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苏北四市2016届高三第一学期期末考试数学试卷(含答案)


苏北四市 2016 届高三第一次调研


注 意

学Ⅰ
事 项

2016.1

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将

本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 . ....... 1. 已知集合 A ? {0 , a} , B ? {0 , 1 , 3} ,若 A ? B ? {0 ,1, 2 , 3} ,则实数 a 的值为 ▲ . 2. 已知复数 z 满足 z 2 ? ?4 ,若 z 的虚部大于 0,则 z ? ▲ .

3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 50~90 km/h 的汽车中抽取 150 辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示) ,则速度在 70km/h 以下的汽车 有 ▲ 辆. A y 2 O -2
(第 5 题)

4. 运行如图所示的伪代码,则输出的结果 S 为 ▲ . S←1 I←1 While

频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 50 60 70 80 90 速度(km/h) (第 3 题)

x B

I? 5 S←S+2 I←I+1 End While Print S
(第 4 题)

5. 函数 f ( x) ? 2sin(? x + ?) (? ? 0) 的部分图象如图所示,若 AB= 5,则 ? 的值为

▲ .

6. 若随机安排甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,则甲与丙都不在第一天值 班的概率为 ▲ .

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7. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线

x2 y2 ? ? 1 渐近线的距离为 ▲ . 16 9

8. 已知矩形 ABCD 的边 AB ? 4 , BC ? 3 ,若沿对角线 AC 折叠,使平面 DAC ? 平面 BAC , 则三棱锥 D ? ABC 的体积为 ▲ . 9. 若公比不为 1 的等比数列 {an } 满足 log 2 (a1 ? a2 ?? ? a13 )=13 ,等差数列 {bn } 满足 b7 ? a7 , 则 b1 +b2 ? ? ? b13 的值为 ▲ . 10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足当 x ≥ 0 时, f ( x) ? log 2 (2 ? x) ? (a ? 1) x ? b ( a , b 为常数). 若 f (2) ? ?1 ,则 f (?6) 的值为 ▲ .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 11.已知 | OA | = | OB | = 2 ,且 OA ? OB=1 .若点 C 满足 | OA ? CB | =1 ,则 | OC | 的取值范围
是 ▲ .

?2 x + cos x, x ≥ 0, ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的不等式 f ( x) ? ? 的解集为 (??, ) ,则实 2 ? x(a ? x), x ? 0.
数 a 的取值范围是 ▲ . 13.已知点 A(0 , 1) , B (1 , 0) , C (t , 0) ,点 D 是直线 AC 上的动点,若 AD ≤ 2 BD 恒成立, 则最小正整数 t 的值为 ▲ .

14.已知正数 a , b , c 满足 b ? c ≥ a ,则

b c 的最小值为 ▲ . ? c a?b

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字 .......... 说明、证明过程或计算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在锐角三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin A ?

3 , 5

1 tan( A ? B) ? ? . 2
(1)求 tan B 的值; (2)若 b ? 5 ,求 c .

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16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 PDC ,点 E 为棱 PD 的中点.求证: (1) PB //平面 EAC ; (2)平面 PAD ⊥平面 ABCD . E D A
(第 16 题)

P

C B

17. (本小题满分 14 分) 如图, OA 是南北方向的一条公路, OB 是北偏东 45 ? 方向的一条公路,某风景区的一段 边界为曲线 C .为方便游客观光,拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA , OB 垂直的 两条道路 PM , PN ,且 PM , PN 的造价分别为 5 万元/百米、40 万元/百米.建立如

4 2 (1 ≤ x ≤ 9) 模 型 , 设 x2 P M ? x,修建两条道路 PM , PN 的总造价为 f ( x) 万元 .题中所涉及长度单位均为百 米. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f ( x) 最低?并求出最低造价. y
图 所 示 的平 面 直角 坐 标系 xOy , 则 曲线 C 符 合 函 数 y =x + A C M P N O
(第 17 题) 西

B
北 东

x


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18. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足:

an S n ?1 ? an ?1S n + an ? an ?1 ? ? an an ?1 ? ? ? 0, n ? N* ? .
(1)若 a1 , a2 , a 3 成等比数列,求实数 ? 的值; (2)若 ? ?

