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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用演练知能检测 文


第九节

函数模型及其应用

[全盘巩固] 1.(2014·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快稳 定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内 完成预测的 运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输 效率(单位时间的运输量)逐步提高的

是( )

解析:选 B 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐 渐增大. 2 .客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然 后以 80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经 过乙地,最 后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间的关系式正确的是 ( 5 A.s(t)=60t,0≤t≤ 2 60t,0≤t≤1, ? ? B.s(t)=? 5 80t-60,1<t≤ ? 2 ? )

60t,0≤t≤1, ? ? C.s(t)=? 5 ?0,1<t≤2 ?

? 3 ? 60,1<t≤ , 2 D.s(t)=? 3 5 ? ?80t-60,2<t≤2
60t,0≤t≤1,

解析:选 D

由 题 意 可 得 路 程 s 与 时 间 t 之 间 的 关 系 式 为 s(t) =

? ?60,1<t≤3, 2 ? 3 5 ? ?80t-60,2<t≤2.
60t,0≤t≤1, 3.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:
1

x y

-2 0.24

-1 0.51

0 1

1 2.02

2 3.98

3 8.02 )

则下列函数与 x,y 的函数关系最接近的是(其中 a,b 为待定系数)( A.y=a+bx C.y=ax +b
2

B.y=a+b D.y=a+

x

b x

解析:选 B 由数据可知 x,y 之间的函数关系近似为指数型. 4.一个人以 6 米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车 25 米时,交通灯由 红变绿,汽车以 1 米/秒 的加速度匀加速开走,那么( A.人可在 7 秒内追上汽车 B.人可在 10 秒内追上汽车 C.人追不上汽车,其间距最少为 5 米 D.人追不上汽车,其间距最少为 7 米 1 2 解析:选 D 设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米,则 s= t ,车与人的间距 d=(s+25) 2 1 2 1 2 -6t= t -6t+25= (t-6) +7,当 t=6 时,d 取得最小值为 7. 2 2
2

)

5. 图形 M(如图所示)是由底为 1, 高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成, 函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函数 S(a) 的图象大致是( )

解析:选 C 法一:依题意,当 0≤a≤1 时,S(a)= 1 当 1<a≤2 时,S(a)= +2a; 2

a

-a 1 2 +2a=- a +3a; 2 2

2

1 5 当 2<a≤3 时,S(a)= +2+a=a+ ; 2 2 1 11 当 a>3 时,S(a)= +2+3= , 2 2

? ? 1 2a+ ,1<a≤2, ? 2 于是 S(a)=? 5 a+ ,2<a≤3, ? 2 11 ? ? 2 ,a>3.
由解析式可知选 C.

1 2 - a +3a,0≤a≤1, 2

法二:直线 y=a 在[0,1]上平移时 S(a)的变化量越来越小,故可排除选项 A、B.而直线

y=a 在[1,2]上平移时 S(a)的变化量比在[2,3]上的变化量大,故可排除选项 D.

6.(2014·温州模拟)某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、 汽车费等约为 1.5 万元.年维修保养费用第一年 3 000 元,以后逐年递增 3 000 元,则这辆 汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年 平均费用最少)是( ) A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年 解 析 : 选 B 当 这 辆 汽 车 使 用 n 年 时 , 相 应 的 年 平 均 费 用 为 15+1.5n+0.3n+

n n-
2

×0.3

n n

1?30 ? 1 ? = ? +0.3n+3.3?≥ ×?2 2? n ? 2 ?

30

n

×0.3n+3.3?,当且

? ?

30 仅当 =0.3n, 即 n=10 时取等号, 因此这辆汽车使用 10 年时, 相应的年平均费用最少. 故 这辆汽车报废的最佳年限是 10 年. 3 7.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae
- bt

(cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

3

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析:依题意有 a·e ln 2 ∴b= , 8 ∴y=a·e- ln 2 ·t 8
-b×8

1 = a, 2

若容器中只有开始时的八分之一,
3

ln 2 1 则有 a·e- ·t= a. 8 8 解得 t=24, 所以再经过的时间为 24-8=16 min. 答案 :16 8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x
2

和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为________万元. 解析: 设该公司在甲地销售 x 辆, 则在乙地销售(15-x)辆, 利润为 L(x)=5.06x-0.15x
2 2 2

153 ? 153?2 +2(15-x)=-0.15x +3.06x+30=-0.15?x- ? +0.15× +30,由于 x 为整数, 15 ? 225 ? 所以当 x=10 时,L(x)取最大值 L(10)=45.6,即能获得的最大利润为 45.6 万元. 答案:45.6 9.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的, 其中 500 元给予九折优惠, 超过 500 元的给予八五折优惠. 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付 款________元. 10 解析:由题意知付款 432 元,实际标价为 432× =480 元,如果一次购买标价 176+ 9 480=656 元的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6 元. 答案:582.6 10 .设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成本与购票进入 旅游景点的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一天 购票人数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x,盈利额为

y 元.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系; (2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时就不出现亏损, 若用提高门票价格的措施, 则每 张门票至少要多少元(取整数)?(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24) 解:(1)根据题意,当购票人数不多于 100 时,可设 y 与 x 之间的函数关系为

y=30x-500-k x(k 为常数,k∈R 且 k≠0).
∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡, ∴30×25-500-k 25=0, 解得 k=50.
4

