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2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)


2009 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设 7 分和 0 分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,解答题中至少 4 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一,填空(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x 99 1. 若函数 f ( x ) = 且 f ( n ) ( x ) = f f f f ( x ) ,则 f ( ) (1) = . . 2 1+ x
n

1 答案】 【答案】 10
1 【解析】 f ( ) ( x ) = f ( x ) = 解析】

x

1 + x2

,
x

f(

2)

( x) = ( x) =

f f ( x ) =

1 + 2x2

……
1 + 99 x 2 1 故 f (99 ) (1) = . 10
f(
99 )

x

.

9 则圆心 M 到直线 AC 的距离 d = AM sin 45° , 由直线 AC 与圆 M 相 【解析】设 A ( a , a ) , 解析】 34 . 2 解得 3 ≤ a ≤ 6 .

已知直线 L : x + y 9 = 0 和圆 M : 2 x 2 + 2 y 2 8 x 8 y 1 = 0 ,点 A 在直线 L 上, B , C 为圆 M 上两点,在 ABC 中, ∠BAC = 45° , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围 . 为 答案】 6 【答案】 [3 , ] 2. .

交,得 d ≤

3.

y≥0 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 y≤2 x 不等式 t ≤ x ≤ t + 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤1 ,则 M 和 N 的公共面积是函 数 f (t ) = .

1 2 解析】 【解析】 由题意知 f ( t ) = S阴影部分面积

【答案】 t 2 + t + 答案】

y

= SAOB SOCD S BEF 1 1 2 = 1 t 2 (1 t ) 2 2 1 = t 2 + t + 2

A C D F E B x

O

1 1 1 1 + + + < a 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n +1 n + 2 2n + 1 3 a 的值为 . 【答案】 2009 答案】 1 1 1 解析】 + + + . 显 然 f ( n) 单 调 递 减 , 则 由 f ( n) 的 最 大 值 【解析】 设 f ( n ) = n +1 n + 2 2n + 1 1 f (1) < a 2007 ,可得 a = 2009 . 3

4. .

使不等式

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 上任意两点 P ,Q ,若 OP ⊥ OQ ,则乘积 OP OQ 的最 a 2 b2 小值为 . 2 2 2a b 答案】 【答案】 2 a + b2 解析】 【解析】 设 P ( OP cosθ ,OP sin θ ) ,

5. .

椭圆

π π Q OQ cos θ ± ,OQ sin θ ± . 2 2 由 P , Q 在椭圆上,有

1 OP 1 OQ
2 2

= =

cos 2 θ sin 2 θ + 2 a2 b sin 2 θ cos 2 θ + a2 b2

① ②

①+② 得 1 1 1 1 + = 2+ 2. 2 2 a b OP OQ 于是当 OP = OQ = 2a 2 b 2 2 a 2b 2 时, OP OQ 达到最小值 2 . a 2 + b2 a + b2 .

6.

若方程 lg kx = 2lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

【答案】 k < 0 或 k = 4 答案】 kx > 0 解析】 【解析】 x + 1 > 0 2 kx = ( x + 1)
当且仅当 kx > 0 x +1 > 0 x2 + ( 2 k ) x + 1 = 0 ① ② ③

对③由求根公式得 1 x1 , x2 = k 2 ± k 2 4k 2



= k 2 4k ≥ 0 k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ)当 k < 0 时,由③得

x1 + x2 = k 2 < 0 x1 x2 = 1 > 0 所以 x1 , x2 同为负根. x +1 > 0 又由④知 1 x2 + 1 < 0 所以原方程有一个解 x1 .

(ⅱ)当 k = 4 时,原方程有一个解 x =

k 1 =1 . 2 x + x = k 2 > 0 (ⅲ)当 k > 4 时,由③得 1 2 x1 x2 = 1 > 0

所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 ≠ x2 ,不合题意,舍去. 综上可得 k < 0 或 k = 4 为所求. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最 后一行的数是 (可以用指数表示) 98 答案】 【答案】 101 × 2 解析】 【解析】 易知: (ⅰ)该数表共有 100 行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 = 1 , d 2 = 2 , d3 = 22 ,…, d 99 = 298 (ⅲ) a100 为所求. 设第 n ( n≥ 2 ) 行的第一个数为 an ,则
an = an 1 + ( an1 + 2n2 ) = 2an 1 + 2n2 = 2 2 an 2 + 2 n 3 + 2 n 2 = 22 2an 3 + 2n4 + 2 × 2n2 + 2n2 = 23 an 3 + 3 × 2n2

7. .