1 ,求 Sn . 2

19. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左 2 a b 2 0) ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E. 顶点为 A(?4,
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q ,对于任意的 k (k ? 0) 都有 OP ? EQ ?若 存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. (3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ,求

AD ? AE 的最小值. OM
y E D P M

A

O

x

(第 19 题)

20. (本小题满分 16 分)

?1 ? 已知函数 f ( x) ? e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ,其中 a ? R , e 为自然对数的底数. 3 ? ?
(1)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直,求 a 的值;

2) 上恒成立,求 a 的取值范围; (2)关于 x 的不等式 f ( x) ? ? e x 在 (??,
(3)讨论函数 f ( x) 极值点的个数.

4 3

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附加题部分
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内 ........ .......... 作答 ,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程 .. 或演算步骤. A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,∠ PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T , 与射线 AQ 相交于两点 B , C .求证: BT 平分∠ OBA . (第 21-A 题)

B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? 1 2? 已知矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4?

C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? sin(? ? ) ? 13 ? 0 ,已知 A(1,

? 3

3? ), 2

B(3 ,

3? ) , P 为圆 C 上一点,求 △ PAB 面积的最小值. 2

D.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 x,y 均为正数,且 x>y,求证: 2 x ?
1 ≥ 2 y ? 3 错误!未找到引用源。. x 2 ? 2 xy ? y 2

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面 △ ABC 是直角三角形, AB =AC ? 1 , AA1 ? 2 , 点 P 是棱 BB1 上一点,满足 BP ? ? BB1 (0 ≤ ? ≤1) . (1)若 ? = ,求直线 PC 与平面 A1 BC 所成角的正弦值;

??? ?

????

1 3

2 ? B 的正弦值为 ,求 ? 的值. (2)若二面角 P ? AC 1 3

A1 B1

C1

P

A B 23. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 满足 an ? 3n ? 2 ,f (n) ? (1)求证: g(2) ?

C

(第 22 题)

1 1 1 n ? N* . ? ??? , g(n) ? f (n2 ) ? f (n ? 1) , a1 a2 an

1 ; 3 1 . 3

(2)求证:当 n ≥ 3 时, g(n) ?

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数学参考答案
一、填空题 1. 2; 7. 2. 2i ; 8. 3.75; 9.26; 13.4; 4.9; 10. 4; 14. 5.

? ; 3

6. ;

1 3

3 ; 5

24 ; 5

11. [ 6 - 1, 6+1] ;

12. ?2 ? , +? ; 二、解答题

?

?

1 2? . 2

15. (1)在锐角三角形 ABC 中,由 sin A ? 所以 tan A ?

4 3 ,得 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , …………2 分 5 5

sin A 3 ? .……………………………………………………………4 分 cos A 4 tan A ? tan B 1 由 tan( A ? B) ? ………………7 分 ? ? ,得 tan B ? 2 . 1 ? tan A ? tan B 2 2 5 5 (2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan B ? 2 ,得 sin B ? , cos B ? ,……9 分 5 5 11 5 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,…………………11 分 25 b c b sin C 11 由正弦定理 ,得 c ? ………………14 分 ? ? . sin B sin C sin B 2
16.(1) 连接 BD 与 AC 相交于点 O,连结 OE.………2 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点,所以 PB∥OE.………4 分 因为 PB ? 平面 EAC,OE? 平面 EAC, 所以直线 PB∥平面 EAC.……………………6 分 (2) 因为 PA⊥平面 PDC,CD? 平面 PDC,所以 PA⊥CD. …………………8 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD⊥CD.…………………………………10 分 因为 PA∩AD=A,PA,AD? 平面 PAD,所以 CD⊥平面 PAD.…………12 分 因为 CD? 平面 ABCD,所以 平面 PAD⊥平面 ABCD. 17. (1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线 C 的方程为 y =x + 所以点 P 坐标为 ? x, x ? …………………14 分
A P

E
D C

O

B

4 2 ?1 ≤ x ≤ 9 ? , PM ? x x2

? ? ?

