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黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


黑龙江省哈师大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0) , (0,2)的椭圆的标准方程是() A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1

2. (5 分)椭圆 5x +ky =5 的一个焦点为(0,2) ,那么 k 的值为() A. B. 2 C. D.1 3. (5 分)在空间中下列结论中正确的个数是() ①平行于同一直线的两直线平行;②垂直于同一直线的两直线平行; ③平行于同一平面的两直线平行;④垂直于同一平面的两直线平行. A.1 B. 2 C. 3 D.4 4. (5 分)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ()

2

2

A.
2

B.

C.

D.

5. (5 分)设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴距离是 6,则点 p 到该抛物线焦点的距离是() A.12 B. 8 C. 6 D.4 6. (5 分)正方体 AC1 中,点 P、Q 分别为棱 A1B1、DD1 的中点,则 PQ 与 AC1 所成的角为 () A.30° B.45° C.60° D.90° 7. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC, CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为()

A.

B.

C.
2

D.

8. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 |MF|+|MA|取得最小值的 M 的坐标为() A.(0,0) B. C. D.(2,2)

9. (5 分)过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是另一焦点,若∠ 则双曲线的离心率 e 等于() A. B. C. D.



10. (5 分) p 为椭圆 () A.

+

=1 上的一点, F1, F2 分别为左、 右焦点, 且∠F1PF2=60° 则|PF1|?|PF2|=

B.

C.

D.

11. (5 分)已知(2,1)是直线 l 被椭圆 () A.x+2y﹣4=0

+

=1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方程是

B.x﹣2y=0

C.x+8y﹣10=0

D.x﹣8y+6=0

12. (5 分)从双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T,

2

2

2

延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|与 b﹣a 的关系为() A.|MO|﹣|MT|>b﹣a B. |MO|﹣|MT|<b﹣a C. |MO|﹣|MT|=b﹣a D.|MO|﹣|MT|与 b﹣a 无关

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知过抛物线 y =6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是.

14. (5 分)已知椭圆 线方程是.

和双曲线

有公共的焦点,那么双曲线的渐近

15. (5 分)在四面体 ABCD 中,AB=1,AD=2 面角 A﹣BC﹣D 的大小为.

,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=

则二

16. (5 分)若抛物线 y =4x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F、M(4,4)且与 l 相切的圆 共有个.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知抛物线 x =4y,直线 y=x+2 与抛物线交于 A,B 两点, (Ⅰ)求 的值;
2

(Ⅱ)求△ ABO 的面积. 18. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,∠ABC= AC 的中点,且 AB=BC=BB1=2. (Ⅰ)求证:AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角. ,D 是棱

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2 PA⊥平面 ABCD,PA=4. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)点 Q 为线段 PB 的中点,求直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值.

,CD=2,

20. (12 分) 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的右焦点 F (

, 0) , 且椭圆 C 经过点 P (



) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交直线 x=m(m>a)于 M 点,若 kPA,kPM, kPB 成等差数列,求实数 m 的值.

21. (12 分)如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平 面 ABCD,∠DAB= ,AD=2,AM=1,E 是 AB 的中点.

(Ⅰ)求证:DE⊥NC; (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 p,使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为 h;若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 AP 的长

22. (12 分)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣ m =0,椭圆 C:

2

+y =1 的左、右焦点分别为 F1,

2

F2, (Ⅰ)当直线 l 过 F2 时,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,△ AF1F2、△ BF1F2 的重心分别为 G、H,若原点在 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

黑龙江省哈师大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0) , (0,2)的椭圆的标准方程是() A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆方程为 Ax +By =1, (4,0) , (0,2)代入可得 16A=1,4B=1,即可求出椭圆 的方程. 解答: 解:设椭圆方程为 Ax +By =1, (4,0) , (0,2)代入可得 16A=1,4B=1, ∴A= ,B= ,
2 2 2 2

∴椭圆的标准方程是

+

=1.

故选:D. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查学生的计算能力,比较基础. 2. (5 分)椭圆 5x +ky =5 的一个焦点为(0,2) ,那么 k 的值为() A. B. 2 C. D.1 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: 把椭圆化为标准方程后,找出 a 与 b 的值,然后根据 a =b +c ,表示出 c,并根据焦 点坐标求出 c 的值,两者相等即可列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值.
2 2

解答: 解:把椭圆方程化为标准方程得:x + 因为焦点坐标为(0,2) ,所以长半轴在 y 轴上, 则 c= =2,解得 k=1.

