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高一数学导数的计算练习题


【导数的计算】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 )

2. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f

( x ) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

3. 已知函数 f ? x ? ? x2 ? bx 的图像在点 A 1, f ?1? 处的切线的斜率为 3,数列 ? 前 n 项和为 Sn ,则 S2009 的值为

?

?

? 1 ? ? ? ?的 ? f ?n? ? ? ?

2007 2008 2009 B. C. 2008 2009 2010 f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于 4. lim ?x ?0 ?x 1 A. 2 B. 1 C. D. 0 2
A. 5. 若函数 f ? x ? 满足

D.

2010 2011

f ' ? x0 ? ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? 3h ? ?( h

)

A.-3 B.-6 C.-9

D.-12

2 6. 如果物体做 S (t ) ? 2(1 ? t ) 的直线运动,则其在 t ? 4 s 时的瞬时速度为:

A. 12

B。

? 12

C.

4

D.

?4

2 7. 某物体的运动方程为 s ? 3t ? t ,那么,此物体在 t ? 1 时的瞬时速度为( )

A .

4 ;

B . 5 ;

C. 6



D. 7

8. 设函数 f ?x ? ? 范围是

sin ? 3 3 cos? 2 ? 5? ? x ? x ? tan? ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f / (1) 的取值 3 2 ? 12 ?
( )

A. ?? 2,2?

B.

? 2,3?
) 5 D. 2

C.

? 3,? 2

D.

? 2,? 2

9. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 的导函数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,f(x)与 x 轴恰有一个 交点,则

f (1) 的最小值为 ( f ?(0)
3 B. 2 C. 3

A. 2

10. 设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e2 B. e C.



ln 2 2

D. ln 2

二、填空题 (共 4 小题,每小题 4 分) 11. 已知函数 f ( x) ? 2 x sin x ,则当 x ?
2

?
2

时其导函数的值为 。

12. y=-2x +1 在(0,1)处的平均变化率为 13.

已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为

y?

1 x ? 2, 则f (1) ? f '(1) 2 =


3

14. 设 f ( x) ? (1 ? x) 6 (1 ? x) 5 ,则函数 f ' ( x) 中 x 的系数是______________。 三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? x ? 3x ,过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.
3

16. (本小题满分 10 分) (1)设 f ( x) ?

cos x 1 , g ( x) ? (e x ? log a x) (a ? 0且a ? 1) ,求 f ?(x) 和 g ?(x ) ; x 2

(2)设 a ? 2 2?log2 5 , b ? log2 3 ? log3 5 ? log5 16,求 a ? b 的值。 17. (本小题满分 12 分)在对人们休闲的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人, 男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人的休闲方式是运动;男性 中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1) 根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)检验性别是否与休闲方式有关,可靠性有多大? 参考临界值如下

p(K 2 ? k0 )

0.05

0.025

0.01

k0

3.841

5.024

6.635

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且单调递减,解关于 x 的不等 式 f (tx2 ?1) ? f (t ) ? 0 ,其中 t ? R 且 t ? 1 .

答案 一、选择题 1. D2. B 解析: f ( x ) , g ( x) 的常数项可以任意

3. C4. C5. D6. A7. D8. D9. A10. B 二、填空题 11. 212. 0.9 13. 314. 40 三、解答题
3 15. (8 分) 解:设切点为 Q( x? , x? ? 3x? ) ,则所求切线方程为

y ? ( x?3 ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)( x ? x? )
3 由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x? ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)(2 ? x? ) ,

解得 x? ? 0 或 x? ? 3 所以切线方程为 y ? ?3x或y ? 6 ? 24( x ? 2) 即

3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0
16. 解: (1) f ?( x ) ?

(cos x )? x ? (cos x )( x )? ? x sin x ? cos x ? x2 x2 1 1 1 g ?( x ) ? [( e x )? ? (log a x )?] ? (e x ? ) 2 2 x ln a
log2 5

………3 分 …………3 分 …………2 分 …………3 分 ………1 分

2 (2) a ? 2 ? 2

? 4 ? 5 ? 20

b?

lg 3 lg 5 lg16 lg16 4 lg 2 ? ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2

a ? b ? 24
17. 解(1) 2 ? 2 列联表如下

看电视 女性 43

运动 27

总计 70

男性 总计

21 64

33 60

54 124 …6 分

(2) k ?
2

124(43 ? 33 ? 21? 27)2 ? 6.201 ? 5.024 70 ? 54 ? 64 ? 60

所以有 97.5%的把握认为性别与休闲方式有关. ??12 分.

18. 解:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 所以 f (tx2 ?1) ? f (t ) ? 0 可化为 f (tx2 ?1) ? ? f (t ) ? f (?t ) . 又 f ( x ) 单调递减,且 t ? 1 ,所以 tx 2 ? 1 ? ?t ,即 tx2 ? 1 ? t .
2 ①当 t ? 1 时, x ?

……….4 分

1? t 1? t ? 0 ,所以 x ?? ;………6 分 ,而 t t

②当 0 ? t ? 1 时, 1 ? t ? 0 ,解得 x ?

1? t 1? t 或x?? ;………..8 分 t t

2 ③当 t≤0 时, tx ≤0 ,而 1 ? t ? 0 ,所以 x ?? . …………….10 分

综上,当 t≤0 或 t ? 1 时,不等式无解;当 0 ? t ? 1 时,不等式的解集为

? 1? t 1? t ? ? ? 或x ? ? ?x x ? ?. t t ? ? ? ?

………………12 分


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