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2007年新知杯上海市高中数学竞赛


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20 年第 6 08 期 

3  7

懑 

20 0 7年新知杯 上海市高 中数 学竞赛  
说 明: 解答本试卷不得使用计算器 .   填空题 ( 1 4 第 ~ 小题 , 每题 7 , 5 分 第   8 小题 , 每题 8 , 6 分 ) 分 共 0   1 方 程  .




法则 f P m, )    ̄m, ' ( >0 /   : ( n— P ( / √/ mi , ≥ t ) t ' 0. )若一段 曲线在对应法则 .下对应椭 圆的  厂




段弧  + = ( i0 y )则这段 曲线    l x , ≥o , :>
U   U 

+2  
=  

+3  

的方程 是— — .  

( +x + )   :   

6 已知 / n  CS . . () O   计算 : 、  
f 1f 3 …f 2 ( ) ( ) ( n一1 =一 ) .  

的实 数解 ( , , )    :   =— —   2 如 图 1 有 一 条  . . ,   长度为 1 的线段 肼 , 其  一   端 点 E、 在 边 长 为 3 F   的正 方 形 A C 的 四边  E BD   上 滑 动 . 肼 绕 着 正  B 当   方 形 的 四 边 滑 动 一 周  时 , F 的 中 点  所 形  E
成 的轨 迹 的长是 — — .  
F  D 

7 已知 数 列 { } 足  .   满


o:1   ,= =   , 学

(3 n) ≥.  

则数 列 { }   的通 项公 式  =   8 已知 o M:  一1 +( . ( ) Y~3 =4 过  ) ,

图 1  

3 复数数列 { 满足  . a}
al=0,  = n2 l a   +i / (' ) t ≥2 .  


轴上的点 P: ,) ( O 存在 。 的割线 P A, a   B 使  得咫 = .   则点 P的横坐标 。的取值范 围  是— — .   二、 解答 题 ( 6 ) 共 0分   9 (4 ) .1 分 对任 意正 整 数 /, J n 表示  1用 s ) (
1   1   1  

则 它 的前 20 7项 的和 为   0

.  

满 足不 定方 程  + = 的正 整 数对 (  )      ,  
Y 
1  

4 已知  —f . 一口是 大 小 为 4。 二 面  5的

,  
1   1  

角, c为二 面角 内一 定点 , 到半平 面  、   且 口
的距 离 分别 为 √ 、 , B 分别 是 半 平 面 、   26 A、 口

的个 数 ( 如 , 足  + = 的正 整数 对有  例 满    
Y  

内 的 动 点 . △ A C 周 长 的 最 小 值 为  则 B
●  
— —

( ,) ( ,) ( ,) 个 , S()=3 . 出  63 ,44 ,36 三 则 2 )求 使得 S / =  0 ( ) 2 7的所有正整数 /  1 0 1 . 1 .1 ) 0 (4分 已知 关 于  的方 程 
s  i 0一(i 0+ ), 6 n s   2 X   一4=0 n 2  

5 已知平面直角坐标系 中点与点 的对应  . 正项( } 共有 10 8 =16 , n) 1 +2 ×2 6 个 而 
负项 ( }) 有 10个 ,   a , , ,   一6 共 1 a , : … a b,

b, b 均为两两 不等 的小 于 6的正 有理  , …, 
,  ' -  2 1  

数( 注意到≠  ≠  
1 _ 1 

, 因为  为偶数;   又
1_ 1 

2  与 i  +1 质 , 一1与  +1互 质 , 是   互 i 也 因为  为 偶 数 ; 外 , +1 0 , 为  ≥ 另   >10 因  
1 ) 从而 ,  ,》, ,  , ,  , ,》 两  O, n n … n 6 6 … 6

