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2012~2013学年苏州市高二数学文期末调研测试


2012~2013 学年苏州市高二期末调研测试

数学(文科)
2013.6

注意事项:
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共 4 页, 包含填空题 (第 1 题 ? 第 14 题) 解答题 、 (第 15 题 ? 第 20 题) 本 . 卷满分 160 分,考试时间为

120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔. 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上) ........ 1. 已知集合 A ? {1,2,3 },B ? { x | x ?3 },则 A ∩ B ? 2. 函数 y ? sin( 2x ? ▲ .

π ) 的最小正周期为 3

▲ ▲

. .

3. 命题“ ?x ? ?1, 2? , x2 ? 4 ”的否定是 4. 双曲线
y 2 x2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 3





5. 设 i 是虚数单位,若复数 z 满足

z ? 2 ? 3i ,则复数 z 的虚部为 1? i



. ▲ .

6. 在实数等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? 7. 曲线 y ? x3 ? x2 在点 P(2,4)处的切线方程为 ▲ .

3 8. 设 f ( x) 是定义在 R 上周期为 2 的偶函数,且当 x?[0,1]时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( ) 2
= ▲ .

9. 已知 l,m 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ① l ? ? ,m ? ? ? l ? m ; ② l ∥ ? ,m ? ? ? l ∥ m ; ③ ? ? ? ,? ? ? ? ? ∥ ? ; ④ ? ? ? ,l ? ? ? l ∥ ? . 在上述命题中,所有真命题的序号为 ▲ .

10.已知 cos(? ?

π 1 2π ) ? ,则 cos(2? ? ) 的值为 6 6 3





11.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ( a 为常数)在区间(1,?∞)上是增函数,则 a 的取值范围 是 ▲ .

12.设 P 是直线 x ? y ? b ? 0 上的一个动点,过 P 作圆 x2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA, PB ,若

?APB 的最大值为 60?,则 b =
13.已知函数 y ?





1 1 1 的图象的对称中心为 (0, 0) ,函数 y ? ? 的图象的对称中心为 x x ?1 x

1 1 1 1 的图象的对称中心为 (?1,0) ,??,由此推测,函数 (? ,0) ,函数 y ? ? ? x x ?1 x ? 2 2
y? 1 1 1 1 的图象的对称中心为 ? ? ??? x x ?1 x ? 2 x?n
▲ .

14.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 及公差 d 都是实数,且满足 范围是 ▲ .

2 S 2 S 4 S3 ? ? 2 ? 0 ,则 d 的取值 2 9

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 3 b sin A ? a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b = 3, sin C ? 2 3 sin A ? 0 ,求 a,c 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,BC∥AD,?DAB = 90?,AD = 2 BC,PB?平面 PAD. (1)求证:AD ?平面 PAB; PE (2)设点 E 在棱 PA 上,PC∥平面 EBD,求 的值. EA

P E D

A

B
(第 16 题)

C

17.(本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}的公差 d 大于 0,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .数列{bn}满足 b b b an ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? nn 1 (n ? N *) . 2 2 2 2? (1)求数列{an},{bn}的通项公式; aa a (2)设 cn ? n n ?1 n ? 2 ,求 c n 取得最大值时 n 的值. bn ?1

18.(本小题满分 16 分) x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a > b > 0)的一个焦点为( 2 ,0),且椭圆过点 A( 2 ,1). a b (1)求椭圆的方程; (2)设 M(0,m) m ? 0 ),P 是椭圆上的一个动点,求 PM 的最大值(用 m 表示). (

19.(本小题满分 16 分) 某公司拟制造如图所示的工件(长度单位:米),要求工件的体积为 10 立方米,其中 工件的中间为长方体,上下两端为相同的正四棱锥,其底面边长 AB = a ,高 PO =

3 a .假 8

设工件的制造费用仅与其表面积有关, 已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为 2 千元, 正四 棱锥侧面每平方米建造费用为 4 千元.设工件的制造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 a 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该工件的制造费用最小时 a 的值.
P D O A B C

(第 19 题)

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x2 ? x ? . 3 2 3

(1)若函数 f ( x) 的图象在点 ( 2, f (2) ) 处的切线方程为 9 x ? y ? b ? 0 ,求实数 a , b 的 值; (2)若 a≤ 0 ,求 f ( x) 的单调减区间; (3)对一切实数 a?(0,1),求 f(x)的极小值的最大值.