?30x-50 x-500 x∈N*,x ∴y=? ?30x-50 x- x∈N*,x



(2)设每张门票价格提高为 m 元,根据题意, 得 m×20-50 20-500≥0, ∴m≥25+5 5≈36.2, 故每张门票最少要 37 元. 11.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元) 与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示 1 2 为 y= x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元. 2 (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补 贴多少元才能使该单位不亏损? 解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

y 1 80 000 = x+ -200≥2 x 2 x

1 80 000 x· -200=200, 2 x

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时,上式取等号, 2 x 即当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (2)设该单位每月获利为 S, 1 2 1 ?1 2 ? 2 则 S=100x-y=100x-? x -200x+80 000?=- x +300x-80 000=- (x-300) - 2 2 2 ? ? 35 000, 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. 12.某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一枚 这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价 格销售时该店一年可销售 2 000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元 的基础上每减少一元则增加销售 400 枚, 而每增加一元则减少销售 100 枚, 现设每枚纪念章 的销售价格为 x(元). (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售 价格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域); (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并求
5

出这个最大值. 解:(1)依题意

y=?

?[2 000+ ? ? ?[2 000- ? ? ? ?

-x

x- x-

,0<x≤20, ,20<x<40,

x-
-x -x

∴y=?

x- x-

,0<x≤20, ,20<x<40.

此函数的定义域为(0,40). 400[- x- +81],0<x≤20, ? ? (2)y=? ? ? 47?2 1 089? 100?-?x- ? + ?,20<x<40. ? 2? 4 ? ? ? ? 若 0<x≤20,则当 x=16 时,ymax=32 400(元). 47 若 20<x<40,则当 x= 时,ymax=27 225(元). 2 综上可得当 x=16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32 400 元. [冲击名校] 1.某学校制定奖励条例,对在教育 教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一 个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为 f(n) =
2

k(n)·(n-10), n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均

? ?100 成绩与该科省平均分之差, f(n)的单位为元), 而 k(n)=?200 300 ? ?400
0 A.600 元 C.1 600 元 B.900 元 D.1 700 元

n n n n n

, , , , 现

有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分,而乙所教 的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )

解析:选 D k(18)=200,∴f(18)=200×(18-10)=1 600.又∵k(21)=300,∴f(21) =300×(21-10)=3 300,∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700. 故乙所得奖励比甲所得奖励多 1 700 元. 2.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用 水超过 4 吨时,超过的部分为每吨 3.00 元.若甲、乙两户某月共交水费 y 元,且甲、乙两 户该月用水量分别为 5x 吨、3x 吨,则 y 关于 x 的函数关系式为________.

6

4 解析:依题意可知,当甲、乙两户用水量都不超过 4 吨,即 0≤x≤ 时,y=1.8(5x+ 5 4 4 3x)=14.4x;当甲户用水量超过 4 吨,乙户用水量不超过 4 吨,即 <x≤ 时,y=3(5x- 4) 5 3 4 +4×1.8+3x×1.8=20.4x-4.8;当甲、乙两户用水量都超过 4 吨,即 x> 时,y=3(5x- 3 4+3x-4)+4×1.8×2=24x-9.6.

? ? 4? ?4 故 y=?20.4x-4.8? <x≤ ?, 3? ?5 4 ? ?24x-9.6???x>3???. ? ? 4? ?4 答案:y=?20.4x-4.8? <x≤ ?, 3? ?5 4 ? ?24x-9.6???x>3???
[高频滚动] 1.定义域为 R 的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,方 程 f(x)=log2 01 3x 的实数根的个数为( ) 4? ? 14.4x?0≤x≤ ?, 5? ?

4? ? 14.4x?0≤x≤ ?, 5? ?

A.1 006

B.1 007

C.2 012

D.2 014

解析: 选 A 因为 f(x)在 R 上是奇函数, 其图象关于直线 x=1 对称, 且当 x∈[0,1]时,

f(x)=x,所以 f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,且 f(x)为周期函数,周期 T=4.令 log2 013x=1,得 x=2 013,故 f(x)=log2 013x 的实根有 2×503=1 006 个.
2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
?a,a-b≤1, ? ?b,a-b>1. ?

设函数 f(x)=(x -2)?(x )

2

-1), x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

7

解析:选 B

? ?x -2,-1≤x≤2, 由题设知 f(x)=? ?x-1,x<-1或x>2, ?

2

画出函数 f(x)的图象,如图,

A(2,1)、B(2,2)、C(-1,-1)、D(-1,-2).从图象中可以看出,直线 y=c 与函数的图
象有且只有两个公共点时,实数 c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

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