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全国高中数学联赛辅导课件(四)函数


竞赛辅导( 函数( 竞赛辅导(四)函数(下)
引入 二次函数

思考1 思考1

思考2 思考

练习

课外思考

1

竞赛辅导( 函数( 竞赛辅导(四)函数(下)
(接上一节) 接上一节)
二次函数是最简单的非线性函数之一,

二次函数 是最简单的非线性函数之一, 有着丰 是最简单的非线性函数之一 富的内涵,它对近代数学乃至现代数学影响深远, 富的内涵,它对近代数学乃至现代数学影响深远,三 个二次即一元二次函数 即一元二次函数、 个二次即一元二次函数、一元二次方程和一元二次 不等式以及它们的基本性质在中学数学教材中都有 深入和反复的讨论和练习,三个二次内涵丰富, 深入和反复的讨论和练习,三个二次内涵丰富,联 系密切, 系密切,同时也是研究包括二次曲线在内的许多内 容和工具,为高考和竞赛的重点考查内容, 容和工具,为高考和竞赛的重点考查内容,历久不 以它为核心内容的重点试题也年年有所变化. 衰,以它为核心内容的重点试题也年年有所变化.

2

二次函数问题 三.二次函数问题 1.二次函数的解析式 1.二次函数的解析式 一般式: ⑴一般式: f ( x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 两根式: ⑵两根式: f ( x) = a( x ? x1 )( x ? x2 ) ⑶顶点式: f ( x ) = a ( x ? h ) 2 + k ,顶点为 ( h, k ) 顶点式:
2.二次函数的图像和性质 2.二次函数的图像和性质 的图像是一条抛物线, ⑴ f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像是一条抛物线,

b 4ac ? b 2 b ) , 对称轴方程为 x = ? 顶点坐标是 ( ? , ,开 2a 4a 2a 口与 a 有关. 有关. b ⑵ 单 调 性 : 当 a > 0 时 , f ( x ) 在 ( ?∞ , ? ] 上 为 减 函 数 , 在 2a b 上为增函数; 时相反. [? , +∞ ) 上为增函数; a < 0 时相反. 2a
3

三、二次函数问题 .(教程 思考 1.(教程 P66 例 8)

设 二 次 函 数 f ( x ) = ax 2 + bx + c(a > 0) , 方 程
1 f ( x) ? x = 0 的两个根 x1 , x2 满足 0 < x1 < x2 < . a 证明: ⑴当 x ∈ (0, x1 ) 时,证明: x < f ( x ) < x1 ;

x1 对称,证明: ⑵设函数 f (x) 的图象关于直线 x = x0 对称,证明: x0 < . 2

注 :该题是一九九七年全国普通高考理工类数 该题是一九九七年全国普通高考理工类数 它综合考查二次函数、 学第 24 题,它综合考查二次函数、二次方程和不 等式的基础知识, 等式的基础知识, 以及灵活运用数学知识和方法分 解决问题的能力. 析、 解决问题的能力. 当年没有几个考生能完整解 答此题. 答此题. 4
分析 答案

从形入手: 从形入手: 抛物线 y=f(x)-x 开口向 =( ) 因此在区间[ 的外部, ( ) 上,因此在区间[x1,x2 ]的外部,f(x)-x (1 的左端得证。 其次, >0, 1) ( 的左端得证。 其次, 抛物线 y=f(x) =( ) 的开口也向上, 的开口也向上,又 x1=f(x1),于是为了证 ( 的右端, 得 1) ( 的右端, 相当于要求证明函数 f(x) ( ) 在区间[0,x 在区间[0, 1]的最大值是 f(x1),这相当 ( (0)≤ 于证明 f(0)≤f(x1),也即 C≤x1,利用韦 (0) ( ≤ 达定理和题设,立即可得. 达定理和题设,立即可得.

