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空间向量数量积及坐标运算


3.1.3

两个向量的数量积

1、空间向量的夹角
(1)定义及记法 已知两个 非零向量a,b,在空间中任取一点O,作 ??? ? ??? ? OA =a, OB =b,则 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角,记 作 〈a,b〉 .

(2)范围和性质
①范围: 0 ≤〈a,b〉 ≤ π. ②性质:〈a,b〉 = 〈b,a〉. 如果〈a,b〉= 90°,则称a与b互相垂直,记作

a⊥b .

(3).两个非零向量才有夹角,当两个非零向量同向共线时, 夹角为0,反向共线时,夹角为π.

2.异面直线的定义 不同在任何一平面内 的两条直线叫做异面直线. 3.两条异面直线所成的角

把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹
角( 锐角或直角 )叫做两条异面直线所成的角.如果所 成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直 .

? 4.异面直线夹角的范围是(0, ]. 2

1.空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a,b,把平面向量的数量积 a·b= |a||b|cos〈a,b〉 叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积). 2.两个空间向量的数量积的性质 〉 (1)a· e= |a|cos〈a,e.

(2)a⊥b? a·b=0 .

a (3)|a|2= a·. b| (4)|a· |a||. b|≤
正射影数量?

3.两个向量的数量积是实数,它可正、可负、可为零.

4.两个空间向量的数量积的运算律 (1)(λa)· λ(a·b) b= .

a (2)a· b·. b=
(3)(a+b)· a·c+b·c c= .

3.1.4

空间向量的直角坐标运算

1.单位正交基底与坐标向量

建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的
正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构 成空间向量的一个基底 {i,j,k} ,这个基底叫做 单位正 交基底 .单位向量i,j,k都叫做坐标向量 .

2.空间向量的直角坐标运算 (1)设a=(a1,a2,a3).b=(b1,b2,b3).

向量坐标运算法则 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) a+b= a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa= (λa1,λa2,λa3)
a· b= a1b1+a2b2+a3b3 . (2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 ??? ??? ??? ? ? ? ) AB = OB - OA= (x2-x1,y2-y1,z2-z1, 也就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标.

3.空间向量平行和垂直的条件

?a1=λb1 (1)a∥b(b≠0) ? a=λb ? ? ?a2=λb2 ?a =λb , 3 ? 3
或当b与三条坐标轴都不平行时

a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 . a∥b ?

b=0 ? a1b1+a2b2+a3b3=0 (2)a⊥b ? a·



4.两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

a (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|= a· = 2 a2+a2+a2 , 1 3
2 2 2 b· = b1+b2+b3 , b |b|=

a· b cos〈a,b〉= |a||b| a1b1+a2b2+a3b3

a2+a2+a2 1 2 3


b2+b2+b2 1 2 3


(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 ??? ? (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 . | AB |=

[例 1]

已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(-

1,2,1)、(1,3,4)、(0,-1,4)、(2,-1,-2);若 p ??? ? ??? ? = AB ,q= CD . 求(1)p+2q;(2) (p-q)· (p+q); (3)cos〈p,q〉 . ??? ??? ? ? (4)求 AB 在 CD 上的正射影的数量

练习:

设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).

(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.

[例 2]

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1

中,∠ABC=90° ,AB=BC=1,AA1= 2,求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值.

???? ??? ? [思路点拨] 先求 BA1 · AC ,再由夹角公式求cos ???? ??? ? 〈 BA1 , AC 〉,并由此确定异面直线BA1与AC所成角的

余弦值.

???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? [精解详析] ∵ BA1 = BA + AA1 = BA + BB1 , AC = ??? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? BC - BA ,且 BA · = BB1 · = BB1 · =0, BC BC BA ???? ? ???? ??? ? ∴ BA1 · =- BA2 =-1. AC ???? ??? ? 又| AC |= 2,| BA1 |= 1+2= 3. ???? ??? ? ???? ??? ? -1 BA1 · AC 6 ? ∴cos〈 BA1 , AC 〉= ???? ??? = =- . 6 6 | BA || AC |
1

π ∵异面直线所成角的范围是(0, ], 2 6 ∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为 . 6

[例3]

如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底

面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90° ,棱AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; ???? ???? (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值.

