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3.3.2.1简单线性规划


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3.3.2.1 简单的线性规划
学习目的: 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念; 2.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题 3.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗

透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学 生“建模”和解决实际问题的能力 学习重点:用图解法解决简单的线性规划问题. 学习难点:准确求得线性规划问题的最优解 课堂过程: 一、复习引入: 1. 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所 得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正 负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为 此特殊点) 2.先分别作出 x=1,x-4y+3=0,3x+5y-25=0 三条直线,再找出不等式组所表示的平面
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区域(即三直线所围成的封闭区域).再作直线 l 0 :2x+y=0

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然后,作一组与直线的平行的直线: l :2x+y=t,t∈R(或平行移动直线 l 0 ) ,从而观察 t 值的变化: t ? 2 x ? y ? [3,12]
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T

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t=3
22 C(1, ) 5 T B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14
-4 -2

8

8

7

7

T 22 C(1, ) 5

t=7.47

7

t=12
C(1, 22 ) 5 B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14

2

1

1

1

-4

-2

-4

-2

二、讲解新课: 1. 请同学们来看这样一个问题:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设 t=2x+y,式中变量 x、y 满足下列条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
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求 t 的最大值和最小值 分析:从变量 x、y 所满足的条件来看,变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面 区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.
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作一组与直线的平行的直线: l :2x+y=t,t∈R(或平行移动直线 l 0 ) ,从而观察 t 值的 变化: t ? 2 x ? y ? [3,12]
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9

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t=3
C(1, T B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14
-4 -2

8

8

7

7

T C(1, 22 ) 5

t=7.47

7

t=12
C(1, 22 ) 5 B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14

6

6

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5

4

22 ) 5

5

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3

3

3

2

2

B(5,2) A(1,1)
2 4 6 8 10 12 14

2

1

1

1

-4

-2

-4

-2

从图上可看出,点(0,0)不在以上公共区域内,当 x=0,y=0 时,t=2x+y=0. 点(0,0)在直线 l 0 :2x+y=0 上. 作一组与直线 l 0 平行的直线(或平行移动直线 l 0 ) l :2x+y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x+y>0, 即 t>0. 而且,直线 l 往右平移时,t 随之增大(引导学生一起观察此规律). 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中,以经过点 B(5,2)的 直线 l 2 所对应的 t 最大,以经过点 A(1,1)的直线 l1 所对应的 t 最小.所以: t max =2× 5+2=12, t min =2×1+3=3
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2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 诸如上述问题中,不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关 于 x、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所 涉及的变量 x、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析 式,所以又可叫做线性目标函数 另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题.例如: 我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小 值的问题,即为线性规划问题 那么, 满足线性约束条件的解 x,y)叫做可行解, ( 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5,2)和(1,1)分 别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解
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三、讲解范例: 例 1 已 知 x 、 y 满 足 不 等 式 组

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? ,试求 z=300x+900y 的最大值时 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
的整点的坐标,及相应的 z 的最大值 分析:先画出平面区域,然后在平面区域内 寻找使 z=300x+900y 取最大值时的整点 解: 如图所示平面区域 AOBC, A 点 (0, 125) , 点 B(150,0) ,点 C 的坐标由方程组
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y 2x+y=300 A C x+2y=250 O 150 B 250 x

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l:x+3y=0
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350 ? ?x ? 3 ?2 x ? y ? 300 ? ?? ? ? x ? 2 y ? 250 ? y ? 200 ? 3 ?
得 C(

350 200 , ) , 3 3 1 t x? , 3 900

令 t=300x+900y, 即 y=-

t 的最大值,从而可求 t 的最大值, 900 1 t 1 1 因直线 y=- x ? 与直线 y=- x 平行,故作与 y=- x 的平行线,当过点 A(0,125) 3 3 3 900
欲求 z=300x+900y 的最大值,即转化为求截距 时,对应的直线的截距最大,所以此时整点 A 使 z 取最大值,zmax=300×0+900×125=112500
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?3 x ? y ? 300 ? 例 2 求 z=600x+300y 的最大值,使式中的 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 250的整数值. ? x ? 0, y ? 0 ?
分析: 画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解:可行域如图所示: 四边形 AOBC,易求点 A(0,126) B(100,0) , 由方程组:

y 3x+y=300 A C x+2y=252 O B 100 2x+y=0 252 x

3 ? x ? 69 3x ? y ? 300 ? ? ? 5 ?? ? ? x ? 2 y ? 252 ? y ? 91 1 ? 5 ?
3 1 得点 C 的坐标为(69 ,91 ) 5 5

因题设条件要求整点(x,y)使 z=600x+300y 取最大值,将点(69,91)(70,90)代入 ,

z=600x+300y,可知当 ?
×70+300×900=69000
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? x ? 70 时,z 取最大值为 zmax=600 ? y ? 90
y
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?x ? 2 y ? 2 ? 例 3 已知 x、y 满足不等式 ?2 x ? y ? 1 ,求 z=3x+y 的 ? x ? 0, y ? 0 ?
最小值 分析:可先找出可行域,平行移动直线 l0:3x+y=0, 找出可行解,进而求出目标函数的最小值 解:不等式 x+2y≥2,表示直线 x+2y=2 上及右上方
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P x+2y=2 O 0.5 2 2x+y=1 3x+y=0 x

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的点的集合; 不等式 2x+y≥1 表示直线 2x+y=1 上及右上方的点的集合. 可行域如图所示: 作直线 l 0 :3x+y=0,作一组与直线 l 0 平行的直线 l :3x+y=t,(t∈R)
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∵x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知: 当直线 l :3x+y=t 通过 P(0,1)时,t 取到最小值 1,即 zmin=1. 评述: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题 目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 四、课堂练习: 1.请同学们结合课本 P64 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
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? y ? x, ? (1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 l 0 :2x+y=0 上. 作一组与直线 l 0 平行的直线

y

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 A(2,-1) C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

l :2x+y=t,t∈R.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中,以经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y

?5 x ? 3 y ? 15, ? 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
解:不等式组所表示的平面区域如图所示: 从图示可知, 直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公 共区域内的点时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的 t 最小,以经过点(

y

9 17 , )的直线所对应的 t 最大. 8 8

x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

zmax=3×

9 17 +5× =14 8 8

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五、小结 :用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);
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2.设 t=0,画出直线 l 0

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3.观察、分析,平移直线 l 0 ,从而找到最优解
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4.最后求得目标函数的最大值及最小值 六、课后作业:课本 93 页习题 3.3 A 组 3、4
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