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正弦定理、余弦定理总结和应用


高中数学

安徽铜陵

姚老师:13866500720

§ 4.7

正弦定理、余弦定理及其应用
+C=π. 3.解斜三角形的类型 (1) 已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 角 与 一 边 , 用 ____________定理.只有一解. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,用 ____________定理, 可能有___________________. 如 在△ ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如表: A 为锐角 图 形 关 系 式 a=bsinA bsinA<a<b a≥b a> b A 为钝角 或直角

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简 单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 主要考查有关定理的应用、 三角恒等变换的能力、 运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题 工具用于立体几何中的计算或证明,或与三角函数联 系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用 题的形式出现.

1.正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等,即 形外接圆的半径. (2)正弦定理的其他形式: ①a=2RsinA,b= a ②sinA= ,sinB= 2R sinC= 2.余弦定理 (1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍.即 a2= c=
2

解 的 个 数 (3)已知三边,用____________定理.有解时, ,c= , ; ; 只有一解. (4)已知两边及夹角,用____________定理,必有 一解. 4.三角形中的常用公式或变式 (1)三角形面积公式 S△ = = = ____________=____________=____________.其中 R,r 分别为三角形外接圆、内切圆半径. (2)A+B+C=π,则 A=__________, A =__________,从而 sinA=____________, 2 cosA=____________,tanA=____________; A A sin =__________,cos =__________, 2 2 A tan =________.tanA+tanB+tanC=__________. 2 (3)若三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 2b= B ____________ ? 2sinB = ____________ ? 2sin = 2 cos A-C A+C A-C A C 1 ?2cos =cos ?tan tan = . 2 2 2 2 2 3 【自查自纠】
1

.其中 R 是三角









③a∶b∶c=______________________.

,b2= .
2

, ,即为勾股定理. , .
2 2 2

若令 C=90° ,则 c = (2)余弦定理的变形:cosA= cosB= ,cosC=

若 C 为锐角,则 cosC>0,即 a +b ______c ;若 C 为钝角,则 cosC<0,即 a2+b2______c2.故由 a2+b2 与 c2 值的大小比较, 可以判断 C 为锐角、 钝角或直角. (3) 正 、余 弦定 理的 一个重 要作 用 是 实现 边角 ____________,余弦定理亦可以写成 sin2A=sin2B+ sin2C-2sinBsinCcosA, 类似地, sin2B=____________; sin2C=__________________.注意式中隐含条件 A+B

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a b c 1.(1) = = =2R sinA sinB sinC (2)①2RsinB b c 2RsinC ② 2R 2R

陕西)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的 (2013· 边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC 的形状为( ) B.直角三角形 D.不确定 A.锐角三角形 C.钝角三角形

③sinA∶sinB∶sinC 2.(1)b2+c2-2bccosA c2+a2-2cacosB a +b -2abcosC a +b b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 (2) > < 2bc 2ca 2ab (3)互化 sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 3.(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 1 1 4.(1) absinC bcsinA 2 2 +c)r (2)π-(B+C) π B+C - 2 2 1 B+C tan 2 1 acsinB 2 abc 4R 1 (a+b 2
2 2 2 2

解:由已知和正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB = sinA· sinA ,即 sin(B + C) = sinAsinA ,亦即 sinA = π sinAsinA.因为 0<A<π,所以 sinA=1,所以 A= .所以 2 三角形为直角三角形.故选 B. 陕西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的 (2012· π 边分别为 a,b,c.若 a=2,B= ,c=2 3,则 b= 6 ________. 解: 由余弦定理知 b2 = a2 + c2 - 2accosB = 22 +

sin(B+C) -cos(B+C) B+C B+C -tan(B+C) cos sin 2 2

(2 3)2-2×2×2

π 3× cos =4,b=2.故填 2. 6

tanAtanBtanC (3)a+c sinA+sinC

在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的 大小为________.

在△ ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解:∵sinB+cosB= 2, π π B+ ?= 2,即 sin?B+ ?=1. ∴ 2sin? ? 4? ? 4? π π π 又∵B∈(0,π),∴B+ = ,B= . 4 2 4 a b asinB 1 根据正弦定理 = ,可得 sinA= = . sinA sinB b 2 π π ∵a<b,∴A<B.∴A= .故填 . 6 6

解:因为在同一三角形中,角大则边大,边大则 正弦大,反之也成立,故是充要条件.故选 C. 在△ ABC 中,已知 b=6,c=10,B=30° , 则解此三角形的结果有( A.无解 C.两解 ) B.一解

D.一解或两解 c· sinB 5 解: 由正弦定理知 sinC= =, 又由 c>b>csinB b 6 知,C 有两解.也可依已知条件,画出△ ABC,由图 知有两解.故选 C.
2

类型一

正弦定理的应用

△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 解:由 a+c= 2b 及正弦定理可得 sinA+sinC=

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2sinB. 又由于 A-C=90° ,B=180° -(A+C),故 cosC + sinC = sinA + sinC = 2sin(A + C) = 2sin(90° + 2C) = 2sin2(45° +C). ∴ 2sin(45° +C)=2 2sin(45° +C)cos(45° +C), 1 即 cos(45° +C)= . 2 又∵0° <C<90° ,∴45° +C=60° ,C=15° . 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关 系,这是解此题的关键.