[思路点拨]

先建立空间直角坐标系,写出各向量

的坐标,再利用向量方法进行求解.

??? ??? ? ???? [精解详析] 如图,以 CA , CB , CC1 为正交基底建

立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ???? ∴| BN |= (1-0) 2+(0-1) 2+(1-0) 2= 3, ∴线段BN的长为 3.

(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), ???? ???? ∴ BA1 =(1,-1,2), CB1 =(0,1,2), ???? ???? CB ∴ BA1 · 1 =1× 0+(-1)× 1+2× 2=3. ???? ???? 又| BA1 |= 6,| CB1 |= 5, ???? ???? ???? ???? BA1 · 1 CB 30 ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= ???? ???? = , 10 | BA || CB |
1 1

???? ???? 30 即 BA1 与 B1C 夹角的余弦值为 . 10

练习: .在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 1 分别是 D1D, 的中点, 在棱 CD 上, CG= CD, BD G 且 4 H 是 C1G 的中点. ??? ???? ? (1)求 EF 与 B1C 的夹角; ??? ???? ? (2)求 EF 与 C1G 的夹角的余弦值; (3)求 F,H 两点间的距离.

??? ??? ???? ? ? ? 解:如图所示,以 DA , DC , DD1 为
单 位正 交基 底建 立空间 直角 坐标 系 1 Dxyz,则 D(0,0,0),E(0,0, ), 2 1 1 F( , ,0),C(0,1,0),C1(0,1, 2 2 3 1),B1(1,1,1),G(0, ,0). 4

??? ? 1 1 1 (1) EF =( , ,- ), 2 2 2 ???? B1C =(-1,0,-1),

??? ???? ? 1 1 1 ∴ EF · 1C =( , ,- )· (-1,0,-1) B 2 2 2
1 1 1 = × (-1)+ × 0+(- )× (-1)=0. 2 2 2 ??? ???? ? ??? ???? ? ∴ EF ⊥ B1C ,即EF⊥B1C.∴ EF 与 B1C 的夹角为90° .
???? ???? 1 17 (2) C1G =(0,- ,-1),则|C1G |= . 4 4

??? ? ??? ???? 3 ? 3 C 又| EF | = ,且 EF · 1G = , 2 8 ??? ???? ? ??? ???? ? EF · 1G C 51 ??? ???? = ? ∴cos〈 EF , C1G 〉= , 17 | EF || C1G | ??? ???? ? 51 即 EF 与 C1G 的夹角的余弦值为 . 17

7 1 (3)∵H是C1G的中点,∴H(0, , ). 8 2 1 1 又F( , ,0), 2 2

???? ∴FH=| FH |=
41 . 8

1 7 1 1 (0- )2+( - )2+( -0)2 = 2 8 2 2

4.已知空间四边形OABC各边及对角线长相等,E、F分 ??? ??? ? ? 别为AB、OC的中点,求OE 与 BF 所成角的余弦值.
??? ? ??? ? ??? ? 解:如图,设 OA =a, OB =b, OC =

c,且|a|=|b|=|c|=1, π 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC= ,则 3 1 a· b=b· c=c· . a= 2 ??? 1 ? 因为 OE = (a+b), 2 ??? ? ??? 1 ? ??? ? 3 BF = c-b,|OE |=| BF |= , 2 2 ??? ??? 1 ? ? 1 BF ∴ OE · = (a+b)· c-b) ( 2 2

1 1 1 1 2 1 = a· b· a· |b| =- . c+ c- b- 4 4 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 OE · BF ? ? ∴cos〈 OE , BF 〉= ??? . ??? =- . 3 | OE | | BF | ∵异面直线所成的角为直角或锐角, 2 ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 . 3

3.已知a,b是异面直线,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b, AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的

角是
A.30° C.60° B.45° D.90°

(

)

? ??? ??? ? 解析:设〈 AB , CD 〉=θ, ??? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? ? ∵ AB · =( AC + CD + DB )· =|CD | =1, CD CD ??? ??? ? ? 1 AB · CD ? ? ∴cos θ= ??? ??? = , | AB || CD | 2

又θ∈[0,π],∴θ=60° .

答案:C


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