两不相等 . 显然 m=16 n=10 6, 1 满足 “ 大于  10且 小 于 10 m 一/ 0 . 外 , 容 易验   0 7, 1 ≥5” 另 也 证: 以上的表示方式都满足“ 2 一b,2:   n …  n 一 汁 b , ,   一6 (   … n+    =0 1 … , ~n 也 两 两  ,, m ) 不 相 等”  . 综上所述 , 以上 所 构 造 的 20 8的表 示   0 式 完全 符合 题 目要 求 , 且表 示式 有无 限多个 .   ( 吴伟 朝  广 州 大 学数 学 与信 息 科 学 学 
院 ,1 06  5 00 )

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中 等 数 学 

有3 个正实根 . 求 
9i s   一4 m  s 0+3  

64  

一 1 65 ,  

一 l+ 1 66 ,  

一1 … …   ,

一( + O )20 0   1 CS (os 一  

0  一

2 2  +  

的最小 值 .  

可见 , ≥3 , 当  时  f 1 i 为奇数 ; 一 +,    

% L1  I . 一, _,  
故 S咖  2


为偶数. /l 汉     . 丙

1 .1 分 ) 1 (6 如图 2  + , 已知 抛 物 线 y 2=2x p  ( 0 , B 是 过 焦 点  P> ) A F 的 弦 . 果 A 与  如 B 轴所成 的角 为 0 0   ( <0

O i ( 1 i+  。 ( i+ 一 + ) + + 一 +) 1 [ 一) ( 1 i  0! [ ]




1 0 3+2 i   0  . .  

4. 0 1 
~  

D 

一  

如 图 4 分别作  ,
点 C关 于 平 面 、   J 8 的对 称 点 P p. 、 易 

≤ )    . 号, A   求
1 .1 分 ) 2 (6 求满 足  如 下 条 件 的 最 小 正 整 
A, 在 c  则  个  A  
图 2  

数 : o  的圆周 上任取 n个点 A ,    在 0  A ,




( ≤ i ≤ ) , 1 <J 中 

至少 有 2O 7个 不超 过 10 .  0 2 ̄  

证当 A   分别取直  、 线 尸 与 平 面 、   Q J 8 的交 点 时, A C △ B   周长 最 短 , 这个 周  且 长最 小值 为 

图4  

参 考 答 案 


l l √ (/) 1 - x, × 2 s 一 y    - 22 2 2 22 1 0   a ) ,  2 / c(
:1   0 .  



1 ( , ,8 . .2 8 1 ) 

方程两边乘 以 2 并整理得 
戈 +戈 +戈 —2 ̄ 戈 一1 l 2 3 / l —4 ̄ 戈 —4— /2  

5= 一)≤≤ ) . 1 (  。.    o    
设曲线方程为 Y=  
2 2  

6 /   ̄; 厂
配 方得  (厂   

=. o 
一1  、   ) +( 厂 / 一2 + )  

)s  ≤ )则 曲 (≤   ,  

线上点 P  , )对 应的点 尸( ,r ) (  )   、    / 7
在椭 圆 的 一 段 弧  +   =1  ≥o  ≥o  ( , )
上. 故  +   :1  ( ) 圳 ,  

(   一 — )=    ̄ 。 9 3  0 /
=  

√ 一1 =0  ̄ —4—2= ,  l —1 ,  2 / 0 

√; 厂  
2. R+ 丁 . r  

一=. 30  

解得 l ,2 , :1 . =2 x =8 3 8  如 图 3 当 E、 , F在 正 

且 (= 1 )≤≤ )     6 一 ( 。. )    o    


方形顶点 的两旁时 , 点  的 轨 迹 是 以 该 顶 点 为 圆 
1   1  

- ,为 ; 』 ) 偶  【  数 (   一
()  为 数  考 , 奇.  
( 一1 丁 2 )  c ( +1 丁 2 )  c
。 — —  一 . o ∞ — c s— ■   一  

心、 寺为半径的÷圆弧. 其 
二   叶  

当k + , 6Z 时  
f2 (k一1  2 ) k+1  )

他情况是在正方形边上的  线段 , 长度为 2 .  


图3  

故 轨迹 的长 为 2× 4+2c  7× 1=8 c +7
.  