2

=1,

故选 D. 点评: 此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值,是基础题. 3. (5 分)在空间中下列结论中正确的个数是() ①平行于同一直线的两直线平行;②垂直于同一直线的两直线平行; ③平行于同一平面的两直线平行;④垂直于同一平面的两直线平行. A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: 结合 公理及正方体模型可以判断:①④正确,②③错误,可以利用反证法证明结 论,也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明. 解答: 解:①④正确,②③错误 ①:根据公理 4 可知:平行具有传递性,即如果 a∥b,a∥c,那么 b∥c,所以①正确; ②:如图 1 所示:在正方体 AC1 中,D1A1⊥A1A,B1A1⊥A1A,但是 D1A1∩B1A1=A1,所以 ②错误; ③:如图 1 所示:A1C1∥平面 ABCD,B1D1∥平面 ABCD,但 是 A1C1 与 B1D1 相交,所以 ③错误; ④:如图 2 所示:假设 a⊥α,b⊥α,且 a∩b=A,则过一点有两条直线均垂直于平面 α,故假 设错误,所以④正确. 故选 B.

点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置 关系,考查空间想象能力和思维能力.

4. (5 分)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题. 分析: 由三视图的作法规则,长对正,宽相等,对四个选项进行比对,找出错误选项. 解答: 解:本题中给出了正视图与左视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,左视图与 俯视图宽相等来找出正确选项 A 中的视图满足三视图的作法规则; B 中的视图满足三视图的作法规则; C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项; D 中的视图满足三视图的作法规则; 故选 C 点评: 本题考查三视图的作法,解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正,宽相等, 高平齐,利用这些规则即可选出正确选项. 5. (5 分)设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴距离是 6,则点 p 到该抛物线焦点的距离是() A.12 B. 8 C. 6 D.4 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义将 P 到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案. 2 解答: 解:∵抛物线的方程为 y =8x,设其焦点为 F, ∴其准线 l 的方程为:x=﹣2, 设点 P(x0,y0)到其准线的距离为 d,则 d=|PF|, 即|PF|=d=x0﹣(﹣2)=x0+2 ∵点 P 到 y 轴的距离是 6, ∴x0=6 ∴|PF|=6+2=8. 故选:B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查转化思想,属于中档题. 6. (5 分)正方体 AC1 中,点 P、Q 分别为棱 A1B1、DD1 的中点,则 PQ 与 AC1 所成的角为 ()
2

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 建立坐标系,设正方体的棱长为 2,证明 ? =0,即可求出 PQ 与 AC1 所成的角.

解答: 解:建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0) ,C1(0,2,2) ,Q(0,0,1) ,P(2,1,2) , ∴ ∴ ∴ =(﹣2,﹣1,﹣1) , ? ⊥ =0, , =(﹣2,2,2) ,

∴PQ 与 AC1 所成的角为 90°. 故选:D.

点评: 本题考查异面直线及其所成的角,考查向量法的运用,比较基础. 7. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC, CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为() A. B. C. D.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AC 为 y 轴,以 AP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,由已知条件分别求出向量 和平面 DEF 的一个法向量,利用向量法能求出直线 PA 与平

面 DEF 所成角的正弦值. 解答: 解:以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AC 为 y 轴,以 AP 为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, ∵PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点, AB=AC=1,PA=2, ∴A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,P(0,0,2) , D( ,0,0) ,E( ) ,F(0, ,1) ,

∴ 设

=(0,0,2) ,

=(0, ,0) ,



是平面 DEF 的一个法向量,



,即



取 x=1,则



设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ, 则 sinθ=|cos< >|=| |= .

故选:C.

点评: 本题是立体几何典型题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距 离的计算.在计算问题中,有“几何法”和“向量法”.利用几何法,要遵循“一作、二证、三计 算”的步骤,利用向量则简化了证明过程. 8. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 |MF|+|MA|取得最小值的 M 的坐标为() A.(0,0) B. C. D.(2,2)
2

考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 求出焦点坐标和准线方程,把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|,利用 当 P、A、M 三点 共线时,|MA|+|PM|取得最小值, 2 把 y=2 代入抛物线 y =2x 解得 x 值,即得 M 的坐标. 解答: 解:由题意得 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ ,设点 M 到准线的距离为 d=|PM|,

则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|, 故当 P、A、M 三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣(﹣ )= . 把 y=2 代入抛物线 y =2x 得 x=2,故点 M 的坐标是(2,2) ,
2

故选 D. 点评: 本题考查抛物线的定义和性质得应用,解答的关键利用是抛物线定义,体现了转化 的数学思想.

9. (5 分)过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是另一焦点,若∠ 则双曲线的离心率 e 等于() A. B. C. D.



