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2013年全国高中数学联赛试题及详细解析


2013 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准

说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严 格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评 分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档

次,第 10、11 小题 5 分为 一个档次,不要增加其他中间档次.

一、

填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

1. 设集合 A ? ?2,0,1,3? ,集合 B ? ? x | ? x ? A, 2 ? x 2 ? A? .则集合 B 中所有元素的和为 . 答案 -5

, ?3 时,2 ? x2 ? ?2, ?7 , 解 易知 B ? ??2,0, ?1, ?3? , 当 x ?? 2 有 2 ? x2 ? A ; 而当 x ? 0, ?1
时, 2 ? x2 ? 2,1 ,有 2 ? x2 ? A .因此,根据 B 的定义可知 B ? ??2, ?3? . 所以,集合 B 中所有元素的和为-5.
??? ? ??? ? 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 , F 是抛物

线的焦点.则 S?OFA ? s?OFB ? . 答案 2.

解 点 F 坐标为 ?1, 0 ? .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ?

y2 y12 , x2 ? 2 ,故 4 4

??? ? ??? ? 1 2 ?4 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? y1 y2 ? ? y1 y2 , 16


1 2 ? y1 y2 ? 8? ? 0 ,故 y1 y2 ? ?8 . 16 2 ?1 ? ?1 ? 1 S?OFA ? S?OFB ? ? OF ? y1 ? ? ? OF ? y2 ? ? ? OF ? y1 y2 ? 2 . ?2 ? ?2 ? 4

3. 在 ?ABC 中,已知 sin A ? 10sin B sin C , cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为. 答案 11.
1

A? 解 由于 sin

co As ?

?

1 0 Bs i n C?s i n B c Cs ? ?c o ?s ?o

B? ? 1C 0? cos ,A 所以10 cos

sin A ? 11cos A ,故 tan A ? 11 .

4. 已知正三棱锥 P ? ABC 底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为. 答案

2 6

解 如图,设球心 O 在面 ABC 与面 ABP 内的射影分别为 H 和 K , AB 中点为 M ,内 切球半径为 r ,则 P、K、M 共线, P、O、H 共线, ?PHM ? ?PKO ?
OH ? OK ? r , PO ? PH ? OH ? 2 ? r ,

?
2
P

,且

MH ?
于是有

3 3 1 5 3 AB ? , PM ? MH 2 ? PH 2 ? , ?2 ? 6 6 12 6
r 2 ?r
解得 r ?

K O A H M B C

?

OK MH 1 ? sin ?KPO ? ? , PO PM 5

2 . 6

5. 设 a, b 为实数,函数 f ? x ? ? ax ? b 满足:对任意 x ? ? 0,1? ,有 f ? x ? ? 1 .则 ab 的最大值 为. 答案

1 . 4

解 易知 a ? f ?1? ? f ? 0 ? , b ? f ? 0 ? ,则
2 2 1 1 1 ? ? 1 ab ? f ? 0 ? ? ? f ?1? ? f ? 0 ? ? ? ? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? ? ? f ?1? ? ? ? f ?1? ? ? . 2 4 4 ? ? 4 2

当 2 f ? 0 ? ? f ?1? ? ?1 ,即 a ? b ? ?

1 1 1 时, ab ? .故 ab 的最大值为 . 4 2 4

6. 从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为. 答案

232 323

解 设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 取自 1,2,…,20,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 互不相邻,则

1 ? a1 ? a2 ? 1 ? a3 ? 2 ? a4 ? 3 ? a5 ? 4 ? 16 ,
由此知从 1,2,…,20 中取 5 个互不相邻的数的选法与从 1,2,…,16 中取 5 个不同的数的
5 选法相同,即 C16 种.所以,从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数

2

的概率为

5 5 5 C20 ? C16 C16 232 . ? 1 ? ? 5 5 C20 C20 323

7. 若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是. 答案

?0? ? ? 4, 20? .

解 令 y ? a , x ? y ? b ? a, b ? 0 ? ,此时 x ? y ? ? x ? y ? ? a 2 ? b2 ,且条件中等式化为
a2 ? b2 ? 4a ? 2b ,从而 a, b 满足方程

? a ? 2?

