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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式教学设计(导学案)


乌审旗职业中学新授课导学案

使用班级:72 班

编者:郝美丰

8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
【教学目标】 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程. 2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式,并能熟练应用这两个公式解决有关问题. 3. 培养学生勇于发现、勇于探索的

精神以及合作交流等良好品质. 【教学重点】 平面直角坐标系中的距离公式、中点公式. 【教学难点】 距离公式与中点公式的应用. 【复习案】 1.一般地,如果 A(x1),B(x2),则这两点的距离为: 2.一般地,在数轴上,A(x1),B(x2)的中点坐标 x 满足关系式: 【新课学案】 1. 距离公式 探究一 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2).
y B2 B

【结论】 两点的距离公式 探究二 求两点之间的距离的计算步骤: S1 给两点的坐标赋值 x1=?,y1=?,x2=?,y2=? S2 计算两个坐标的差,并赋值给另外两个变量,即 dx=x2-x1,dy=y2-y1;
2 S3 计算 d= d2 x +dy ;

S4 给出两点的距离 d. 例 1 已知 A(2,-4),B(-2,3),求|AB|. 解 因为 x1=2,x2=-2,y1=-4,y2=3,所以 dx=x2-x1=-2-2=-4, dy=y2-y1=3-(-4)=7. 因此
2 |AB|= d2 x +dy

A A2 A1 O B1

C x

过 A,B 分别向 x 轴、y 轴作垂线 AA1,AA2 和 BB1,BB2,垂足分别为 A1,A2,B1,B2,其中 直线 BB1 和 AA2 相交于点 C. 教师提出探究问题,学生根据已有的知识探究问题的解: (1)以上四个垂足的坐标分别是多少? (2)|AC|与|A1B1|关系如何?如何求|A1B1|? (3)|BC|等于多少? (4)在直角三角形 ABC 中,如何求|AB|? (5)你能表示出|AB|吗?

= (-4)2+72 = 65 . 练习一 求两点之间的距离: (1)A(6,2),B(-2,5); (2)C(2,-4),D(7,2). 2. 中点公式 探究三 如图所示,若已知 A(x1,y1),B(x2,y2),那么怎么求它们的对称中心的坐标?
y B2 M2 A A2 A1 O M1 B1 x M B

设 M(x,y)是 A,B 的对称中心,即线段 AB 的中点.过 A,B,M 分别向 x 轴,y 轴作垂线, AA1,AA2,BB1,BB2,MM1,MM2,垂足分别是 A1,A2,B1,B2,M1,M2. 教师提出要探究的问题,学生解答以下问题: (1)你能说出垂足 A1,A2,B1,B2,M1,M2 的坐标吗? (2)点 M 是 AB 中点吗?M1 是 A1,B1 的中点吗?它们的坐标有怎样的关系? (3)M2 是 A2,B2 的中点吗?它们的坐标有怎样的关系? (4)你能写出点 M 的坐标吗? 【结论】 在平面直角坐标系内,两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y)的坐标满足 例 2 求证:任意一点 P(x,y)与点 P?(-x,-y)关于坐标原点成中心对称. 证明 设 P 与 P?的对称中心为(x0,y0),则 x0= y0= x+(-x) =0, 2 y +(-y) =0. 2

教师提出要探究的问题,学生解答以下问题: (1)如果点 P 与 P′关于 x 轴对称,PP′与 x 轴垂直吗?P′的横坐标是多少? (2)PP′与 x 轴的交点 M 是线段 PP′的中点吗?M 点的纵坐标是多少? (3)你能求出 P′的纵坐标吗?怎么求的? (4)由以上分析,点 P′的坐标是多少? (5)你能求出 P′′的坐标吗? 练习三 求下列点关于 x 轴和 y 轴的对称点坐标: A(2,3), B(-3,5), C(-2,-4),D(3,-5).

例 4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点 D 的坐标. 解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同, 所以它们的坐标也相同. 设点 D 的坐标为(x, y),则 -3+5 = =1 ?x+2 2 2 ? y-2 0+2 ? 2 = 2 =1
?x=0 解得? ?y=4

所以坐标原点为 P 与 P′的对称中心. 练习二 求下列各点关于坐标原点的对称点: A(2,3), B(-3,5), C(-2,-4),D(3,-5).

所以顶点 D 的坐标为(0,4). 练习四 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,0),B(2,-4),C(6,2),求顶点 D 的坐标. 例 3 已知坐标平面内的任意一点 P(a,b),分别求它关于 x 轴的对称点 P′,关于 y 轴的对称点 P′′ 的坐标.
y ● P?? ● P(a,b)

O

M



x

● P?

【小结】 1.直角坐标系中两点间的 . 2.直角坐标系中两点的 . 3.点的对称. 【作业】 教材 P70 练习 A 组第 1 题,第 2 题. 教材 P70 练习 B 组第 3 题(选做).


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