4 2? ?, x2 ? ?

直线 OB 的方程为 x ? y ? 0 , ……………………………………………………2 分

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? 4 2? 4 2 x ??x ? 2 ? x ? x2 4 ? 则点 P 到直线 x ? y ? 0 的距离为 ? ? 2 ,………………4 分 x 2 2
又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . …………8 分 2 x x ? ?

(2) 因为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5? x ? 2 ? , 2 x x ? ?
………………………10 分

3 ? 64 ? 5( x ? 64) 所以 f ?( x)=5 ?1 ? 3 ? ? , x ? x3 ?

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

( 1, 4 )

4
0

( 4,9 )

?
单调递减

?
单调递增

极小值

32 ? ? 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 有最小值,最小值为 f ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 30 .……13 分 4 ? ? 32 ? ? 答: (1)两条道路 PM ,PN 总造价 f ( x) 为 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ?1≤ x ≤ 9 ? ; x ? ?
(2)当 x ? 4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. ……………………14 分

32 ? ? ? x x 32 ? (注:利用三次均值不等式 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ? 5 ? ? ? 2 ? ≥ 5 ? 3 3 8 ? 30 , x ? ? ?2 2 x ?

x x 32 ) ? ? ,即 x ? 4 时等号成立,照样给分. 2 2 x2 2 18.(1)令 n ? 1 ,得 a2 ? . 1+ ?
当且仅当 令 n ? 2 ,得 a2 S3 ? a3 S2 + a2 ? a3 ? ? a2 a3 ,所以 a3 ?
2

2? + 4 .…………2 分 ? + ? 1?? 2? + 1?

2? + 4 ? 2 ? 2 ? a1a3 ,得 ? 由 a2 ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 1 .………4 分 ? ? ? 1 + ? ? ? ? + 1?? 2? + 1?

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(2)当 ? ? 所以

1 1 时, an Sn?1 ? an?1Sn + an ? an?1 ? an an?1 , 2 2

Sn ?1 Sn S + 1 Sn + 1 1 1 1 1 ? + ? ? ,即 n ?1 ? ? ,………………………6 分 an ?1 an ?1 an ?1 an 2 an ?1 an 2

? S + 1? 1 所以数列 ? n ? 是以 2 为首项,公差为 的等差数列, 2 ? an ?
所以

Sn + 1 1 ? 2 + ? n ? 1? ? , ……………………………………………………8 分 an 2

?n 3? 即 S n + 1 ? ? + ? an ,① ? 2 2? ?n 3? 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 + 1 ? ? + ? an ?1 ,② ? 2 2?

n+3 n+2 an ? an?1 ,……………………………………………10 分 2 2 a a 即 ? n + 1? an ? ? n + 2? an?1 ,所以 n ? n?1 ? n ≥ 2? , ………………………12 分 n + 2 n +1
① ? ②得, an ?

1 1 ? a ? 所以 ? n ? 是首项为 是常数列,所以 an ? ? n + 2 ? . n + 2 3 3 ? ?
n 2 ? 5n ?n 3? 代入①得 S n ? ? + ? an ? 1 ? . 6 ?2 2?
0) ,所以 a ? 4 ,又 e ? 19. (1)因为左顶点为 A(?4,
又因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , 所以椭圆 C 的标准方程为

……………………14 分

……………………16 分

1 ,所以 c ? 2 .…………………2 分 2
………………………………………4 分

x2 y2 ? ? 1. 16 12

? x2 y 2 x 2 [ k ( x ? 4)]2 ?1 , ? ? ? ? 1. (2)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,由 ?16 12 消元得, 16 12 ? y ? k ( x ? 4), ?
化简得, ( x ? 4)[(4k 2 ? 3) x ? 16k 2 ? 12)] ? 0 ,

?16k 2 ? 12 . …………………………………………………6 分 4k 2 ? 3 ?16k 2 ? 12 ?16k 2 ? 12 24k y ? k ( ? 4) ? 2 当x? 时, , 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
所以 x1 ? ?4 , x2 ?