y

0

x1

x2

x

从 解 析 式 入 手 : f(x) 是 二 次 函 数 , 从 而 方 程 f(x)-x=0 即 ( ) ( ) =0 ax2+( -1) +c=0( >0)是二次方程,由于 x1,x2 是它的两个根,且方 +(b-1)x+ =0( 0)是二次方程 =0(a> 是二次方程, 是它的两个根, 表达式: 程中 x2 的系数是 a,因此有表达式:f(x)-x=a(x-x1)( -x2)进而,利 ,因此有表达式 ( ) = ( - )(x- 进而, 用二次函数的性质和题设条件,可得第( 问的证明. 用二次函数的性质和题设条件,可得第(1)问的证明.
第二问的证明也是从分析系数(解析式)入手,从而获解. 第二问的证明也是从分析系数(解析式)入手,从而获解.
5

的根, 思考 1 解: ⑴令 F ( x ) = f ( x ) ? x 因为 x1 , x2 是方程 f ( x ) ? x = 0 的根, 所以 F ( x ) = a( x ? x1 )( x ? x2 )
当x ∈ (0, x1 )时,由于x1 < x2 , 得( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0, 又a > 0得F ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0, 即x < f ( x ), x1 ? f ( x ) = x1 ? [ x + F ( x )] = x1 ? x + a ( x ? x1 )( x ? x2 ) = ( x ? x1 )[1 + a ( x ? x2 1 , 所以x1 ? x > 0,1 + a ( x ? x2 ) = 1 + ax ? ax2 > 1 ? ax2 > 0. a b 的根, ⑵ 依题意知 x0 = ? . ∵ x1 , x2 是方程 f ( x ) ? x = 0 的根,即 x1 , x2 是方 2a 的根, 程 ax 2 + (b ? 1) x + c = 0 的根, 因为0 < x < x1 < x2 <
x1 + x2 = ? b ?1 ax x b a( x + x ) ? 1 ax1 + ax2 ? 1 , x0 = ? = 1 2 = . Qax2 < 1, 所以x0 < 1 = 1 . a 2a 2a 2a 2a 2

[评注]证⑴用到了二次函数的零点式 f(x)-x =a(x-x1)( -x2) 评注] ( ) ( - )(x证⑵用到了 x0 = ?

妙!

x + x2 b b?1 , 1 都是二次函数二次方程的基础知识 =? 2a 2 2a
6

年全国高中数学联赛) 思考 2(2002 年全国高中数学联赛) 设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a , b, c ∈ R, a ≠ 0) 且满足条件: 且满足条件: ⑴当 x ∈ R 时, f ( x ? 4) = f (2 ? x ) ,且 f ( x )≥ x ; x +1 2 ) ; ⑵当 x ∈ (0, 2) 时, f ( x ) ≤ ( 2 ⑶ f ( x ) 在 R 上的最小值为 0. 求最大的 m , 使得存在 t ∈ R , 只要 x ∈ [1, m ] , 就 有 f (x + t)≤ x
m 的最大值为 9
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1答案 答案

练习

思考 2 解:∵ f ( x ? 4) = f (2 ? x ) ∴函数的图象图象关于 对称, x = ?1 对称,∴ b = 2a . ①②得 由③得 a ? b + c = 0 ,由①②得 a + b + c = 1 ( x + 1)2 1 1 ∴ a = c = , b = .∴ f ( x ) = 4 4 2 假设存在 t ∈ R ,只要 x ∈ [1, m ] ,就有 f ( x + t ) ≤ x
取 x = 1 有 f ( t + 1) ≤1 得 ?4 ≤ t ≤ 0 , ∴ 对于固定的 t ∈ [ ?4, 0] , 只要 x = m 使 f ( t + m ) ≤ m 成

问题转化为: ∴问题转化为:关于 t 的不等式 f ( t + m ) ≤ m 在 [ ?4, 0] 有 解,求最大的 m .不难求得 m 的最大值为 9
8

立就有: 总成立. 立就有:当 x ∈ [1, m ] 时,就有 f ( x + t ) ≤ x 总成立.

