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【竞赛及提前招生】2013年鄂州高中自主招生数学试题


鄂州高中 2013 年自主招生数学试题
一、选择题(每题 3 分共 24 分) 1、如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等,则 第 2013 个格子中的数为( ) 5 a b C、0D、-2 c -2 7 ?? A、5 B、7

x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点 B,C.则以下结论:①无论 x

取何值,y2 的值总是正数;②a=1;③当 x=0 时,y2-y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是( ) A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 二.填空题(每题 4 分共 20 分) 9、如图,在正方形 ABCD 内有一折线段,其中 AE 丄 EF,EF 丄 FC,并且 AE=6,EF=8,FC=10, 则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 10、对于正整数 n 有

n ?1 ? n 1 1 ? ? ,若某个正整数 k 满足 n ?1 ? n n n ?1

2、△ABC 中 AC=5, cos B ?

3 2 , sin C ? ,则△ABC 的面积是( 2 5



1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ,则 k ? 2 1 ?1 2 3 2 ? 2 3 4 3 ? 3 4 ? k ? 1? k ? k k ? 1 2

A、10.5 B、12 C、14 D、21 3、关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? a 有实根,那么实数 a 的取值范围是( A、 a ? 0 B、 a ? 0 C、 a ? 1 D、 a ? 2



x x ?1 ? ? ?0 ? ? 2 3 11、若不等式组 ? 恰好有两个整数解,则 a 的取值范围是 5 a ? 4 4 ?x ? ? ? x ? 1? ? a ? 3 3 ?
12、已知 )

x1



x2

2 x ? 8 x2 ? 20 ? 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 1

3

4、已知 abc ? 0 ,且 A、第一、二象限

a?b b?c a?c ? ? ? k ,那么一次函数 y ? kx ? k 的图象一定通过( c a b

13、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,与反比例 函数 y ?

B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

k (k 为常数,且 k>0)在第一象限的图象交于点 E、F.过点 E 作 EM⊥y 轴于 x

5、如图,在等边△ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,P 是 AB 上一动点,连接 OP,将 线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD,若使点 D 恰好落在 BC 上,则线段 AP 的长是 ( ) A、4 B、5 C、6 D、8 6、如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角的菱形 EFGH 2 (不重叠无缝隙),若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm ,四边 2 形 ABCD 面积是 11cm , 则①②③④四个平行四边形周长的总和为 ( ) A、48cm B、36cm C、24cm D、18cm 7、黑色正三角形与白色正六边形的边长相等,用它们镶嵌 图案,方法如下:白色正六边形分上下两行,上面一行的正 六边形个数比下面一行少一个,正六边形之间的空隙用黑色 的正三角形嵌满.按第 1,2,3 个图案(如图)所示规律依次下去,则第 n 个图案中,黑色正三角形和白色正六 边形的个数分别是( ) 2 A、n +n+2,2n+1B、2n+2,2n+1 2 C、4n,n ﹣n+3D、4n,2n+1

M,过点 F 作 FN⊥x 轴于 N,直线 EM 与 FN 交于点 C.若 BF ? m ? BE (其中 m 为大于 l 的常数),记△CEF 的面积为 S1 ,△OEF 的面积为 S 2 ,则 S1 : S 2 ? (用含 m 的代数式表 示) 三、解答题 14、(8 分)2012 年 6 月 5 日是“世界环境日”,南宁市某校举行了“绿色家园”演讲 比赛,赛后整理参赛同学的成绩,制作成直方图(如图)。. (1)分数段在 范围的人数最多; (2)全校共有多少人参加比赛? (3)学校决定选派本次比赛成绩最好的 3 人参加南宁市中学生环保演讲决赛,并为参 赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各 1 件和 2 条白色、1 条蓝色的裤子.请用“列表 法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果,并求出上衣和能搭配 成同一种颜色的概率.

8、如图,抛物线 y1 ? a ? x ? 2 ? ? 3 与 y2 ?
2

1 ( x ? 3)2 ? 1 交于点 A(1,3),过点 A 作 2

1 ? 2 ? x ? x1 ? x ? x2 ?kx ? x ? y ? ? 0 15、(8 分)已知方程组 ? ,( x 、 y 为未知数),有两个不同的实数解 ? ,? 。 2 y ? y y ? y ? 1 ? 2 ? y ? k ? 2 x ? 1? ?
(1)求实数 k 的取值范围。 (2)如果 y1 y2 ?

? a a a? 18、(10 分)当 a ? 0 且 x ? 0 时,? ? x ? ? 0 ,? x ? 2 a ? ? 0 ,? x ? ? 2 a (当 x ? a 时取 ? ? ? x x x? ?
等号),记函数 y ? x ?

2

1 1 ? ? 3 ,求实数 k 的值。 x1 x2

a ,( x ? 0 , a ? 0 ),由上述结论知当 x ? a 时该函数有最小值 2 a 。(1)已知 x 1 ( x ? 0 ),则当 x ? 时, y1 ? y2 取最小值为 x
2

函数 y1 ? x ( x ? 0 )与函数 y2 ?

(2)已知函数 y1 ? x ? 1? x ? ?1? 与函数 y2 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? ?1? ,求 应的 x 的值。

y2 的最小值,并指出取得该最小值时相 y1

16、(10 分)在锐角三角形 ABC 中,BC=5, sin A ?

4 , 5

(3)已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分,一是固定费用,共 360 元;二是燃油费,每千米 1.6 元; 三是折旧费, 它与路程的平方成正比, 比例系数为 0.001. 设该汽车一次运输的路程为 x 千米, 求当 x 为多少时, 该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

(1)如图 1,求三角形 ABC 外接圆的直径; (2)如图 2,点 I 为三角形 ABC 的内心,BA=BC,求 AI 的长.

17、 (10 分)如图.已知 A、B 两点的坐标分别为 A(0,2 3 ),B(2,0) 。 直线 AB 与反比例函数 y ?

m 的图象交于点 C 和点 D(-1, a )。 x

(1)求直线 AB 和反比例函数的解析式. (2)求∠ACO 的度数。 (3) 将△OBC 绕点 O 逆时针方向旋转 α 角 (α 为锐角) , 得到△OB′C′, 当 α 为多少时,OC′⊥AB,并求此时线段 AB’的长。

19、(10 分)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(-2,2),点 B 的坐标为(6,6),抛物线经过 A、O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 E。 (1)求点 E 的坐标;(2)求抛物线的函数解析式; (3)点 F 为线段 OB 上的一个动点(不与点 O、B 重合),直线 EF 与抛物线 交于 M、N 两点(点 N 在 y 轴右侧),连接 ON、BN,当点 F 在线段 OB 上运动 时,求△BON 面积的最大值,并求出此时点 N 的坐标; (4)连接 AN,当△BON 面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相 似(点 B、O、P 分别与点 O、A、N 对应)的点 P 的坐标。


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