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?16k 2 ? 12 24k , ) .因为点 P 为 AD 的中点,所以 P 的坐标为 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?16k 2 12k ( 2 , ), 4k ? 3 4k 2 ? 3 3 则 kOP ? ? (k ? 0) .……………………………………………………………………8 分 4k
所以 D( 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,令 x ? 0 ,得 E 点坐标为 (0, 4k ) , 假设存在定点 Q(m, n)(m ? 0) ,使得 OP ? EQ , 则 kOP kEQ ? ?1 ,即 ?

3 n ? 4k ? ? ?1 恒成立, 4k m

?4m ? 12 ? 0, ?m ? ?3, 所以 (4m ? 12)k ? 3n ? 0 恒成立,所以 ? 即? ??3n ? 0, ?n ? 0,
因此定点 Q 的坐标为 (?3,0) . (3)因为 OM ? l ,所以 OM 的方程可设为 y ? kx , …………………………………10 分

? x2 y 2 ?1 , 4 3 ? ? 由 ? 16 12 得 M 点的横坐标为 x ? ? ,……………………………12 分 4k 2 ? 3 ? y ? kx ?
由 OM ? l ,得

AD ? AE xD ? xA ? xE ? xA xD ? 2 xA ? ? OM xM xM

?16k 2 ? 12 ?8 2 1 4k 2 ? 9 …………………………………………………14 分 ? 4k ? 3 ? ? 4 3 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? 1 3 ( 4k 2 ? 3 ? 6 4k 2 ? 3
6 4k 2 ? 3

)≥ 2 2 ,

当且仅当 4k 2 ? 3 ?

即k ? ?

3 时取等号, 2

3 AD ? AE 时, 的最小值为 2 2 . …………………………16 分 2 OM ?1 ? 20. (1) 由题意, f ?( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , …………………………………2 分 ?3 ? 因为 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直, 所以 f ?(0)=1,解得 a ? ?1 . ……………………………4 分
所以当 k ? ?

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4 4 ?1 ? (2) 法一:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 ?3 ? 3 2 2) 恒成立,……………………6 分 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 对任意 x ? (??,
2) 恒成立, 即 ? 6 ? 3x ? a ? x3 ? 6x2 ? 12x ? 8 对任意 x ? (??,
因为 x ? 2 ,所以 a ? 记 g ( x) ? ?

x3 ? 6 x 2 ? 12 x ? 8 1 2 ? ? ? x ? 2 ? , ……………………8 分 ?3? x ? 2 ? 3

1 2 2) 上单调递增,且 g (2) ? 0 , ? x ? 2? ,因为 g ? x ? 在 (??, 3 ? ?) . …………………………………10 分 所以 a ≥ 0 ,即 a 的取值范围是 [0,

4 4 ?1 ? 法二:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 ?3 ? 3 2 2) 上恒成立,…………………………6 分 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 在 (??,
因为 x3 ? 6 x2 ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 等价于 ( x ? 2)( x2 ? 4 x ? 3a ? 4) ? 0 , ①当 a ≥ 0 时, x2 ? 4x ? 3a ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 3a ≥ 0 恒成立, 2) ,满足题意. 所以原不等式的解集为 (??, ………………………………8 分 ②当 a ? 0 时,记 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 3a ? 4 ,有 g (2) ? 3a ? 0 , 所以方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 4 ? 0 必有两个根 x1 , x2 ,且 x1 ? 2 ? x2 , 原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,解集为 (??,x1 ) ? (2,x2 ) ,与题设矛盾, 所以 a ? 0 不符合题意. ? ?) .…………………………………10 分 综合①②可知,所求 a 的取值范围是 [0,

