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高考知识点巡查专题15带电粒子在电场中的运动


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专题十五 带电粒子在电场中的运动 雷区扫描? 本部分常见的失分点有: 1.建立不起正确的运动情境; 2.不能顺利运用力学中学过的方法. 造成失误的根源在于:1.对带电粒子的受力分析不准、不全,或没有搞清有些力的大小 和方向的改变,而导致运动情景的建立有误;2.对电场力做功的特点以及电场的其他性质掌

握不准、理解不深;3.对电势能与其他形式的能之间的转化情况有模糊认识,或运用能量守 恒、动能定理等规律有错误;4.没有全面正 确地认识电场强度、电场力、速度和动量等的矢量性,等等. 排雷示例? 例 1.(2001 年上海) 一束质量为 m、电量为 q 的带电粒子以平行于两极板的速度 v0 进入匀强电场,如图 15 —1 所示.如果两极板间电压为 U,两极板间的距离为 d、板长为 L.设粒子束不会击中极板, 则粒子从进入电场到飞出极板时电势能的变化量为____.(粒子的重力忽略不计)

图 15—1 雷区探测此题目讨论的是带电粒子在电场中的偏转问题, 考查考生对带电粒子在电场中 偏转问题的处理方法的掌握和运用能的转化和守恒定律处理问题的能力. 雷区诊断出错的考生一是不能正确运用运动合成分解的方法处理问题, 二是不能用能量 守恒定律找出电势能变化量与其他能量变化量间的关系. 带电粒子以 v0 速度进入匀强电场,在 v0 方向上做匀速直线运动,在垂直于极板方向上 受电场力的作用, 做初速为零的匀加速运动, 加速度 a=
Uq dm

, 离开电场时的速度 v⊥=

Uq dm

·

L

v0

电场力对粒子做正功,粒子的动能增加.由能量守恒转化定律可知,粒子电势能的变化量Δ Ep 等于 粒子动能的增量Δ Ek.则有Δ Ep=Δ Ek,Δ Ek=
1 2

mvt2-

1 2

mv02=

1 2

mvT2=

q U L
2

2

2

2 2

.

2 md v 0

正确解答

q U L
2

2

2

2 2

2 md v 0

例 2.(1998 年上海) 质量为 m、而电量为+q 的小球用一绝缘细线悬于 O 点,开始时它在 A、B 之间来回摆 动,OA、OB 与竖直方向 OC 的夹角均为θ ,如图 15—2 所示. (1)如果当它摆动到 B 点时突然施加一竖直向上的、 大小为 E=mg/q 的匀强电场,则此时 线中拉力 T1=___________; (2)如果这一电场是在小球从 A 点摆到最低点 C 时突然加上去的,则当小球运动到 B 点
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时线中的拉力 T2=__________.

图 15—2 雷区探测本题考查了物体的受力分析、圆周运动、牛顿定律、机械能守恒定律等多方面 的知识.同时考查学生建立物理情境、分析综合等多方面的能力. 雷区诊断小球在摆动过程中,突然加上电场后,小球的受力情况会发生突变,但小球的 速度不会突然变化. (1)小球摆到 B 点时,速度为零,突然加向上的电场,小球受到的电场力为 F=qE=mg,小球受到的合力为零 所以 T1=0 (2)小球摆到平衡位置时,由机械能守恒定律可得 mgL(1-cosθ )= 所以 v =2gL(1-cosθ ) 这时突然加上电场后,小球仍然做圆周运动,由牛顿定律得: F+T2-mg=
mv L
2 2

1 2

mv2

2

所以 T2=

mv L mv L

+mg-qE

2

所以 T2=

=2mg(1-cosθ )

正确解答 (1)0 (2)2mg(1-cosθ ) 例 3.(2000 年苏、浙、吉) 如图 15—3 所示,直角三角形的斜边倾角为 30°,底边 BC 长为 2L,处在水平位置, 斜边 AC 是光滑绝缘的,在底边中点 O 处放一正电荷 Q,一个质量为 m、电量为 q 的带负电 的质点从斜面顶端 A 沿斜边滑下,滑到斜边上的垂足 D 时速度为 v.则

