. (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的方程 f(x)=(a﹣1)?4x (3)设 h(x)=2 xf(x), a ?


1 a ?1 时,对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 | h( x1 ) ? h( x2 ) |? 成立,求 2 2

a 的取值范围. (1)令 log2x=t 即 x=2t,则 f(t)=a?(2t)2﹣2?2t+1﹣a, 即 f(x)=a?22x﹣2?2x+1﹣a,x∈R, (2)由 f(x)=(a﹣1)?4x 化简得:22x﹣2?2x+1﹣a=0 即(2x﹣1)2=a, 当 a<0 时,方程无解, 当 a≥0 时,解得 2 ? 1 ? a ,
x

若 0≤a<1,则 x ? log2 (1 ? a) , 若 a≥1,则 x ? log2 (1 ? a) , (3)对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 | h( x1 ) ? h( x2 ) |?

a ?1 成立,等价于 2

当 x∈[﹣1,1]时, hmax ? hmin ?

a ?1 1? a x , h( x ) ? a ? 2 ? x ? 2 , 2 2

令 2x=t,则 y ? at ?

1? a 1 ? 2, t ? [ , 2] , t 2

令 g (t ) ? at ?

1? a 1 ? 2, t ? [ , 2] , t 2 1? a 1 ? 2, t ? [ , 2] 单调递增, t 2

①当 a≥1 时, g (t ) ? at ?

此时 g (t ) max ? g (2) ?

3(a ? 1) 1 3a 6a ? 3 a ? 1 ? ,g (t ) min ? g ( ) ? ? ,g (t ) max ? g (t ) min ? 2 2 2 2 2

即a ?

4 (舍), 5

②当

4 1? a 1 ? a ? 1 时, g (t ) ? at ? ? 2, t ? [ , 2] 单调递增 5 t 2 3(a ? 1) 1 3a 6a ? 3 a ? 1 ? ,g (t ) min ? g ( ) ? ? ,g (t ) max ? g (t ) min ? 2 2 2 2 2

此时 g (t ) max ? g (2) ?

即a ?

4 4 ∴a ? , 5 5

③当

1 4 1? a 1 ? a ? 时, g (t ) ? at ? ? 2, t ? [ , 2] 2 5 t 2

在[ ,

1 2

1 1 ? 1] 上单调递减,在 [ ? 1, 2] 上单调递增 a a
1 2 3(a ? 1) 1 , g (t )min ? g ( ? 1) ? 2 a(1 ? a) ? 2 , 2 a

且 g (2) ? g ( ) ∴ g (t ) max ? g (2) ?

∴ g (t ) max ? g (t ) min ?

3(a ? 1) a ?1 4 ? (2 a(1 ? a) ? 2) ? 即a ? , 2 2 5



1 4 ?a? , 2 5 1 4 ?a? . 2 5

综上:

(1)令 log2x=t 即 x=2t,从而求出 f(t)的解析式,最后将 t 用 x 替换即可求出所求; (2)将 f(x)=(a﹣1)?4x 进行配方得(2x﹣1)2=a,讨论 a 可得方程的解的情况; (3)将“对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 | h( x1 ) ? h( x2 ) |?

a ?1 成立”转化成“当 x∈[﹣1,1]时, 2

hmax ? hmin ?

a ?1 恒成立”讨论研究函数 h(x)的最值,从而求出 a 的取值范围. 2

点评:本题是一道综合题,主要考查了函数的解析式,解指数方程,以及函数恒成立问题, 同时考查了转化的思想和运算求解的能力,属于中档题.


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