?1 ? (3) 因为由题意,可得 f' ( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , ?3 ?
所以 f ( x) 只有一个极值点或有三个极值点. ……11 分 令 g ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a ,

1 3

①若 f ( x) 有且只有一个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且只穿过一次, 即 g ( x) 为单调递增函数或者 g ( x) 极值同号. ⅰ)当 g ( x) 为单调递增函数时, g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ≥ 0 在 R 上恒成立,得 a ≥ 1 .12 分 ⅱ)当 g ( x) 极值同号时,设 x1 , x2 为极值点,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ 0 , 由 g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 0 有解,得 a ? 1 ,且 x12 ? 2 x 1 ?a ? 0, x22 ? 2x 2 ?a ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? a ,

1 3 1 1 2 ? ? (2 x1 ? a) ? ax1 ? ax1 ? a ? ?(a ? 1) x1 ? a? , 3 3 3 2 同理, g ( x2 ) ? ?(a ? 1) x2 ? a? , 3 2 2 所以 g ? x1 ? g ? x2 ? ? ?(a ? 1) x1 ? a? ? ?(a ? 1) x2 ? a? ≥ 0 , 3 3 化简得 (a ? 1)2 x1 x2 ? a(a ? 1)( x1 ? x2 ) ? a 2 ≥ 0 ,
所以 g ( x1 ) ? x13 ? x12 ? ax1 ? a ? x1 (2 x1 ? a) ? x12 ? ax1 ? a 所以 (a ? 1)2 a ? 2a(a ? 1) ? a2 ≥ 0 ,即 a ≥ 0 , 所以 0 ≤ a ? 1 . 所以,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点; ………………………14 分 ②若 f ( x) 有三个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且穿过三次,同理可得 a ? 0 ;

1 3

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综上,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 有三个极值点. ……………………………16 分

数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内 ........ .......... 作答 ,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. 21A.连结 OT .因为 AT 是切线,所以 OT ? AP .………………………2 分 又因为 ?PAQ 是直角,即 AQ ? AP , 所以 ?TBA ? ?BTO .… 5 分 所以 ?OBT ? ?TBA , 所以 AB ? OT ,

又 OT ? OB ,所以 ?OTB ? OBT ,……8 分 即 BT 平分 ?OBA . ………………………………10 分

21B.矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? ?

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 , ……………2 分 ? ?4

由 f ? ? ? ? 0 ,解得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 .. …………………………………………4 分

? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,特征方程组为 ? ? x ? 2 y ? 0, ? 2? 故属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量 ?1 ? ? ? ;………………………………7 分 ?1 ? ?2 x ? 2 y ? 0, 当 ?2 ? 3 时,特征方程组为 ? ? x ? y ? 0, ?1? 故属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量 ? 2 ? ? ? . ?1?
…………………………10 分

21C.圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 3x ? 4 y ? 13 ? 0 , 即 ( x ? 2 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 . ………………………………………………4 分

又 A(0, ?1), B(0, ?3) ,所以 AB ? 2 .…6 分 P 到直线 AB 距离的最小值为

2 3 ? 3 ? 3 ,…8 分
所以 ?PAB 面积的最小值为 ? 2 ? 3= 3 .…………………………………10 分 21D.因为 x>0,y>0,x-y>0, 1 1 2x ? 2 ? 2 y ? 2( x ? y ) ? ,…………………………………4 分 2 x ? 2 xy ? y ( x ? y)2

1 2

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= ( x ? y) ? ( x ? y) ? 所以 2 x ?

1 1 ≥ 3 3 ( x ? y)2 ? 3 , ……………………8 分 ( x ? y)2 ( x ? y )2

1 ≥ 2 y ? 3 . ……………………………………………10 分 x ? 2 xy ? y 2
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.以 A 为坐标原点 O ,分别以 AB , AC , AA1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角

C (0,1,0) ,A1 (0,0, 2) , 坐标系 O ? xyz . 因为 AB =AC ? 1 ,AA1 ? 2 , 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,

B1 (1,0, 2) , P(1,0,2? ) .……………………………………………1 分
(1)由 ? ?