图 15—3 (1)在质点的运动中不发生变化的是 ①动能 ②电势能与重力势能之和 ③动能与重力势能之和 ④动能、 电势能、 重力势
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能三者之和 A.①② B.②③ C.④ D.② (2)质点的运动是 A.匀加速运动 B.匀减速运动 C.先匀加速后匀减速的运动 D.加速度随时间变化的运动 (3)该质点滑到非常接近斜边底端 C 点时速率 vC 为多少?沿斜面向下的加速度 aC 为 多少? 雷区探测这是一道力电综合题, 考查考生对电场性质的理解, 分析物理过程建立物理情 境的能力,运用能量守恒定律、牛顿第二定律分析处理问题的能力、数学运算能力和空间想 象能力. 雷区诊断带电质点在斜面上运动过程中, 所受电场力是变力, 因此其运动的加速度必然 是变化的.运动过程中重力和电场力对带电质点做功,实现了动能、重力势能和电势能间的 相互转化,由能量守恒可知三者之和是不变的.由于 D 点和 C 点与正电荷 Q 的距离相等,这 样从 D 到 C 的过程中电场力做的功为零,且 q 所受电场力的大小相等,若能分析到这里, 问题便可解决了. 正确解答 (1)C (2)D (3)因 BO=
BC 2

=BD=OC=OD,则 B、C、D 三点在以 O 为圆心的同一圆周上,是 O

点处点电荷 Q 产生的电场中的等势点,所以,q 由 D 到 C 的过程中电场力做功为零,由机 械能守恒定律 mgh=
1 2

mv2c-

1 2

mv2
1 2


3 2 3L 2

其中 h= AD

sin60°= BC

sin30°sin60°=2L×

×

=

vC= v 2 ?

3 gL


kQq L
2

质点在 C 点受三个力的作用:电场力 f= 向下;支撑力 N,方向垂直于斜面向上. 根据牛顿定律 mgsinθ -fcosθ =maC 解得,aC=
1 2

,方向由 C 指向 O 点,重力 mg,方向竖直

③ ④

g-

3 2

kQq mL
2

例 4.(1997 年全国) 如图 15—4(a)所示.真空中电极 K 发出的电子(初速度不计),经过 U0=1000 V 的加速电 场后,由小孔 S 沿水平金属板 A、B 间的中心线射入,A、B 板长 l=0.20 m,相距 d=0.020 m, 加在 A、B 两板间的电压 U 随时间 t 变化的 U—t 图 如图 15—4(b)所示,设 A、B 间电场可看成是均匀的,且两板外无电场.在每个电子通过 电场区域的极短时间内,电场可视作恒定的.两板右侧放一记录圆筒.筒的左侧边缘与极板右 端距离 d=0.15 m,筒绕其竖直轴匀速转动.周期 T=0.20 s,筒的周长 s=0.20 m,筒能接收到
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通过 A、B 板的全部电子. (1)以 t=0 时(见图 15—4(b)),此时 U=0)电子打在圆筒记录纸上的点作为 xy 坐标系的原 点, 并取 y 轴竖直向上, 试计算电子打在记录纸上最高点的 y 坐标和 x 坐标.(不计重力作用).

图 15—4 (2)在给出的坐标纸(图 15—4(c))上定量地画出电子打在记录纸上的点形成的图线. 雷区探测本题是综合性很强的考题.它考查了学生对电场、运动学、动力学、能量守恒 以及数学的平面几何等知识的理解和掌握情况, 并考查学生的分析、 归纳及综合运用知识解 题的能力. 雷区诊断解答此题时考生出现的错误很多,有的甚至束手无策,主要表现为: 1.有些考生根本就没有搞清物体的受力情况及运动情景, 在脑子里没有明确的解题思路. 2.有些考生对极短时间内电压几乎不变,按匀强电场分析电子的运动情况不理解,解题 卡壳,下面不能进行. 3.有些考生将电场外的电子轨迹也看成抛物线的一部分,导致结果错误. 4.有些考生对电子打在匀速转动的圆筒上时的轨迹如何不清楚,导致画图象错误,甚至 根本没有画出. 正确解答 (1)本题可以分为加速、偏转、放大和扫描四个阶段. 加速阶段: 从电极 K 发出的电子初速度为零, 设经加速电场后由小孔 S 沿中心线射入 A、 B 板之间,由能量关系,得:
1 2

mv02=eU0



偏转阶段:电子以 v0 沿 A、B 两水平金属板中心线射入后,由于受到垂直于 A、B 板的 匀强电场作用,电子将发出偏转,偏转情况与电场强度有关,又与入射速度 v0 有关.在每个 电子通过电场的区域的极短时间内,电场可视为恒定的,因而电子在 A、B 间可看作是平抛 运动,沿中心线方向电子匀速运动,速度为 v0;沿垂直 A、B 板的方向,电子匀加速运动, 初速度为 0,加速度 a=
eU md