考点: 双曲线的简单性质;双曲线的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据由题 设条件可知 解答: 解:由题意可知 ∵∠ , ,|F1F2|=2c,由此可以求出双曲线的离心率 e. ,|F1F2|=2c,


2 2 4 2 2 2


4 2 2 4

∴4a c =b =(c ﹣a ) =c ﹣2a c +a , 4 2 整理得 e ﹣6e +1=0, 解得 或 (舍去) 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的离心率,解题要注意时双曲线的离心率大于 1.

10. (5 分) p 为椭圆 () A.

+

=1 上的一点, F1, F2 分别为左、 右焦点, 且∠F1PF2=60° 则|PF1|?|P F2|=

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先设出|PF1|=m,|PF2|=n,利用椭圆的定义求得 n+m 的值,平方后求得 mn 和 m +n 的关系,利用余弦定理中求得 mn 的值. 解答: 解:设|PF1|=m,|PF2|=n, 由椭圆的定义可知 m+n=2a=6, 2 2 ∴m +n +2nm=36, 2 2 ∴m +n =36﹣2nm 由余弦定理可知 cos60°= =
2 2

求得 mn= 故选 B. 点评: 本题主要考查了椭圆的应用,椭圆的简单性质和椭圆的定义.考查了考生对所学知 识的综合运用.

11. (5 分)已知(2,1)是直线 l 被椭圆 () A.x+2y﹣4=0

+

=1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方程是

B.x﹣2y=0

C.x+8y﹣10=0

D.x﹣8y+6=0

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设直线 l 与椭圆 的方程. 解答: 解:设直线 l 与椭圆 + =1 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , + =1 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用点差法能求出直线 l

∵(2,1)是直线 l 被椭圆 ∴x1+x2=4,y1+y2=2,

+

=1 所截得的线段的中点,

把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别代入椭圆

+

=1,得:



两式相减,得: (x1+x2) (x1﹣x2)+4(y1+y2) (y1﹣y2)=0, ∴4(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0, ∴k= =﹣ ,

∴直线 l 的方程为 y﹣1=﹣ (x﹣2) , 整理,得 x+2y﹣4=0. 故选:A. 点评: 本题考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点差法的合理运用.

12. (5 分)从双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T,

2

2

2

延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|与 b﹣a 的关系为() A.|MO|﹣|MT|>b﹣a B. |MO|﹣|MT|<b﹣a C. |MO|﹣|MT|=b﹣a D.|MO|﹣|MT|与 b﹣a 无关 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,设 F′是双曲线的右焦点,连接 PF′.利用三角形的中位线定理和双曲线的 定义可得:|OM|= |PF′|= (|PF|﹣2a)= =|MF|﹣a,于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣

a=|FT|﹣a,连接 OT,则 OT⊥FT,在 Rt△ FOT 中,|OF|=c,|OT|=a,可得 |FT|= =b.即可得出关系式.

解答: 解:如图所示, 设 F′是双曲线的右焦点,连接 PF′. ∵点 M,O 分别为线段 PF,FF′的中点. 由三角形的中位线定理可得: |OM|= |PF′|= (|PF|﹣2a)= =|MF|﹣a,

∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a, 连接 OT,则 OT⊥FT,在 Rt△ FOT 中,|OF|=c,|OT|=a, ∴|FT|= ∴|OM|﹣|MT|=b﹣a. 故选:C. = =b.

点评: 本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与 圆相切的性 质、勾股定理等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知过抛物线 y =6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是
2





考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先根据抛物线方程,求得焦点坐标为 F(
2 2 2

,0) ,从而设所求直线方程为 y=k(x
2 2

﹣ ) .再将所得方程与抛物线 y =6x 消去 y,得 k x ﹣(3k +6)x+ k =0,利用一元二次根
2

与系数的关系,得 x1+x2=

,最后结合直线过抛物线 y =6x 焦点截得弦长为 12,得到

x1+x2+3=12,所以

= 9,解之得 k =1,得到直线的倾斜角.
2

2

解答: 解:∵抛物线方程是 y =6x, ∴2p=6,可得 = ,焦点坐标为 F( ,0) 设所求直线方程为 y=k(x﹣ ) , 与抛物线 y =6x 消去 y,得 k x ﹣(3k +6)x+ k =0 设直线交抛物线与 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由根与系数的关系,得 x1+x2=
2 2 2 2 2 2



∵直线过抛物线 y =6x 焦点,交抛物线得弦长为 12, ∴x1+x2+3= 12,可得 x1+x2=9, 因此, =9,解之得 k =1,
2

∴k=tanα=±1,结合 α∈ 联立 ,得 x ﹣4x﹣8=0,
2

△ =16+32>0, ∴x1+x2=4,x1x2=﹣8,…(2 分) ∴ ,…(4 分) =x1x2+y1y2=﹣8+4=﹣4.…(5 分) = ,…(7 分)



(Ⅱ)原点 O 到直线 y=x+2 的距离 d= |AB|=

= ∴S△ ABO= =

=4 =4

,…(9 分) .…(10 分)

点评: 本题考查向量的数量积的求法,考查三角形面积的求法,解题时要认真审题,注意 韦达定理和弦长公式的合理运用.

18. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,∠ABC= AC 的中点,且 AB=BC=BB1=2. (Ⅰ)求证:AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角.

,D 是棱

考点: 直线 与平面平行的判定;异面直线及其所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连结 CB1 交 BC1 于点 O,利用三角形中位线的性质证明 AB1∥OD,即可证明 AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)确定∠DOB 为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角或其补角,再求异面直线 AB1 与 BC1 所 成的角. 解答: (Ⅰ)证明:连结 CB1 交 BC1 于点 O, ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴侧面 BB1C1C 是矩形, ∴O 为 B1C 的中点,且 D 是棱 AC 的中点,∴AB1∥OD,…(4 分) ∵OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D …(6 分) (Ⅱ)解:∵AB1∥OD,∴∠DOB 为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角或其补角.…(8 分) ∵∠ABC= ,AB=BC=BB1=2,

∴BD= ,OD= ,OB= , ∴△OBD 为等边三角形,∴∠DOB=60°, ∴异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 60°.…(12 分)

点评: 本题考查线面平行,考查线线角,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是正 确运用线面平行的判定定理. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2 PA⊥平面 ABCD,PA=4. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)点 Q 为线段 PB 的中点,求直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值. ,CD=2,

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: 方法一、运用空间直角坐标系的坐标法解决.以 A 为原点,AB,AD,AP 为 x,y, z 轴建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,得到向量 BD,AC,AP 的坐标,运用数量积 为 0,得到 BD⊥AP,BD⊥AC,进而证得(Ⅰ) ; 再由平面 PAC 的一个法向量为 ,运用向量的夹角公式,即可得到直线 QC 与平面 PAC 所成

角的正弦值. 方法二、通过平面几何中勾股定理的逆定理,计算得到 BD⊥AC,再由线面垂直的性质和判 定定理,即可得证(Ⅰ) ;连 PO,取 PO 中点 H,连 QH,由 QH⊥平面 PAC,得到∠QCH 是 直线 QC 与平面 PAC 所成的角.再解三角形 QCH,即可得到所求值. 解答: (法一) (Ⅰ)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图, B(4,0,0) ,D(0,2 ,0) ,P(0,0,4) ,A(0,0,0) , C(2,2 ,0) ,Q(2,0,2) , 则 =(﹣4,2 =(0,2 ,0) , =(0,0,4) , =(2,2 ,0) ,

,﹣2) ,



=0,

=0,

∴BD⊥AP,BD⊥AC,又 AP∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,平面 PAC 的一个法向量为 设直线 QC 与平面 PAC 所成的角为 θ, 则 sin = = , =(﹣4,2 ,0) ,

所以直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 (法二) (Ⅰ)证明:设 AC∩BD=O, ∵CD∥AB,∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2, Rt△ DAB 中,DA=2 同理,OA= CA= ,AB=4,∴DB=2
2 2 2



,∴DO= DB=



,∴DO +OA =AD ,即∠AOD=90°,∴BD⊥AC,

又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD, 由 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)解:连 PO,取 PO 中点 H,连 QH,则 QH∥BO, 由(Ⅰ)知,QH⊥平面 PAC ∴∠QCH 是直线 QC 与平面 PAC 所成的角. 由(Ⅰ)知,QH= BO= ,

取 OA 中点 E,则 HE= PA=2,又 EC= OA+OC= Rt△ HEC 中,HC =HE +EC = ∴Rt△ QHC 中,QC=2 ,∴sin∠QCH= , .
2 2 2

∴直线 QC 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,考查线面垂直的判定和性质及运用,考查线 面所成的角的求法,考查运算能力,属于中档题.