练习 1.若二次函数 f(x)=ax2+bx,有 f(x1)=f(x2)(x1≠x2), 则 f(x1+x2)= 0. .(教程 练习 2.(教程 P70 7 )设 a > 0, a ≠ 1 ,函数 f ( x ) = log a ax 2 ? x 上是增函数, 的取值范围是( 在 [ 3, 4 ] 上是增函数,则 a 的取值范围是(

B)

1 1 (A) a > 1 (B) a > 1 或 ≤ a < 6 4 1 1 1 1 (C) a > 1 或 ≤ a < (D) a > 1 或 < a < 8 4 6 4 .(教程 练习 3.(教程 P71 17 )二次函数 f ( x ) = px 2 + qx + r 中,实数

p q r p , q , r 满足 + + = 0 ,其中 m > 0 , m + 2 m +1 m m 求证: 内恒有解. ) < 0 ;⑵方程 f ( x ) = 0 在 (0,1) 内恒有解. 求证:⑴ pf ( m +1
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答案提示

m pm q r ) = pm ( + + ) 3.⑴ 3.⑴ pf ( 2 m +1 ( m + 1) m + 1 m 分类讨论 ⑵分类讨论 (Ⅰ) p > 0 ①r≥0②r<0 (Ⅱ ) p < 0

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课外思考: 课外思考: 2 1. 已知二次函数 f (x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有 = + > 的图象与 两个不同的公共点, 两个不同的公共点,若 f (c)=0,且 0<x<c 时,f (x)>0. = , < < > .
1 (1)试比较 与 c 的大小; 的大小; 试比较 a

(2)证明:-2<b<- ; 证明:- < <- <-1; 证明:-

a b c (3)当 c>1,t> (3)当 c>1,t>0 时,求证: ,求证 求证: 0. + + >0. t + 2 t +1 t 2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中, 在边长为 以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、乙两个正方形有一边相重叠, 甲 乙两个正方形有一边相重叠, 都有一边落在 BC 上,甲有一顶点 在 AB 上,乙有一顶点在 AC 上) , 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值. 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值.

11

1 (2)证: f (c)=0?ac+b+1=0,∴b=- -ac<- ∵ > c , =-1- <- <-1, 证 = ? + + = ∴ =- a b 1 <-1 ∴ c < ? < ? b > ?2 ,∴-2<b<- . < <- 2a a

1(1)证:∵f (x)的图象与 x 轴有两个不同的公共点 ∴方程 f (x) =0 有两个 证 的图象与 轴有两个不同的公共点,∴ 不同的实根.∵ = , 不同的实根 ∵f (c)=0, c 是方程 f (x)=0 的一个根 设方程的另一根为 x0, ∴ = 的一个根,设方程的另一根为 c 1 1 1 则 c × x0 = , x0 = ,若 < c ,由 0<x<c 时,f (x)>0 得: f ( ) > 0 ,与 若 < < > a a a a 1 1 1 f ( ) = 0 矛盾 又方程 f (x)=0 有两个不同的实根,∴ ≠c,因此 > c 矛盾,又方程 = 有两个不同的实根, , a a a

(3)证:∵0<1<c,∴f (1)>0,即 a+b+c>0 ? b>-a-c 证 < < , > , + + > > - a b c a a c c c c c ?a ?a ?a + + > ? ? + = + > + = t + 2 t + 1 t t + 2 t + 1 t + 1 t (t + 2)(t + 1) t(t + 1) t(t + 1) t(t + 1) t(t + 1) c?a a b c 1 1 > 0 ,故 又∵ > c ,c>1 ∴ a < < 1 ? a<c,∴ > < ∴ 故 + + >0 t ( t + 1) a c t + 2 t +1 t
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2.在边长为 10 的正三角形 ABC ,以如图所示的方式内接两个正方形 在边长为 中 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠, 甲 乙两个正方形有一边相重叠, 都有一边落在 BC上, 甲有一顶点在 AB ,试求这样内接的两个正方形面积和的最小值 上,乙有一顶点在 AC上) 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值. ,试求这样内接的两个正方形面积和的最小值.
设甲、 解:设甲、乙两正方形的边长分别为 x, y , 边上的四条线段之和为: 易知 BC 边上的四条线段之和为:
3 3 3 (1 + ) x + (1 + ) y = 10 ,记 1 + =k, 3 3 3 10 则y= ? x ,设两正方形面积之和为 S , k 10 5 2 50 2 2 则有 S = x + ( ? x ) = 2( x ? ) + 2 , k k k 5 5 当 x = = (3 ? 3) = y 时, k 2 50 450 25 取得最小值, S 取得最小值,其最小值是 Smin = 2 = = (3 ? 3)2 . k 2 13 (3 + 3)2


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