,显然如果在 A、B 两金属板所在电压 U 的值超过某一极限值

Uc,则电子要打在 A、B 板上,而不能穿越电场区域,设出极限电压 Uc,则
1 eU 2 md
c

(

l v0

)2=

1 2

d



由①、②联立可求出 Uc,Uc= 代入数据得,Uc=20 V

2d U 0 l
2

2

放大阶段:电子刚从 A、B 板射出后,偏转为

d 2

,一般是较小的,为了提高精度,我们

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把记录圆筒放在离 A、B 板距离为 d 处,这样电子打在记录圆筒上的偏转就放大了,与极限 电压 Uc 相对应的 y 向分速度为: Uyc=
eU md
c

(

l v0

)



射出电场区后电子匀速直线运动,可求最大 y 坐标.
y? 1 2 b d
U

=

yc



v0

由①、③两式代入数据得: y=
bd l

+

d 2

=2.5 cm



扫描阶段: 如果记录电子偏转的工具是一个不动的记录屏, 则不同时刻的电子打在屏上 时得到一条竖直线, 为了能显示出不同时刻电子的偏转情况, 我们用一个能绕竖直轴匀速转 动的记录圆筒来代替固定的记录屏.由于圆筒的匀速转动,不同时刻打在圆筒记录纸上的电 子的 x 轴坐标是不同的.若取 x 轴与竖直的转轴垂直, t=0 时电子打到圆筒记录纸上的点为 以 坐标原点,则 t 时刻打在记录圆筒上的 x 轴坐标为:x=
t T

s



其中 T 为圆筒运动的周期,s 为圆筒的周长. 从题图 15—4(b)中可以看出,加在 A、B 两板间的电压 U 随 t 是做周期性变化的.周期 T0=0.1 s,在每个周期内只有 U<Uc=20 V 时才能有电子射出,因此在每个周期 T0 内,只有开 始一段时间Δ t 内有电子打在记录纸上,所以 Δ t=
U U
c m

T0=0.02 s



为了求出电子在记录纸上打出的痕迹,我们可以求出几个最高点的 x 坐标. x1=
?t T

s=2 cm



第二个最高点的 x 坐标为 x2=
? t ? T0 T

s=12 cm



第三个为: x3=
? t ? 2T 0 T

=22 cm



由于记录筒的周长仅为 20 cm,所以第三个最高点已与第一个最高点重合,即电子打在 记录纸上的最高点只有两个,它们分别由 x1 和 x2 来表示. (2)电子打在记录纸上所形成的图线如图 15—5 所示.

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图 15—5 排雷演习? 1.在正点电荷形成电场中,有一带正电的粒子由静止释放,则 A.粒子在电场中一定沿直线运动 B.粒子的加速度越来越大 C.粒子的速度越来越大 D.粒子的电势能越来越大 2.两块等大的平行金属板间有一匀强电场, 一电子以初速度 v0 平行金属板射入电场, 不 计重力,从电场中射出时电子的动能增加了 E,动量改变了 p,若电子以 2v0 的初速度按原 路射入,则射出时动能增加量和动量增加量分别为 A. C.
E

,

p

B. D.

E 4 E 4

,

p 4 p 2

2 2 E p





2 2 3

4

3.一质量为 m 的带电小球, 在竖直方向的匀强电场中以水平初速度抛射出去, 小球的加 速度大小为 g,则小球在下落高度 h 的过程中
1 3

A.小球动能增加

mgh
1 3

B.小球电势能增加

mgh

C.小球重力势能减少 mgh D.小球机械能减少
2 3

mgh

4.图 15—6 中 A、B 是一对中间开有小孔的平行金属板,两小孔的连线与金属板面相垂 直,两极板的距离为 l,两极板间加上低频交流电压,A 板电势为零,B 板电势 u=U0cosω t, 现有一电子在 t=0 时穿过 A 板上的小孔射入电场.设初速度和重力的影响均可忽略不计,则 电子在两极板间可能