20. (12 分) 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的右焦点 F (

, 0) , 且椭圆 C 经过点 P (



) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交直线 x=m(m>a)于 M 点,若 kPA,kPM, kPB 成等差数列,求实数 m 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)由题意可得

,解除即可;

(2)设直线 l:y=k(x﹣
2 2

) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,ym) ,将直线方程代入椭
2 2

圆方程 x +4y =4 中,得(1+4k )x ﹣8 得 km 的方程,消掉 k 可求 m;

x+12k ﹣4=0,利用斜率公式及等差中项公式可

2

解答: 解: (1)由题意,得

,解得 a =4,b =1,

2

2

∴椭圆 C 的方程为 (2)设直线 l:y=k(x﹣
2

. ) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,ym) ,
2 2 2

将直线方程代入椭圆方程 x +4y =4 中,得(1+4k )x ﹣8

x+12k ﹣4=0,

2

则 x1+x2=





此时 ∴kPA+kPB=+ =2k﹣

=k﹣



=k﹣



=2k﹣

=2k﹣

. ,

又 M(m,ym)在直线 l 上,∴



=k﹣



∵kPA,kPM,kPB 成等差数列, ∴2kPM=kPA+kPB,则 2k﹣ =2k﹣ ,解得 m= .

点评: 本题考查椭圆的方程性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项及斜率公式,考查学 生的运算求解能力. 21. (12 分)如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平 面 ABCD,∠DAB= ,AD=2,AM=1,E 是 AB 的中点.

(Ⅰ)求证:DE⊥NC; (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 p,使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为 h;若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 AP 的长

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明:DE⊥DC,ND⊥DE,可得 DE⊥平面 NDC,即可证明 DE⊥NC; (Ⅱ)以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,求出平面 PEC 的一个法向量、平面 ECD 的法向量.利用向量的夹角公式,建立方程,即可得出结论. 解答: (Ⅰ)证明:菱形 ABCD 中,AD=2,AE=1,∠DAB=60°,∴DE= . 2 2 2 ∴AD =AE +DE ,即∠AED=90o,∵AB∥DC,∴DE⊥DC …①…(1 分) ∵平面 ADNM⊥平面 ABCD,交线 AD,ND⊥AD,ND?平面 ADNM,∴ND⊥平面 ABCD, ∵DE?平面 ABCD,∴ND⊥DE …②…(2 分) 由①②及 ND∩DC=D,∴DE⊥平面 NDC ∴DE⊥NC …(4 分) (Ⅱ)解:设存在 P 符合题意. 由(Ⅰ)知,DE、DC、DN 两两垂直,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D﹣xyz(如图) ,

则 D(0,0,0) ,A( ∴ 则 =(0,﹣1,h) ,

,﹣1,0) ,E( =(﹣

,0,0) ,C(0,2,0) ,P(

,﹣1,h) (0≤h≤1) .

,2,0) ,设平面 PEC 的法向量为 =(x,y,z) , h, ) …(7 分)

,令 x=2,则平面 PEC 的一个法向量为 =(2h,

取平面 ECD 的法向量 =(0,0,1) ,…(9 分) ∴cos = ,解得 h= ∈,

即存在点 P,使二面角 P﹣EC﹣D 的大小为

,此时 AP=



…(12 分)

点评: 本题考查线面垂直,考查二面角,考查向量法的运用,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

22. (12 分)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣ m =0,椭圆 C:

2

+y =1 的左、右焦点分别为 F1,

2

F2, (Ⅰ)当直线 l 过 F2 时,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,△ AF1F2、△ BF1F2 的重心分别为 G、H,若原点在 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程 . 分析: (Ⅰ)把 F2 代入直线方程求得 m,则直线的方程可得. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .直线与椭圆方程联立消去 x,根据判别式大于 0 求得 m 的 范围,且根据韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2,根据△ AF1F2、△ BF1F2 的重心分别为 G、H,可 知 G,H 的坐标,进而根据原点在以线段 GH 为直径的圆内,所以 <0 求得 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)由已知 c= ,l 交 x 轴于( ,0)为 F2(c,0) , = , <0,即 x1x2+y1y2

得 m= …(3 分) (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 因为△ AF1F2、△ BF1F2 的重心分别为 G、H,所以 G( , ) ,H( , )

因为原点在以线段 GH 为直径的圆内,所以 直线 l:x﹣my﹣ m =0,椭圆 C:
2 2 2 2

<0,即 x1x2+y1y2<0 …(5 分)
2

+y =1 联立可得 2y +my+
2

﹣1=0

则由△ =m ﹣8(

﹣1)=﹣m +8>0,知 m <8,①…(6 分) . ) (my2+ )+y1y2=(m +1) (
2

且有 y1+y2=﹣ ,y1y2= ∴而 x1x2+y1y2=(my1+ 所以
2

…(7 分) )

<0,即 m <4

又因为 m>1 且△ >0 所以 1<m<2. 所以 m 的取值范围是(1,2) .…(12 分) 点评: 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.


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