…… = 2n 1 a1 + ( n 1) × 2n2
= ( n + 1) 2n2

故 a100 = 101× 298 .

8.

某车站每天 8 00 ~ 9 00 , 9 00 ~ 10:00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 : : : 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻 概率

8 10 : 9 10 : 1 6

8 30 : 9 30 : 1 2

8 50 : 9 50 : 1 3
(精确到分).

一旅客 8 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 : 答案】 【答案】 27 解析】 【解析】 旅客候车的分布列为 候车时间(分) 概率 10 1 2 30 1 3 50 1 1 × 6 6

70 1 1 × 2 6

90 1 1 × 3 6

候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 × + 30 × + 50 × + 70 × + 90 × = 27 2 3 36 12 18 二,解答题 1. . (本小题满分 14 分)设直线 l : y = kx + m (其中 k , m 为整数)与椭圆 交于不同两点 A , B ,与双曲线
x2 y2 + =1 16 12

x2 y2 = 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直 4 12

线 l ,使得向量 AC + BD = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请 说明理由. y = kx + m 解析】 消去 y 化简整理得 【解析】 由 x 2 y 2 =1 + 16 12

( 3 + 4k ) x
2

2

+ 8kmx + 4m 2 48 = 0 8km 3 + 4k 2

设 A ( x1 ,y1 ) , B ( x2 ,y2 ) ,则 x1 + x2 =
1 = ( 8km ) 4 ( 3 + 4k 2 )( 4m 2 48 ) > 0
2



………………………………………………4 分 y = kx + m 由 x2 y 2 消去 y 化简整理得 =1 4 12

(3 k ) x
2

2

2kmx m 2 12 = 0 2km 3 k2

设 C ( x3 ,y4 ) , D ( x4 ,y4 ) ,则 x3 + x4 =
2 = ( 2km ) + 4 ( 3 k 2 )( m 2 + 12 ) > 0
2



………………………………………………8 分

因为 AC + BD = 0 ,所以 ( x4 x2 ) + ( x3 x1 ) = 0 ,此时 ( y4 y2 ) + ( y3 y1 ) = 0 .由
x1 + x2 = x3 + x4 得 8km 2km = . 3 + 4k 2 3 k 2

所以 2km = 0 或

4 1 = .由上式解得 k = 0 或 m = 0 .当 k = 0 时,由①和 3 + 4k 2 3 k 2

②得 2 3 < m < 2 3 . m 是整数, 因 所以 m 的值为 3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 . 当
m = 0 ,由①和②得 3 < k < 3 .因 k 是整数,所以 k = 1 , 0 , 1 .于是满足条 件的直线共有 9 条.………14 分

2.

(本小题 15 分)已知 p , q ( q ≠ 0 ) 是实数,方程 x 2 px + q = 0 有两个实根 α , β , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(用 α , β 表示); (Ⅱ)若 p = 1 , q =
1 ,求 {an } 的前 n 项和. 4

数列 {an } 满足 a1 = p , a2 = p 2 q , an = pan1 qan 2 ( n = 3 , , ) 4

【解析】方法一: 解析】 (Ⅰ)由韦达定理知 α β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以

整理得 an β an 1 = α ( an1 β an2 ) 数列 {bn } 的首项为:

an pxn 1 qxn 2 = (α + β ) an 1 αβ an2 , ( n = 3 , , , ) 4 5

令 bn = an+1 β an , bn+1 = α bn ( n = 1, , ) . 则 2 所以 {bn } 是公比为 α 的等比数列.
b1 = a2 β a1 = p 2 q β p = (α + β ) αβ β (α + β ) = α 2 .
2

所 以 bn = α 2 α n 1 = α n+1 , 即 an+1 β an = α n +1
an+1 = β an + α n+1 ( n = 1,2 , ) .