2

? ? b ? 1? ? 5 ? a, b ? 0 ? .
2

b 4 2 O B C

如图所示,在 aOb 平面内,点 ? a, b ? 的轨迹是以 ?1, 2 ? 为圆心,

5 为半径的圆在 a, b ? 0 的部分,即点 O 与弧 ? ACB 的并集.因此
? x ? a 2 ? b2 ? ?0? ? ? 4, 20? . a 2 ? b 2 ? ?0? ? ? ? 2, 2 5 ? ,从而

1

A

a

8. 已知数列 ?an ? 共有 9 项, 其中 a1 ? a9 ? 1 , 且对每个 i ? ?1, 2,?,8? , 均有 则这样的数列的个数为. 答案 491
ai ?1 ?1 ? i ? 8? ,则对每个符合条件的数列 ?an ? 有 ai
8 i

ai ?1 ? 1? ? ?2,1, ? ? , ai 2? ?

解 令 bi ?
8

?b ? ?
i ?1 i ?1

ai ?1 a9 1? ? ? ? 1 ,且 bi ? ?2,1, ? ? ?1 ? i ? 8? . 2? ai a1 ?

1 ○

1 的 8 项数列 ?b ? 可唯一确定一个符合题设条件的 9 项数列 ?a ? . 反之,由符合条件○ n n 1 的数列 ?b ? 的个数为 N .显然 b ?1 ? i ? 8? 中有偶数个 ? 记符合条件○ n i

1 1 ,即 2k 个 ? ; 2 2

继而有 2k 个 2, 易见 k 的可能值只有 0,1,2, 8 ? 4k 个 1.当给定 k 时, ?bn ? 的取法有 C82k C82?k2 k 种, 所以
2 4 N ? 1 ? C82C6 ? C84C4 ? 1 ? 28 ? 15 ? 70 ? 1 ? 491 .

因此,根据对应原理,符合条件的数列 ?an ? 的个数为 491

二、

解答题:本大题共 3 个小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3

骤. 9. (本题满分 16 分)给定正数数列 ?xn ? 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3,? ,这里

Sn ? x1 ? ? ? xn .证明:存在常数 C ? 0 ,使得
xn ? C ? 2n , n ? 1,2,? .
解 当 n ? 2 时, Sn ? 2Sn?1 等价于

xn ? x1 ? ? ? xn?1 .

1 ○

…………4 分 对常数 C ?

1 x1 ,用数学归纳法证明: 4
xn ? C ? 2n , n ? 1,2,? .
2 ○

…………8 分
n ? 1 时结论显然成立.又 x2 ? x1 ? C ? 22 .
1 式知 对 n ? 3 ,假设 xk ? C ? 2k , k ? 1,2,?, n ? 1 ,则由○

xn ? x1 ? ? x2 ? ? ? xn ?1 ?
? x1 ? ? C ? 22 ? ? ? C ? 2n ?1 ? ? C ? 22 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ?1 ? ? C ? 2n ,
2 式成立. 所以,由数学归纳法知,○

…………16 分 10. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

A1、A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点, P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点.若平面中两个点 Q、R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,
试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明. 解 令 c ? a 2 ? b2 ,则 A1 ? ?a,0 ? , A2 ? a, 0 ? , F1 ? ?c,0 ? , F2 ? c,0? . 设 P ? x0 , y0 ? , Q ? x1 , y1 ? , R ? x2 , y2 ? ,其中 由 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 可知
4
2 2 x0 y0 ? ? 1 , y0 ? 0 . a 2 b2

???? ? ???? A1Q ? A1 P ? ? x1 ? a ? ? x0 ? a ? ? y1 y0 ? 0 , ???? ? ???? ? A2Q ? A2 P ? ? x1 ? a ? ? x0 ? a ? ? y1 y0 ? 0

1 ○

2 ○

…………5 分
2 2 1 、○ 2 相减,得 2a ? x ? x ? ? 0 ,即 x ? ? x ,将其代入○ 1 ,得 ? x ? a ? y y ? 0 , 将○ 1 0 0 1 0 1 0

故 y1 ?