2sin

5π asinC π ,c= =2sin . 8 sinA 8 1 1 5π π 2 ∴S△ ABC= bcsinA= × 2sin × 2sin × 2 2 8 8 2 = 2sin 5π π π π 2 π 1 sin = 2cos sin = sin = . 8 8 8 8 2 4 2

类型二

余弦定理的应用

在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, cosB b C 的对边,且 =- . cosC 2a+c (1)求 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ ABC 的面积. a2+c2-b2 解: (1)由余弦定理知, cosB = , cosC 2ac a2+b2-c2 cosB b = ,将上式代入 =- 得 2ab cosC 2a+c a2+c2-b2 2ab b · 2 2 2=- , 2ac a +b -c 2a+c 整理得 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2 3 2 -2accosB,得 13=42-2ac-2accos π,解得 ac=3. 3 1 3 3 ∴S△ ABC= acsinB= . 2 4

江西)在△ ABC 中,角 A,B,C (2012· π π ? 的对边分别为 a , b , c. 已知 A = , bsin ? ?4+C? - 4 π ? csin? ?4+B?=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. π ? ?π ? 解: (1)证明: 对 bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a 应用 π ? ?π ? 正弦定理得 sinBsin? ?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, 即 sinB? = 2 2 ?-sinC? 2sinB+ 2cosB? 2 ? 2 sinC+ 2 cosC? ?2 ?

2 , 整理得 sinBcosC-sinCcosB=1, 即 sin B-C 2

(

)

=1. 3π? π 由于 B,C∈? ?0, 4 ?,∴B-C=2. 3π π (2)∵B+C=π-A= ,又由(1)知 B-C= , 4 2 5π π ∴B= ,C= . 8 8 π asinB ∵a = 2 , A = , ∴ 由正弦定理知 b = = 4 sinA

【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定 理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练 运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方 程思想在解题过程中的运用.

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若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 满足(a+b)2-c2=4, 且 C=60° , 则 ab 的值为( 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 )

三角函数求最值,也可以用余弦定理化边后用不等 式求最值.

解:由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2 -ab,代入(a+b)2-c2=4 中得(a+b)2-(a2+b2-ab) 4 =4,即 3ab=4,∴ab= .故选 A. 3

山东)设△ ABC 的内角 A,B,C (2013· 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB 7 = . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB), 又 a+c=6, b=2, 7 cosB= ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 9 (2)在△ ABC 中,sinB= 1-cos2B= 4 2 , 9

类型三

正、余弦定理的综合应用

全国新课标Ⅱ)△ ABC 的内角 A、 (2013· B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 解: (1) 由已知及正弦定理得 sinA = sinBcosC + sinCsinB.① 又 A=π-(B+C),故 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sinB=cosB. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ ABC 的面积 S= acsinB= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ , 2- 2
2 2

asinB 2 2 由正弦定理得 sinA= = . b 3 因为 a=c,所以 A 为锐角, 所以 cosA= 1 1-sin2A= . 3

10 2 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 27

类型四

判断三角形的形状

在三角形 ABC 中,若 tanA∶tanB=a2∶b2, 试判断三角形 ABC 的形状. a2 sin2A 解法一:由正弦定理,得 2= 2 , b sin B tanA sin2A 所以 = , tanB sin2B sinAcosB sin2A 所以 = ,即 sin2A=sin2B. cosAsinB sin2B 所以 2A=2B,或 2A+2B=π,因此 A=B 或 A+

4

当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ ABC 面积的最大值为 2+1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或 反向多次联用是常用的技巧;(2)已知边及其对角求 三角形面积最值是高考中考过多次的问题,既可用
4

π B= ,从而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2 a2 sin2A tanA 解法二:由正弦定理,得 2= 2 ,所以 = b sin B tanB

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sin A cosB sinA ,所以 = ,再由正、余弦定理,得 sin2B cosA sinB a 2+ c2- b 2 2ac
2 2

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 试设计航行方案 ( 即确定航行方向和航行速度的大 小), 使得小艇能以最短时间与轮船相遇, 并说明理由. 解法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S n mile, 则 S= = 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90° -30° ) 900t2-600t+400= 1 2 t- ? +300, 900? ? 3?

a = ,化简得 (a2- b2)(c2- a2 - b2)= 0,即 b b +c -a 2bc
2

a2=b2 或 c2=a2+b2. 从而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 【评析】由已知条件,可先将切化弦,再结合正 弦定理,将该恒等式的边都化为角,然后进行三角函 数式的恒等变形,找出角之间的关系;或将角都化成

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小 艇的航行距离最小.