苏州市 2012-2013 学年高二教学调研测试



学(文科)参考答案

2013.6

一、填空题 1.{ 1,2 } 6.5 11. (??,1] 2. π 3. ?x ? ?1, 2? , x2 ≥4 8. 4. y ? ? 9.①
2 3 x 3

5. ? 1 10.

7. 8x ? y ? 12 ? 0 12. ?2 2

3 2

17 18

n 13. (? ,0) 2

14. (??, ? 2] ? [ 2, ??)

二、解答题 15.解:(1) 3 b sin A ? a cos B , 由正弦定理得 3 sin B sin A ? sin A cos B . ∵ A? (0, π ) ,∴ sin A ? 0 .则 3 sin B ? cos B . ∵ B ? (0, π ) ,∴ tan B ?
3 π .则 B ? . 3 6

?????? 2 分 ?????? 4 分 ?????? 7 分

(注:没有指出角 A,B 的范围,各扣 1 分) (2)? sin C ? 2 3 sin A ? 0 ,由正弦定理得 c ? 2 3a . 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 得 9 ? a2 ? 12a2 ? 2a ? 2 3a ? cos 解得 a = ????? 9 分

π . 6

?????? 11 分 ?????? 14 分

3 7 6 21 .则 c = . 7 7

16.证明:(1)∵PB ?平面 PAD,AD ? 平面 PAD,∴PB ? AD. ???? 2 分 ∵AB ? AD,AB ∩ PB = B,∴AD ? 平面 PAB. (2)连结 AC 交 BD 于点 F,连结 EF. ?? 6 分 ∵PC∥平面 EBD,PC ? 平面 PAC, 平面 EBD ∩ 平面 PAC = EF, ∴PC∥EF. ?????? 9 分
A F B C E D P

?????? 5 分

∵BC∥AD,∴△ADF ∽ △CBF. AF AD ∵AD = 2 BC,∴ ? ? 2 .?? 12 分 FC BC

PE AF 1 则 ? ? . EA FC 2

?????? 14 分

17.解:(1)? ?an ? 是一个公差 d 大于 0 的等差数列,则 a3 ? a6 ? a2 ? a7 .
?a3 ? 5, ?a3 ? a6 ? 16, ∴? 解得 ? ?????? 2 分 ?a6 ? 11. ?a3 a6 ? 55. 则 3d = a6 ? a3 = 6,d = 2.a1 = 1. ∴an = 2n ? 1. ?????? 4 分 bn b2 b3 ? an ? b1 ? ? 2 ? ? ? n?1 (n ?N *) ,① 2 2 2 ?????? 5 分 1? 当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1 ; b bn? b 2? 当 n≥ 2 时, an?1 ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 (n≥2, n ?N *) ,② 2 2 2 2 2 b ① ? ②,得 nn 1 ? an ? an?1 ? 2 . 2? n ∴ bn ? 2 (n≥2) . ?????? 8 分

?1, n ? 1, ? 由 1? , 2? ,得 bn ? ? n ?2 , n≥2, n ? N *. ?

?????? 9 分

(2)设 cn ≤cn?1 ,即

an an ?1an ? 2 an ?1an ? 2 an ?3 ≤ . bn ?1 bn ? 2

?????? 10 分

? an ? 0 ,bn?2 ? 2bn?1 ,∴ 2an ≤an?3 . 7 即 2(2n ? 1)≤2n ? 5 , n≤ (等号不成立). ? 2 ∴c1 ?c2 ?c3 ?c4,c4 ?c5 ? ?. ∴ n ? 4 时, c n 最大.