2 ? x0 ? a2 x2 ? a2 ? ,于是 Q ? ? x0 , 0 ?. y0 y0 ? ?

…………10 分

? x2 ? c2 ? 根据 RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,同理可得 R ? ? x0 , 0 ?. y0 ? ?

…………15 分

因此
QR ?
2 2 x0 ? a 2 x0 ? c2 b2 , ? ? y0 y0 y0

由于 y0 ? ? 0, b? ,故 QR ?b (其中等号成立的充分必要条件是 y0 ? b ,即点 P 为 ? 0, ?b ? ). …………20 分 11. (本题满分 20 分)求所有的正实数对 ? a, b ? ,使得函数 f ? x ? ? ax 2 ? b 满足:对任意实 数 x, y ,有

f ? xy ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? .
解 已知条件可转化为:对任意实数 x, y ,有

? ax

2

y 2 ? b ? ? a ? x ? y ? ? b ? ? ax 2 ? b ?? ay 2 ? b ? .
2

?

?

1 ○

先寻找 a, b 所满足的必要条件.
2 2 1 式中令 y ? 0 ,得 b ? ? ax ? b ? ? ? ax ? b ? ? b ,即对任意实数 x ,有 在○

?1 ? b ? ax2 ? b ? 2 ? b ? ? 0 .
由于 a ? 0 ,故 ax 2 可取到任意大的正值,因此必有 1 ? b ? 0 ,即 0 ? b ? 1 . …………5 分
4 2 1 式中再令 y ? ? x ,得 ? ax ? b ? ? b ? ? ax ? b ? ,即对任意实数 x ,有 在○ 2

?a ? a ? x
2

4

? 2abx 2 ? ? 2b ? b 2 ? ? 0 .

2 ○

2 2 的 左 边 记 为 g ? x? , 显 然 a ? a ? 0 ( 否 则 , 由 a ? 0 可 知 a ? 1 , 此 时 将○

5

,于是 g ? x ? ? ?2bx 2 ? ? 2b ? b 2 ? ,其中 b ? 0 ,故 g ? x ? 可取到负值,矛盾)

? ab ? ab ? ? g ? x ? ? ? a ? a2 ? ? x2 ? ? ? ? 2b ? b 2 ? 2 ? a ? a ? a ? a2 ?
2 2

b ? b ? ? ? a ? a ? ? x2 ? ? 2 ? 2a ? b ? ? 0 ? ? 1? a ? 1? a ?
2

2

对一切实数 x 成立,从而必有 a ? a2 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 . 进一步, 考虑到此时

…………10 分

? b ? b b ? 再根据 g ? 可得 2a ? b ? 2 . ?0, ? 2 ? 2a ? b ? ? 0 , ? ? ? 1? a ? 1? a ? 1? a

至此,求得 a, b 满足的必要条件如下:
0 ? b ? 1, 0 ? a ? 1 , 2a ? b ? 2 .
3 ○

…………15 分
3 的任意实数对 ? a, b ? 以及任意实数 x, y ,总有○ 1 成立,即 下面证明,对满足○

h ? x, y ? ? ? a ? a 2 ? x 2 y 2 ? a ?1 ? b ? ? x 2 ? y 2 ? ? 2axy ? ? 2b ? b 2 ?

对任意 x, y 取非负值.
2 3 成 立 时 , 有 a ?1 ? b ? ? 0 , a ? a ? 0 , 事实上,在○

b ? 2 ? 2a ? b ? ? 0 , 再 结 合 1? a

x2 ? y 2 ? ?2 xy ,可得
h ? x, y ? ? ? a ? a 2 ? x 2 y 2 ? a ?1 ? b ?? ?2 xy ? ? 2axy ? ? 2b ? b 2 ? ? ? a ? a 2 ? x 2 y 2 ? 2abxy ? ? 2b ? b 2 ? b ? b ? ? ? a ? a ? ? xy ? ? 2 ? 2a ? b ? ? 0 ? ? 1? a ? 1? a ?
2 2

综上所述,所求的正实数对 ? a, b ? 全体为 ?? a, b ? | 0 ? b ? 1,0 ? a ? 1, 2a ? b ? 2? . …………20 分

6


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