边,然后进行代数恒等变形,可一题多解,多角度思 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 考问题,从而达到对知识的熟练掌握. v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), 上海 ) 在 △ ABC 中,若 sin2A + (2012· sin2B<sin2C,则△ ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) 600 400 故 v2=900- + 2 . t t

B.直角三角形 D.不能确定 600 400 2 3 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900,即 2- ≤0, t t t t 2 2 解得 t≥ .又 t= 时,v=30.故 v=30 时,t 取得最 3 3 2 小值,且最小值等于 . 3 此时,在△ OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可 设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航行速

解:在△ ABC 中,∵sin2A+sin2B<sin2C,∴由正 a2+b2-c2 <0,即∠C 为 2ab

弦定理知 a2+b2<c2.∴cosC=

钝角,△ ABC 为钝角三角形.故选 C.

类型五

解三角形应用举例

某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到 一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 n mile 的 A 处, 并 以 30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设 该小艇沿直线方向以 v n mile/h 的航行速度匀速行驶, 经过 t h 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航 行速度的大小应为多少?
5

度为 30 n mile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇. 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮 船沿正东方向匀速行驶, 则小艇航行方向为正北方向.

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置相遇. 设∠COD=θ(0° <θ<90° ),则在 Rt△ COD 中, 设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△ OAC 中,OC= 20cos30° = 10 3 , AC = 20sin30° =10. 又 AC=30t,OC=vt, 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小 艇的航行距离最小. (2)假设 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 又∠OAD=60° ,所以 AD=DO=OA=20,解得 2 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题 航行方向为北偏东 30° , 航行速度的大小为 30 n mile/h. 目提供的信息,找出三角形中的数量关系,然后利用 这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 正、 余弦定理求解. ②解三角形的方法在实际问题中, 证明如下: 有广泛的应用.在物理学中,有关向量的计算也要用 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10, 到解三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三角 形为背景的应用题开始成为热点问题之一.③不管是 故 OC>AC ,且对于线段 AC 上任意点 P ,有 OP≥OC>AC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 题的草图,再将其归结为属于哪类可解的三角 故小艇与轮船不可能在 A,C 之间 (包含 C)的任意位 形. ④本题用几何方法求解也较简便.
6

10 3 CD=10 3tanθ,OD= . cosθ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分 10+10 3tanθ 10+10 3tanθ 10 3 别为 t= 和 t= ,所以 30 vcosθ 30 = 10 3 . vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin(θ+30° ) 又 v≤30,故 sin(θ+30° )≥ 3 ,从而,30° ≤θ<90° . 2 3 . 3

由于 θ=30° 时, tanθ 取得最小值, 且最小值为

10+10 3tanθ 于是, 当 θ=30° 时, t= 取得最小值, 30 2 且最小值为 . 3 【评析】 ①这是一道有关解三角形的实际应用题,

什么类型的三角应用问题,解决的关键都是充分理解 题意,将问题中的语言叙述弄明白,画出帮助分析问

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公因式,否则有可能漏掉一种形状. 武汉5月模拟)如图,渔船甲位于 (2012· 岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿 正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. 3.要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列, 则必有一角为 60° ;若三内角的正弦值成等差数列, 则三边也成等差数列;内角和定理与诱导公式结合产 A 生的结论: sinA=sin(B+C), cosA=-cos(B+C), sin 2 =cos B+C ,sin2A=-sin2(B+C),cos2A=cos2(B+ 2

C)等. 4.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般 步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示 意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与 求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角 (1)求渔船甲的速度; (2)求 sinα 的值. 解: (1)依题意, ∠BAC=120° , AB=12, AC=10× 2 =20,在△ ABC 中,由余弦定理知 BC2=AB2+AC2- 2AB· AC· cos∠BAC = 12 + 20 - 2× 12× 20× cos120° =
2 2

形的模型; (3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形, 求得数学模型的解; (4) 检验:检验上述所求得的解是否符合实际意 义,从而得出实际问题的解. 5.正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理, 它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与 几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接 圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断 三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.主 要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何 法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化 思想及分类讨论思想.

784,BC=28. 28 所以渔船甲的速度为 v= =14(海里/小时). 2 (2)在△ ABC 中,AB=12,∠BAC=120° ,BC= 28, AB BC 12 ∠BCA=α, 由正弦定理得 = , 即 sinα sin∠BAC sinα = 28 12sin120° 3 3 ,从而 sinα= = . sin120° 28 14

1.已知两边及其中一边的对角解三角形时,要 注意解的情况,谨防漏解. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中 的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系 (注意应用 A+B+C=π 这个结论)或边边关系,再用 三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等) 求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取
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