( n = 1,2 , )

. 所 以 ,




an +1

= p 2 4q = 0
n +1



,

α =β ≠0

,
n +1

an+1 = β an + α
n +1

( n = 1,2 , ) 变为 an+1 = α an + α

( n = 1,2 , ) .整理得,

a1 = p = α + α = 2α

a = 1 , ( n = 1,2 , ) .所以,数列 nn 成公差为 1 的等差数列,其 α α α a1 2α = 2 .所以 首项为 =
an
n

α

α

于是数列 {an } 的通项公式为
an = ( n + 1)α n ;……………………………………………………………………

αn

an

= 2 + 1( n 1) = n + 1 .

………5 分 ②当 = p 2 4q > 0 时, α ≠ β ,
an+1 = β an + α n+1 β α n+1 = β an + α β α
= β an +

β β α

α n+1

α β α

α n+1 ( n = 1,2 , ) .

整理得
α n+ 2 α n+1 = β an + , ( n = 1,2 , ) . β α β α α n+1 所 以 , 数 列 an + 成 公 比 为 β 的 等 比 数 列 , 其 首 项 为 β α an+1 + a1 +

α2 α2 β2 α n+1 β2 =α + β + = .所以 an + = β n1 . β α β α β α β α β α
是 数
n +1


an =



{an }













β

n +1

α β α

.………………………………………………10 分
1 1 ,则 = p 2 4q = 0 ,此时 α = β = .由第(Ⅰ)步的结果得, 4 2
n

(Ⅱ)若 p = 1 , q =

1 n +1 数列 {an } 的通项公式为 an = ( n + 1) = n ,所以, {an } 的前 n 项和为 2 2 2 3 4 n n +1 sn = + 2 + 3 + + n 1 + n 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 sn = 2 + 3 + 4 + + + 2 2 2 2 2n 2n+1 1 3 n+3 以上两式相减,整理得 sn = n +1 2 2 2

以 n+3 sn = 3 n . ……………………………………………………………………… 2 ……15 分 方法二: (Ⅰ)由韦达定理知 α β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以
a1 = α + β , a2 = α 2 + β 2 + αβ .



特征方程 λ 2 pλ + q = 0 的两个根为 α , β . ①当 α = β ≠ 0 时,通项 an = ( A1 + A2 n )α n ( n = 1,2 , ) 由 a1 = 2α , a2 = 3α 2 得
( A1 + A2 )α = 2α 2 2 ( A1 + 2 A2 )α = 3α 解 得
n

an = (1 + n )α .……………………………………………………5 分

A1 = A2 = 1

.



② 当 α ≠ β 时 , 通 项 an = A1α n + A2 β n ( n = 1,2 , ) . 由 a1 = α + β ,
a2 = α 2 + β 2 + αβ 得

A1α + A2 β = α + β 2 2 2 2 A1α + A2 β = α + β + αβ
解得 A1 =

α β , A2 = .故 β α β α

an =

α n +1 β n +1 β n+1 α n +1 + = . ………………………………………………… β α β α β α

………10 分 (Ⅱ)同方法一.

3.

【解析】函数的定义域为 [ 0 , ] .因为 解析】 13

(本小题满分 15 分)求函数 y = x + 27 + 13 x + x 的最大和最小值.
y = x + x + 27 + 13 x = x + 27 + 13 + 2 x (13 x )
≥ 27 + 13



x=0





= 3 3 + 13 号 成 立

.



y











3 3 + 13 .……………………………………………5 分

又由柯西不等式得
y2 =

(

x + x + 27 + 13 x

)

2

1 1 ≤ + 1 + ( 2 x + ( x + 27 ) + 3 (13 x ) ) = 121 2 3 所 y ≤ 11 . 以 ……………………………………………………………………………

…10 分 由柯西不等式等号成立的条件,得 4 x = 9 (13 x ) = x + 27 ,解得 x = 9 .故当 x = 9 时 等 号 成 立 . 因 此
y











11.…………………………………………………………………………………15 分

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