???? ???? ? ??? ? 2 1 得, CP ? (1, ?1, ) , A1B ? (1,0, - 2) , AC ? (0,1, ?2) , 1 3 3 ???? ? ? n1 ? A1 B ? 0, ? x1 ? 2 z1 ? 0, 设平面 A1 BC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 ? ???? 得? ? ? ? n1 ? A1C ? 0, ? y1 ? 2 z1 ? 0.
不妨取 z1 ? 1 ,则 x1 ? y1 ? 2 , 从而平面 A1 BC 的一个法向量为 n1 ? (2, 2,1) .…3 分 设直线 PC 与平面 A1 BC 所成的角为 ? ,

??? ? ??? ? CP ? n1 22 ? 则 sin ? ?| cos ? CP, n1 ?|? ??? , ? 33 | CP | ? | n1 |

22 .…………………………5 分 33 ???? (2)设平面 PA1C 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , A1P ? (1,0, 2? - 2) ,
所以直线 PC 与平面 A1 BC 所成的角的正弦值为

???? ? ? ? n2 ? A1C ? 0, ? y2 ? 2 z2 ? 0, 由? 得? ???? ? ? n2 ? A1 P ? 0, ? x2 ? (2? ? 2) z2 ? 0.
不妨取 z2 ? 1 ,则 x2 ? 2 ? 2?,y2 ? 2 , 所以平面 PA1C 的法向量为 n2 ? (2 ? 2? ,2,1) .……………………………………7 分 则 cos ? n1 , n2 ??

9 ? 4? 3 4? ? 8? ? 9
2

,又因为二面角 P ? A1C ? B 的正弦值为

2 , 3

所以

9 ? 4? 3 4? ? 8? ? 9
2

=

5 ,………………………………………………………9 分 3

化简得 ? 2 +8? ? 9 ? 0 ,解得 ? ? 1 或 ? ? ?9 (舍去) , 故 ? 的值为 1 . …………………………10 分

S 数学 I 试卷 第 13 页(共 14 页)

23. (1)由题意知, an ? 3n ? 2 , g (n) ? 当 n ? 2 时, g (2) ?

1 1 1 1 , …………1 分 ? ? ??? an an ?1 an ? 2 an2
……………2 分

1 1 1 1 1 1 69 1 ? ? ? ? ? ? ? . a2 a3 a4 4 7 10 140 3 (2)用数学归纳法加以证明:
①当 n ? 3 时, g (3) ?

1 1 1 1 ? ? ??? a3 a4 a5 a9

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ? )?( ? ? ) 7 10 13 16 19 22 25 7 10 13 16 19 22 25 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 1 ? ?( ? ? )?( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? , 8 16 16 16 32 32 32 8 16 32 8 16 16 3
所以当 n ? 3 时,结论成立.………………………………………………4 分

②假设当 n ? k 时,结论成立,即 g (k ) ? 则 n ? k ? 1 时,

1 , 3
1 a( k ?1)2 ? 1 ) ak
…………6 分

g (k ? 1) ? g (k ) ?(

1 ak 2 ?1

?

1 ak 2 ? 2

???

1 (2k ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ??? ? )? ? 2 3 3(k ? 1) ? 2 3k ? 2 3 ak 2 ?1 ak 2 ? 2 a( k ?1)2 ak

1 (2k ? 1)(3k ? 2) ? [3(k ? 1) 2 ? 2] 1 3k 2 ? 7k ? 3 , ? ? ? ? 2 3 [3(k ? 1) ? 2][3k ? 2] 3 [3(k ? 1) 2 ? 2][3k ? 2]
由 k ≥ 3 可知, 3k 2 ? 7k ? 3 ? 0 ,即 g (k ? 1) ? . 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②可得,当 n ≥ 3 时, g (n) ? .

1 3

1 3

…………………10 分

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