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高中数学课件 第四章 第四节 《数系的扩充与复数的引入》


1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

1.复数的概念

2.有关的充要条件

3.复习的模及共轭复数

[思考探究]

任意两个复数

能比较大小吗?
提示:不一定.只有这两个复数都是实数时才能比较大小.

4.复数的四则运算
设z1=a+bi,z2=c+di,a、b、c、d∈R

1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值
为 A.1 C.1或2 ∴a=2. B.2 D.-1 ( )

解析:由纯虚数的定义知,a2-3a+2=0且a-1≠0,

答案:B

2.在复平面内,复数z= A.第一象限 C.第三象限 解析: 答案:D

对应的点位于 B.第二象限 D.第四象限

(

)

3.已知复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|=|z2|,则实 数a等于 A.1 C.1或-1 B.-1 D.±1或0 ( )

解析:|z1|=

|z2|=



∴a2+4=5,即a=±1. 答案:C

4.已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=
解析:(a-i)2=a2-2ai-1,

.

∴a2-2ai-1=2i,故
答案:-1

得a=-1.

5.设 为复数z的共轭复数,若复数z同时满足z- =2i,=
iz,则z= .

解析:设z=a+bi,则 =a-bi,

∴z=-1+i.
答案:-1+i

1.复数的分类(a+bi)
2.处理有关复数概念的问题,首先要找准复数的实部与 虚部(若复数为非标准的代数形式,则应通过代数运算 化为代数形式),然后根据定义解题.

当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+ 3m+2)i, (1)为纯虚数; (2)为实数;

(3)对应的点在复平面内的第二象限内. [思路点拨]

[课堂笔记] (1)若z为纯虚数,则
解得m=3.

(2)若z为实数,则
解得m=-1或m=-2. (3)若z的对应点在第二象限,则 解得-1<m<1- 或1+ <m<3.

若将本例中的复数z改为“z= 6)i”,如何求解? 解:(1)若z为纯虚数,则

+(m2+5m+

解得m=3.

(2)若z为实数,则

解得m=-2.

(3)若z对应的点在第二象限,则
即 ∴m<-3或-2<m<3.

两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚

部分别对应相等.解决相关问题时,常利用复数相等的
条件,构造方程组来解决. [特别警示] 利用复数相等可实现复数问题向实数问题的 转化.解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式.

设存在复数z同时满足下列条件: (1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限; (2) z +2iz=8+ai(a∈R).

试求a的取值范围.
[思路点拨]

[课堂笔记] 设z=x+yi(x,y∈R),则 =x-yi.
由(1)知x<0,y>0.

又z +2iz=8+ai(a∈R),
故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai, 即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai, ∴ 即4(y-1)2=36-a2,

∵y>0,∴4(y-1)2≥0,

∴36-a2≥0,即a2≤36,-6≤a≤6,
又2x=a,而x<0,∴a<0,故-6≤a<0, ∴a的取值范围为[-6,0).

1.复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有

虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同
类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的 形式,在运算过程中,要熟悉i的特点及熟练应用运 算技巧.

2.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计 算速度. (1)(1+i)2=2i;(2)(1-i)2=-2i;(3) =i;(4) =

-i;(5)-b+ai=i(a+bi);(6)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2= -1,i4n+3 =-i,n∈N*.

计算:

[思路点拨]

[课堂笔记]

高考对本节内容的传统考法是:以选择题或填空 题的形式考查复数的基本概念、复数相等以及复数的 代数运算,09年广东高考则借助复数知识设计出了情 境新颖的新定义问题,这是高考命题的一个新方向.

[考题印证]
(2009· 广东高考)设z是复数,a(z)表示满足zn=1的最小 正整数n,则对虚数单位i,a(i)= A.2 C.6 B.4 D.8 ( )

【解析】

a(i)表示in=1的最小正整数n,因i4k=

1(k∈N*),显然n=4,即a(i)=4. 【答案】 B

[自主体验] 设x、y均为实数,i是虚数单位,复数 +i的实

部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复数平面上 的点集用阴影表示为下图中的 ( )

解析:因为

所以由题意得
即 答案:A .画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.

1.(2009· 辽宁高考)已知复数z=1-2i,那么



(

)

解析:由z=1-2i知 =1+2i,

于是
答案:D

2.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

(

)

解析:由z=i· (1+2i)=-2+i可得,复数z对应的点位于 第二象限. 答案:B

3.(2009· 安徽高考)i是虚数单位,若
b∈R),则乘积ab的值是 A.-15 C.3 解析: a+bi, B.-3 D.15

=a+bi(a,
( )

=-1+3i=

∴a=-1,b=3,∴ab=-1×3=-3. 答案:B

4.定义运算:
满足

=ad-bc,若复数z=x+yi(x,y∈R)
= 2,则x= ,y= .

解析:由定义运算知:z-1=2,∴z=3. 由复数相等的定义得:x=3,y=0. 答案:3 0

5.设z的共轭复数是 ,若z+ =4,z· =8,则 解析:令z=x+yi,(x,y∈R),则

等于

.





不难得出

=±i.

答案:±i

6.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)

+(b+2)i}同时满足M∩N?M,M∩N≠?,求整数a、b. 解:依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,
或8=(a2-1)+(b+2)i, 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i. 由①得a=-3,b=±2, 经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去.


② ③

∴a=-3,b=2.
由②得a=±3,b=-2.

又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.
③中,a,b无整数解不符合题意.

综合①、②得a=-3,b=2或a=3,b=-2.


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