: 

cos

号= . )    

3.一 10 3+2 i   0  .

一  

特别地 , 有 
f 1  3 :厂5 厂7 =…  () ) ()()

由题设 可 得 a =0 a =ia = 一1 , l ,2 , 3 +i  

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20 0 8年第 6 期 

3  9
: PB ? PA .  



f 4 ̄ ) ( 1+ ) 一 1 ( 1+1f 4 ̄ 3 =  
. 

故 船 =  

故当 /为偶数 时, 7 ,  

e ̄ M 一 :P  

:2 B  2   A ≤ d

13  凡1 (丢 ; ) ) (一 =一)    “2 )  
当 /为奇数时, 7 ,  

l l   ≤昙d* 口 1 +   6 e ( 一 ) 3≤ 2    
幸 1 √ ≤ 0 +3 j.   —3   ≤1 √  

,(.— (1   (3(1 一)c 1)2)  To )”  = ,, s  


二 、.   + : (   凡 9由      、 ∈z+ 知  )
>   ? > 凡. Y  

( ) o  一 _o 丢 s (

{ )  

令  =g+0, / ( 、   )贝  / , Y=g+6 0 6 , EZ .4



( 一 _ × = .  丁( )   ㈥  1 - f   7 一( . 号一 . 吾    


z _ 十 —  : 1 +   g : ∞ /= — ——  = —— 


.  

n 十 0 

g,十 /

D 

g, /  

由 半  
l  


得  
l  
n 1 + 


因此 , (/等 于 正整数 对 ( , ) Sg , ) 0 6 的个  数. 从而 , ( ) s 凡 等于 g 的正约数 的个数 . / ,     设 凡=     一 , 中, 1P , P P? l p 路 其 P ,2 …, 
为不 同 的质数 , aEZ+ 1  ≤ . 且   ( ≤  )则 
n   p2 p2。  ̄   1 2   a p2 “

+ 

n一1  





2 ’  

. 

又   :,数 {+‰)  + 1 列‰  一 故 1   
为 常数 列 , 每项 均为 1即  ,
,  

n  的正约数个数 为 (a +1… (a 2 1 ) 2 +1. )   令 (a +1… (a 2 1 ) 2 +1 =  0 2  2 . ) 207=3X23   
r = 2.    

则 



或 

=    ,
2= 3 4    3

n =   号. 一 一(一  ’   丢 n一) 号 I J   因   一 一 , 以数   为 号= 号 所 , 列   {一)首 为 了公 为 的 比 ‰号是 项 一 、比 一 等   2


f =2,    
2= 1 1 1 

f =3    ,
L 3= 1 1.   l  

或' ,或',, {= {__ L 4 O01   O 1 12  -
故满足条件的 g=  3 凡= l  或  / p  或 , 1 0 0 Pp g pp“或 1= l23   / 42 , l1   7 PPp . , 1 1. 0原 程 为(  一1( 2i 0— x+ ) 0  )  s   2 4 = . n 因为原方程有 3 正实根 , 个 所以 , 关于  的二次方程  s   2 i 0— x+4 0有 2个正实  n = 根, 即 
L  

数列 .  

故 一 =吾一)   ‰ 号 一(丢  . 因 ,= 一(丢   此‰ 詈 号一 )  .
8. 1—3   ≤ a≤ 1+3   .  

圆 心 M f . ) 盲   矗:4 13 .  

s   6 i  i0  n n4-1 s  0
>  

。’  

< sn i

≤ 三

4.  

如 图 5 过 点 P、 ,  

  J

又 9i 0—4i  sl I 2 s 0+3 n  

M 作割线 . 由割线定 
理 得 

(\    ^
0  P  j  

=s 一 2 2 9    39 ( 一3 >,  
0 1 0 (o 0 6i 0 3n2 2  <(一O  )2嘴 — s   — s   s n i 0+ ) =2 1 O  ) 1 o ) 1 s  ) ( 一CS ( +cs ( —3i   n 2i 0 1 s   ) s  ̄ ( —3 i 0  n n
= =

(+     ( 一)   导  

图5  

吾 导i 3 13  × s0  0—i) nxs ( s     i n n

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≤    8

l)  . 了:   1  
2  3

不 超过 10 . 以 , :9   2 。所   0

不 满 足题 意 .  