?????? 12 分 ?????? 14 分

18.解:(1)由题意,c = 2 ,则 a 2 ? b2 ? 2 . 可设椭圆方程为

???? 2 分

x2 y2 ? 2 ?1. b2 ? 2 b 2 1 ∵椭圆过点( 2 ,1),∴ 2 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 2 . ??? 4 分 b ?2 b

(或由椭圆定义,得 2a ? (2 2)2 ? 1 ? 1 ? 4 ,则 a = 2,同样得 2 分) ∴椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1. 4 2

?????? 6 分

2 2 (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 2 y0 ? 4 .

∴ PM 2 ? ( x0 ? 0)2 ? ( y0 ? m)2 ? 2m2 ? 4 ? ( y0 ? m)2 . ????? 9 分
2 2 由 x0 ? 2 y0 ? 4 ,得 y0 ?[? 2, 2] .

????? 11 分

∴当 m? (0, 2] 时,在 y0 = ? m 时,得 PM 的最大值为 4 ? 2m2 ; ????13 分 当 m? ( 2, ??) 时,在 y0 = ? 2 时,得 PM 的最大值为 m ? 2 . ???? 15 分
? 2m 2 ? 4, m ? (0, 2] ? 即 PM max ? ? ?m ? 2, m ? ( 2, ??) ?

???? 16 分

19.解:(1)AB = a ,PO =

3 1 5a 3 .???? 2 分 a ,∴斜高为 ( a ) 2 ? ( a ) 2 ? 8 2 8 8 1 5a 5 ∴一个正四棱锥的侧面积为 S1 ? 4 ? ? a ? ? a2 . 2 8 4

1 3 1 一个正四棱锥的体积为 V1 ? a2 ? a ? a3 . 3 8 8 1 10 1 令长方体的高为 b ,则 a2b ? a3 ? 2 ? 10 .∴ b ? 2 ? a . 8 4 a
由 b ? 0 ,得 0 ? a ? 2 3 5 .

????? 4 分 ????? 6 分 ????? 8 分

5 80 y ? 4ab ? 2 ? a2 ? 2 ? 4 ? 8ab ? 10a2 ? ? 8a2 ,定义域为 (0,2 3 5) .??? 11 分 4 a

(2) y ' ? ?

80 ? 16a ,令 y ' ? 0 ,得 a ? 3 5 . a2

????? 13 分

当 a ? 0, 3 5 , y ' ? 0 ,y 为 a 的减函数; 当a?

?

?

?

3

5, 2 3 5 , y ' ? 0 ,y 为 a 的增函数,

?

????? 15 分 ????? 16 分

(答)该工件的制造费用最小时, a 的值为 3 5 (米).

20.解:(1) f ?( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1(a ?R) , 由 f ?(2) ? 9 ,得 a = 5. 5 1 ∴ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? .则 f (2) ? 3 . 3 3 则(2,3)在直线 9 x ? y ? b ? 0 上.∴b = ?15.

???? 1 分 ???? 2 分

???? 4 分

1 1 1 1 (2)① 若 a ? 0 , f ( x) ? ? x2 ? x ? ? ? ( x ? 1)2 ? , 2 3 2 6 ∴ f ( x) 的单调减区间为(1,?∞). 1 ② 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? a( x ? )( x ? 1), x ?R, a 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ( x ? )( x ? 1) ? 0 .∴ x ? ,或 x ?1. a a 1 ∴ f ( x) 的单调减区间为 (??, ) ,(1,?∞). a 1 (3) f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? ) ,0 ?a ?1, a
列表:

???? 6 分

???? 9 分 ???? 10 分

x
f ?( x) f ( x)

(?∞,1)

1

(1,

1 ) a

1 a
0 极小值



1 ,?∞) a
? ↗

+ ↗

0 极大值

? ↘

???? 12 分

1 a 1 1 1 1 1 ∴f(x) 的极小值为 f ( ) ? ? 3 ? (a ? 1) 2 ? ? a 3 a 2 a 3 a 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ( ? )2 ? . 6 a 2 a 3 6 a 2 24
当a ? ???? 14 分 ???? 16 分

2 1 1 时,函数 f(x) 的极小值 f( )取得最大值为 . a 3 24


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