图 15—6
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A.以 AB 间的某一点为平衡位置来回振动 B.时而向 B 板运动,时而向 A 板运动,但最后穿出 B 板 C.一直向 B 板运动,最后穿出 B 板,如果ω 小于某个值ω 0,l 小于某个值 l0 D.一直向 B 板运动,最后穿出 B 板,而不论ω 、l 为任何值 5.如图 15—7 所示,A、B 为平行金属板,两板相距为 d,分别与电源两极相连,两板的 中央各有一小孔 M 和 N.今有一带电质点,自 A 板上方相距为 d 的 P 点由静止自由下落(P、 M、N 在同一竖直线上),空气阻力忽略不计,到达 N 孔时速度恰好为零,然后沿原路返回. 若保持两极板间的电压不变,则

图 15—7 A.把 A 板向上平移一小段距离,质点自 P 点自由下落后仍能返回 B.把 A 板向下平移一小段距离,质点自 P 点自由下落后将穿过 N 孔继续下落 C.把 B 板向上平移一小段距离,质点自 P 点自由下落后仍能返回 D.把 B 板向下平移一小段距离,质点自 P 点自由下落后将穿过 N 孔继续下落 6.如图 15—8,电子在电势差为 U1 的加速电场中由静止开始运动,然后射入电势差为 U2 的两块平行极板间的电场中,射入方向跟极板平行,整个装置处在真空中,重力可忽略, 在满足电子能射出平行板区的条件下, 下述四种情况下, 一定能使电子的偏转角θ 变大的是

图 图 15—8 15—8 A.U1 变大、U2 变大 B.U1 变小、U2 变大 C.U1 变大、U2 变小 D.U1 变小、U2 变小 7.质量为 m, 电量为 q 的质点, 在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动到 B 点, 其速度方向改变θ (弧度),AB 弧长为 S,则 A、B 两点间电势差 UAB 为____,AB 弧中点处 场强大小 E 为____. 8.如图 15—9,半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有质量为 m 的带正 电的珠子,空间存在水平向右的匀强电场,珠子所受静电力为重力的 最低点 A 由静止释放,则珠子所能获得的最大动能为____.
3 4

倍,将珠子从环上

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图 15—9 9.(2003 上海,23)为研究静电除尘,有人设计了一个盒状容器,容器侧面是绝缘的透 明有机玻璃, 它的上下底面是面积 A=0.04 m2 的金属板, 间距 L=0.05 m, 当连接到 U=2500 V 的高压电源正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场,如下图所示.现把一定量均匀 分布的烟尘颗粒密闭在容器内,每 m3 有烟尘颗粒 1013 个,假设这些颗粒都处于静止状态, 每个颗粒带电量为 q=+1.0×10-17C, 质量为 m=2.0×10-15 kg,不考虑烟尘颗粒之间的相互作用 和空气阻力,并忽略烟尘颗粒所受重力.求合上电键后: (1)经过多长时间烟尘颗粒可以被 全部吸附?(2)除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功?(3)经过多长时间容器中烟尘 颗粒的总动能达到最大?

图 15—10 10.有一束电子,质量为 m,电量为 e,以平行于 Ox 轴的速度 v0,从 y 轴上的 a 点射入 第一象限,如图 15—11 所示,为了使这束电子能够经过 x 轴上的 b 点,可在第一象限内某 处加一个方向沿 y 轴正方向的匀强电强,如果此电场强度为 E,沿 y 轴方向无限长,沿 x 轴 方向的宽度为 s,已知 Oa=l,Ob=2 s,求所加电场的边界线与 b 点的距离.

图 15—11

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11.如图 15—12 所示,在场强为 E 的匀强电场中,一个质量为 m,带电量为 q 的小球, 由静止从 a 点沿光滑绝缘的圆形轨道运动到 c 点.已知 mg=2qE,圆形轨道半径为 R, 并在竖直 平面内,求 ab 的最小值.(Oc 在同一水平面内,ab⊥bc).

图 15—12

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