≥ =  ÷ 警.
当i 号 ,式 号 立 s n 时上 等 成 ?    
故  =6 1  2
.  

其次 ,   =9 当 1时 , A     接 下 来 证 明 :至 少 有  207个 角不 超 过 10.  O 2。   对 圆周 上 的 9 个 点  1 图7  
A ,2 … , 9, lA , Al 若  A  
边.   当  A  

> 10, 联 结  2。 则

AA , 样就 得 到一个 图 G. 图 G中有 e i,这 设 条 
~  

1当0 0 号 , 方 可 成 1 < < 时A 程 写   . B的

> 10 , A  2。   f

> 10 时 , 2。  

yto -)   =n( 号, ax 即  
= ct 。 +P 0  y

AO   2 ̄故 图 G中没 有 三角 形 .  A <10,  

若 e 0 则有 暖l 4 9 >   7 :, =   5 20 个角不  0 O
超过 10, 2。命题 得 证 .   若 e , ≥1 不妨 设 A A    之 间有 边 相 连 ,  

2.  

这 结 对0号 成   个 果 = 也 立.
将式①代入抛物线方程得 
y 2—2 o  y—P pc t0?  =0
.  

因为图中没有 三角形 , 以, 所 对于点 A ( ≤  3  
≤9 )它 至多 与 A A 1,    中 的 一个 有 边 相 连 .  
从而 ,  

则  =   故  = 。   。  ? t
%   —  

, =    

.  

d A ) ( 2 ≤8 +2= 1  ( 1 +d A ) 9 9,

其 中 , ( 表示 从 A处 引 出的边 数 . d A)  

“  

sn i

+= —  号
?  

,  

又 d A1 +d( 2 +… +d A 1 ( ) A) ( 9):2 , e 

P cs0—1  (o  )

而 对 图 G中 每 一 条 边 的两个 顶 点 A 、  都   A ,
有 d A ) ( ,≤9 . (   +d A ) 1  
J   l

如 图 6过点 A  , 、 分别作 y轴 的垂 线 A   P、
B 则  Q.

P 

于是 , 上式对每一条边求和可得  ( (   )、 d A ) +… +( ( 9)  d A ) +( (   ) d A )
≤ 9 e. 1  

t A= a O} n P   
一 一    



0 

纸  
一  

由柯西不等式得  9[d A ) + dA ) +…+ d 4 )   1( ( ) ( ( )     ( (。   )] d A ) (   … +d A  ]= e. (  +d A ) ( 9   4  )  
故  ≤(( )+ dA) dA) ( ( )    
≤ 91   e.

生~ 1+c s 0 o  2 i  ’ sn 0  
. 



Q  

\  

t   B Q: 塑  a n O

— —

. (( ) + dA )  

 

二 !     2 i  ‘ sn 0  

e≤ 

<2 0     71.

所 以 , n  ̄ A P+ 肋 Q)   t( O   a =

.  

因此 ,1 顶 点 中 , 9个 至少 有 
l一2 0   71=2 0 4>2 0 7  2  O  

故  A B=7一( A P+ B Q) O c   O   O  
4  
兀 一 戤 胁  

1. 先 , 2首 当  =9 0时 , 图 7 设 衄 是  如 , o  O的直 径 , 点 A 和  的 附 近 分 别 取 4  在 5 个点 , 时 , 此 只有 2 =4   5×4 4=l90个 角   8

个点对 , 它们之 间没有边相连 . 。 , 从而 对应 的  顶点 所对 应 的角 不超 过 10 . 2。   综上所述 , 的最小值 为 9 .   1   ( 熊 斌 、 鸿 达 、 大元 、 鸿坤 、 声  顾 李 刘 叶 扬 命题)  


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